1. (伊犁州模拟)如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, 点 $D$ 为 $AB$ 的中点, 以 $CD$ 为直径作 $\odot O$, 交 $BC$ 边于点 $E$, 过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$, 垂足为点 $F$.
(1)求证: $EF$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)若 $AC=6, CD=5$, 求 $DF$ 的长.

1. (1) 证明: 如图,连接 OE,DE.
∵CD 是 $\odot O$ 的直径,
∴$∠CED=90°$,即 $DE⊥BC$.
∵在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ACB=90°$,点 D 为 AB 的中点,
∴$CD=BD$,
∴点 E 是 BC 的中点. 又
∵点 O 是 CD 的中点,
∴OE 是 $△BCD$ 的中位线,
∴$OE// AB$.
∵$EF⊥AB$,
∴$EF⊥OE$.
∵OE 是 $\odot O$ 的半径,
∴EF 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 解:
∵CD 是 $\mathrm{Rt}△ABC$ 斜边上的中线,$CD=5$,
∴$AB=2CD=10$.
∵$AC=6$,
∴$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$.
∵点 E 是 BC 的中点,
∴$BE=\frac{1}{2}BC=4$. 在 $\mathrm{Rt}△BDE$ 中,
∵$BD=5$,$BE=4$,
∴$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=3$.
∵$S_{△BDE}=\frac{1}{2}DE· BE=\frac{1}{2}BD· EF$,即 $\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×EF$,
∴$EF=\frac{12}{5}$. 在 $\mathrm{Rt}△DEF$ 中,
∵$DE=3$,$EF=\frac{12}{5}$,
∴$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\frac{9}{5}$.

2.(和田三模)如图，AB是$\odot O$的直径，连接BD并延长至点C，使得$CD=BD$，DE平分$∠ ADB$且与圆交于点E，与AB交于点G，连接AC交$\odot O$于点F.
(1)求证：$∠ B=∠ C$.

(2)若$DF=2$，$\cos B=\dfrac{2}{3}$，求$EG· DE$的值.

2. (1) 证明:
∵AB 是 $\odot O$ 的直径,
∴$∠ADB=90°$,
∴$AD⊥BC$.
∵$CD=BD$,
∴AD 为 BC 的垂直平分线,
∴$AB=AC$,
∴$∠B=∠C$.
(2) 解: 如图,连接 OE,由条件可知 $∠CFD=∠B$. 由(1)知 $∠B=∠C$,
∴$∠C=∠CFD$,
∴$CD=DF=2$,
∴$BD=CD=2$.
∵$\cos B=\frac{2}{3}$,$\cos B=\frac{BD}{AB}$,
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$,
∴$AB=3$,
∴$OA=OB=OE=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$.
∵DE 平分 $∠ADB$,
∴$∠ADE=∠BDE=45°$,
∴$∠AOE=2∠ADE=90°$,
∴$AE=\sqrt{2}OA=\frac{3}{2}\sqrt{2}$.
∵$∠EAB=∠EDB$,$∠ADE=∠BDE$,
∴$∠BAE=∠ADE$.
∵$∠AEG=∠DEA$,
∴$△EAG∽△EDA$,
∴$\frac{EG}{AE}=\frac{AE}{DE}$,
∴$EG· DE=AE^2=(\frac{3}{2}\sqrt{2})^2=\frac{9}{2}$.

3. (乌鲁木齐模拟)如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $D,O$ 两点分别在边 $AB$, $AC$ 上,过 $C,D$ 两点的 $\odot O$ 与 $AC$ 交于点 $E$,连接 $DE,CD,∠ ADE=∠ ACD$.
(1)求证: $AB$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)若 $BC=6$, $\tan B=\dfrac{4}{3}$, 求 $\odot O$ 的半径.

3. (1) 证明: 连接 OD.
∵$OD=OE$,
∴$∠CED=∠ODE$.
∵CE 是 $\odot O$ 的直径,
∴$∠CDE=90°$,
∴$∠CED+∠ACD=90°$.
∵$∠ADE=∠ACD$,
∴$∠ODE+∠ADE=90°$,
∴$∠ADO=90°$,
∴$OD⊥AB$.
∵OD 是 $\odot O$ 的半径,
∴AB 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 解:
∵$∠ACB=90°$,OC 是 $\odot O$ 的半径,
∴BC 是 $\odot O$ 的切线.
∵AB 是 $\odot O$ 的切线,
∴$BD=BC=6$.
∵$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{6}=\frac{4}{3}$,
∴$AC=8$,
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$,
∴$AD=AB-BD=4$.
∵$∠DAE=∠CAD$,$∠ADE=∠ACD$,
∴$△ADE∽△ACD$,
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$,
∴$AC· AE=AD^2$,
∴$8(8-CE)=4^2$,
∴$CE=6$,
∴$\odot O$ 的半径为 3.