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3.(乌鲁木齐模拟)如图,某一抛物线形状的隧道在墙体OM处建造,现以地面ON和墙体OM分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系.已知$OA=\frac{16}{5}$米,且抛物线经过点$B(1,\frac{21}{5}),C(7,\frac{9}{5})$.
请根据以上信息,解答下列问题.
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)现准备在抛物线上的点E处,安装一个直角形GEF钢拱架对隧道进行维修(点F,G分别在x轴、y轴上,且$OG≤ OA,EG// x$轴,$EF// y$轴),已知钢拱架$GE+EF$的长为$\frac{46}{5}$米,求点E的坐标.
请根据以上信息,解答下列问题.
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)现准备在抛物线上的点E处,安装一个直角形GEF钢拱架对隧道进行维修(点F,G分别在x轴、y轴上,且$OG≤ OA,EG// x$轴,$EF// y$轴),已知钢拱架$GE+EF$的长为$\frac{46}{5}$米,求点E的坐标.
答案
3. (1) $\because OA=\dfrac{16}{5}$米, $\therefore$ 设抛物线的函数解析式为 $y=ax^2 +bx+\dfrac{16}{5}$. 将点 $B(1,\dfrac{21}{5}),C(7,\dfrac{9}{5})$代入得 $\begin{cases}\dfrac{21}{5}=a+b+\dfrac{16}{5}\\\dfrac{9}{5}=49a+7b+\dfrac{16}{5}\end{cases}$,解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{1}{5}\\b=\dfrac{6}{5}\end{cases}$, $\therefore$ 抛物线的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{5}x^2 +\dfrac{6}{5}x+\dfrac{16}{5}$.
(2) 设点 $E(t,-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5})$,则点 $G(0,-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5}),F(t,0)$. 由题意,得 $GE+EF=t-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5}=\dfrac{46}{5}$,解得 $t_1=5,t_2=6$. 当 $t=5$ 时, $-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5}=-\dfrac{1}{5}× 25+\dfrac{6}{5}× 5+\dfrac{16}{5}=\dfrac{21}{5}＞\dfrac{16}{5}$(不符合题意,舍去);当 $t=6$ 时, $-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5}=-\dfrac{1}{5}× 36+\dfrac{6}{5}× 6+\dfrac{16}{5}=\dfrac{16}{5}$,符合题意,因此点 $E$ 的坐标为 $(6,\dfrac{16}{5})$.
(2) 设点 $E(t,-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5})$,则点 $G(0,-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5}),F(t,0)$. 由题意,得 $GE+EF=t-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5}=\dfrac{46}{5}$,解得 $t_1=5,t_2=6$. 当 $t=5$ 时, $-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5}=-\dfrac{1}{5}× 25+\dfrac{6}{5}× 5+\dfrac{16}{5}=\dfrac{21}{5}＞\dfrac{16}{5}$(不符合题意,舍去);当 $t=6$ 时, $-\dfrac{1}{5}t^2 +\dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5}=-\dfrac{1}{5}× 36+\dfrac{6}{5}× 6+\dfrac{16}{5}=\dfrac{16}{5}$,符合题意,因此点 $E$ 的坐标为 $(6,\dfrac{16}{5})$.
4.(2026·新疆中考)政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造.
问题
圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱.现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外？
方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算.
操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为$x$轴，水管所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.
过程
数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高.
建立模型
计算，交流展示……
请根据上述信息，完成下列问题：
(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+0.8(a≠0)$，求$a,b$的值.
(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？
问题
圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱.现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外？
方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算.
操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为$x$轴，水管所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.
过程
数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高.
建立模型
计算，交流展示……
请根据上述信息，完成下列问题：
(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+0.8(a≠0)$，求$a,b$的值.
(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？
答案
4. (1) 由题意,得 $\begin{cases}64a+8b+0. 8=0\\-\dfrac{b}{2a}=3. 5\end{cases}$ , 解得 $\begin{cases}a=-0. 1\\b=0. 7\end{cases}$ .
(2)由(1)可得原抛物线的解析式为 $y=-0. 1x^2 + 0. 7x + 0. 8$,配方可得 $y=-0. 1(x-3. 5)^2 + 2. 025$. 由题意可得新抛物线的解析式为 $y=-0. 1(x-3. 5)^2 + 2. 025 + 1$,即 $y=-0. 1(x-3. 5)^2 + 3. 025$,当 $y=0$ 时, $-0. 1(x-3. 5)^2 + 3. 025=0$,解得 $x_1=9,x_2=-2$(舍去), $\therefore 9× 2=18$(米), $\therefore$ 改造后圆形喷水池的直径至少是 $18$ 米.
(2)由(1)可得原抛物线的解析式为 $y=-0. 1x^2 + 0. 7x + 0. 8$,配方可得 $y=-0. 1(x-3. 5)^2 + 2. 025$. 由题意可得新抛物线的解析式为 $y=-0. 1(x-3. 5)^2 + 2. 025 + 1$,即 $y=-0. 1(x-3. 5)^2 + 3. 025$,当 $y=0$ 时, $-0. 1(x-3. 5)^2 + 3. 025=0$,解得 $x_1=9,x_2=-2$(舍去), $\therefore 9× 2=18$(米), $\therefore$ 改造后圆形喷水池的直径至少是 $18$ 米.
