3.(乌鲁木齐模拟)某工厂计划投资生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,产品A的利润$y_1$(单位:万元)与投资量$x$(单位:万元)成正比例关系,如图①所示;产品B的利润$y_2$(单位:万元)与投资量$x$(单位:万元)成顶点在原点的二次函数关系,如图②所示.
(1)请直接写出利润$y_1$与$y_2$关于投资量$x$的函数解析式.
(2)若工厂以9万元资金投入生产A,B两种产品,要求A产品的投资金额不超过B产品的2倍,且不少于3万元,如何投资该工厂能获得最大利润?最大利润是多少?

3. 解:(1)$y_1=2x$,$y_2=\dfrac{3}{4}x^2$. (2)设投资A产品$x$万元,则投资B产品$(9-x)$万元.由题意,得$\begin{cases}x≤2(9-x)\\x≥3\end{cases}$,解得$3≤ x≤6$.$\because$该工厂能获得的利润为$y_1+y_2=2x+\dfrac{3}{4}(9-x)^2=\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{23}{2}x+\dfrac{243}{4}=\dfrac{3}{4}(x-\dfrac{23}{3})^2+\dfrac{50}{3}$.易知当$x=3$时,$y_1+y_2$取得最大值,最大值是$\dfrac{3}{4}×(3-\dfrac{23}{3})^2+\dfrac{50}{3}=33$(万元).答:投资A产品3万元,投资B产品6万元时,该工厂能获得最大利润,最大利润是33万元.

4.(乌鲁木齐模拟)某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现,随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品的销售量y(单位:件)与售价x(单位:元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70,且x为整数).
(1)求出y与x的函数解析式.
(2)当售价为多少时,商家所获利润最大?最大利润为多少?

4. 解:(1)设线段AB的函数解析式为$y=kx+b(40≤ x≤60)$,将点$(40,300)$,$(60,100)$代入上式,得$\begin{cases}300=40k+b\\100=60k+b\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-10\\b=700\end{cases}$,$\therefore$线段AB的函数解析式为$y=-10x+700(40≤ x≤60)$.设线段BC的函数解析式为$y=mx+n(60≤ x≤70)$,将点$(60,100)$,$(70,150)$代入上式,得$\begin{cases}60m+n=100\\70m+n=150\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=5\\n=-200\end{cases}$,$\therefore$线段BC的函数解析式为$y=5x-200(60＜x≤70)$.因此$y$与$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}-10x+700(40≤ x≤60)\\5x-200(60＜x≤70)\end{cases}$. (2)设获得的利润为$w$元.①当$40≤ x≤60$时,$w=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)^2+4000$.$\because -10＜0$,$\therefore$当$x=50$时,$w$有最大值,最大值为4000元.②当$60＜x≤70$时,$w=(x-30)(5x-200)-150(x-60)=5(x-50)^2+2500$.$\because 5＞0$,$\therefore$当$60＜x≤70$时,$w$随$x$的增大而增大,$\therefore$当$x=70$时,$w$有最大值,最大值为$5(70-50)^2+2500=4500$(元).综上,当售价为70元/件时,商家所获利润最大,最大利润为4500元.