1.(吐鲁番模拟)如图,这是一位篮球运动员投篮的进球路线,球沿抛物线$y=ax^2 + x + c$运动,然后准确落入篮筐内.已知投篮处A到地面的距离$AO=2.25$ m.以O为坐标原点,建立平面直角坐标系,篮筐的中心D的坐标为$(4,3.05)$,对称轴与抛物线交于点B,与x轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求点O到BC所在直线的距离OC及点B到地面的距离BC.

1. (1) $\because AO=2.25$ m, $\therefore$ 点 $A(0, 2.25), \therefore c=2.25$. 将点 $D(4, 3.05)$ 代入 $y=ax^2 + x + 2.25$,解得 $a=-0.2, \therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-0. 2x^2 + x + 2. 25$.
(2) $\because$ 抛物线的解析式为 $y=-0. 2x^2 +x+2. 25, \therefore$ 对称轴为直线 $x=-\dfrac{1}{2×(-0. 2)}=2. 5, \therefore$ 点 $O$ 到 $BC$ 所在直线的距离 $OC$ 为 $2. 5$ m. 当 $x=2. 5$ 时, $y=-0. 2× 2. 5^2 + 2. 5 + 2. 25=3. 5$, $\therefore$ 点 $B$ 到地面的距离 $BC$ 为 $3. 5$ m.

2.(乌鲁木齐模拟)我国新能源汽车发展迅猛,公共充电桩建设也在快速推进.一处电动汽车充电站的停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分.如图是棚顶的竖直高度$y$(单位:m)与距离停车棚支柱$AO$的水平距离$x$(单位:m)近似满足二次函数$y=-0.02x^2+bx+c$的图象,支柱$OA=1.6$ m,最外端点$B$的坐标为$(6,2.68)$.若一辆厢式纯电货车在此充电,货车截面可看作长$CD=4$ m、高$DE=2.2$ m的矩形.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)判断此纯电货车()(填“能”或“不能”)完全停到车棚内,并说明理由.
(3)为确保在车棚内能容纳长5 m、高2.5 m的车辆进入充电,现对该车棚进行改造.受经费与场地面积所限,仍使用原来的棚顶,采用抬高支柱$OA$的方式进行改造,则抬高的高度至少需要大于多少米?

2. (1)由题意,得 $c=1. 6$,则抛物线的解析式为 $y=-0. 02x^2 +bx+1. 6$,将点 $B$ 的坐标代入上式,得 $2. 68=-0. 02× 36+6b+1. 6$,解得 $b=0. 3$,则抛物线的解析式为 $y=-0. 02x^2 + 0. 3x + 1. 6$.
(2) 不能 理由:由题意,得点 $F$ 的横坐标为 $6-4=2$,当 $x=2$ 时, $y=-0. 02x^2 + 0. 3x + 1. 6=2. 12＜2. 2$,故该纯电货车不能完全停到车棚内.
(3)设抬高 $n$ 米,则新抛物线的解析式为 $y=-0. 02x^2 + 0. 3x + 1. 6 + n$. 由题意,得车最左上端的横坐标为 $x=6-5=1$,当 $x=1$ 时,若 $y≥ 2. 5$,则符合要求. 当 $x=1$ 时, $y=-0. 02x^2 + 0. 3x + 1. 6 + n=-0. 02 + 0. 3 + 1. 6 + n≥ 2. 5$,则 $n≥ 0. 62$,故抬高的高度至少需要大于 $0. 62$ m.