13 [2026 苏州]如图，在$□ ABCD$中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接BE，DF.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若$∠ ABC=60°$，$AB=4$，$BC=6$，求$□ BFDE$的面积.

13. (1) $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形, $\therefore AD// BC,AD=BC. \because E,F$ 分别是边 AD,BC 的中点, $\therefore DE=\frac{1}{2}AD,BF=\frac{1}{2}BC. \therefore DE=BF. \because DE// BF, \therefore$ 四边形 BFDE 是平行四边形
(2) 如图,过点 A 作 $AH⊥BC$ 于点 H, $\therefore ∠AHB=90°. \because ∠ABC=60°, \therefore AH=AB·\sin 60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}. \because BC=6,F$ 是边 BC 的中点, $\therefore BF=\frac{1}{2}BC=3. \therefore ▱BFDE$ 的面积 $=BF·AH=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

14 新情境 科技创新 [2026 成都]尊老敬老是中华民族的传统美德.某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁.如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为$30°$，最大俯角为$52.43°$，某人站在门外距离门底部点B 0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M.已知$AB⊥ BN$，$MN⊥ BN$，求此人的头顶M到站立点N的距离（结果精确到0.01米，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sin52.43°\approx0.793$，$\cos52.43°\approx0.610$，$\tan52.43°\approx1.300$）.

14. 如图,过点 A 作 $AC⊥MN$,垂足为 C,由题意,易得四边形 ACNB 是矩形, $\therefore AC=BN=0.9$ 米. 在 $\mathrm{Rt}△ACM$ 中, $∠MAC=30°, \therefore CM=AC·\tan 30°=0.9×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{10}$(米). 在 $\mathrm{Rt}△ACN$ 中, $∠CAN=52.43°, \therefore CN=AC·\tan 52.43°≈0.9×1.300=1.17$(米). $\therefore MN=CM+CN=\frac{3\sqrt{3}}{10}+1.17≈1.69$(米). $\therefore$ 此人的头顶 M 到站立点 N 的距离约为 1.69 米

15 [2026 山西]如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,∠B=90°,AB=10,E 是 AB 边上的一点,且 AE=3,连接 DE,过点 E 作 DE 的垂线,交 BC 的延长线于点 F,交 CD 边于点 G.若 CF=CG=5,则线段 BF 的长为 .

（第15题）（第16题）（第17题）

15. 14
【解析】如图,过点 E 作 $EH// BF$,交 CD 于点 H. $\therefore ∠HEG=∠F. \because CF=CG, \therefore ∠CGF=∠F. \therefore ∠HEG=∠CGF. \because ∠CGF=∠HGE, \therefore ∠HEG=∠HGE. \therefore EH=HG. \because DE⊥EF, \therefore ∠DEG=90°. \therefore ∠DEH+∠HEG=90°, ∠EDG+∠DGE=90°. \because ∠HEG=∠DGE, \therefore ∠DEH=∠EDG. \therefore EH=DH. \therefore DH=HG. 过点 G 作 $GM⊥AB$ 于点 M,作 $GN⊥BF$ 于点 N,则 $∠AMG=90°.
\because ∠B=90°,
\therefore ∠AMG=∠B.
\therefore MG// BC.
\because AD// BC,EH// BC,
\therefore AD// EH// MG// BC.
\therefore \frac{AE}{EM}=\frac{DH}{HG}=1.
\therefore EM=AE=3.
\therefore MB=AB-AE-EM=10-3-3=4.
\because ∠B=90°,GM⊥AB,GN⊥BC, $\therefore$ 四边形 BM GN 是矩形. $\therefore GN=BM=4. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△GNC$ 中, $NC=\sqrt{GC^2-GN^2}=3. \therefore NF=NC+CF=3+5=8. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△GNF$ 中, $\tan F=\frac{GN}{NF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}. \because$ 在 $\mathrm{Rt}△EBF$ 中, $BE=EM+MB=3+4=7, \therefore BF=\frac{EB}{\tan F}=\frac{7}{\frac{1}{2}}=14.$

16 [2026 绥化]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=2$，点$P$，$D$分别在边$AB$，$BC$上运动，连接$PC$，$PD$，则$PC+PD$的最小值是。

16. 3
【解析】如图,延长 CA 至点 M,使 $∠ABM=∠CBA$,连接 MB,过点 C 作 $CN⊥MB$,交 AB 于点 P. 当 $PD⊥BC$ 时, $\because ∠ABM=∠CBA, \therefore PD=PN$,这时 $PC+PD$ 有最小值,即 CN 的长. $\because ∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2, \therefore BC=\frac{AC}{\tan ∠ABC}=\frac{2}{\tan 30°}=2\sqrt{3}. \because ∠ABM=∠ABC=30°, \therefore ∠CBM=∠ABC+∠ABM=60°. \therefore CN=BC·\sin ∠MBC=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3. \therefore PC+PD$ 的最小值是 3.

17 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=4$,$∠ CAB=30°$,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$P$为线段$AD$上的一动点,连接$PB$,$PC$,则$PA+2PB$的最小值为.

17. $4\sqrt{2}$
【解析】如图,在 $∠BAC$ 的外部作 $∠CAE=15°$,过点 B 作 $BF⊥AE$ 于点 F,交 AD 于点 P,此时 $PA+2PB$ 的值最小. $\therefore ∠AFB=90°. \because AB=AC,AD⊥BC, \therefore ∠CAD=∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×30°=15°. \therefore ∠EAD=∠CAE+∠CAD=30°. \therefore PF=\frac{1}{2}PA. \therefore PA+2PB=2(\frac{1}{2}PA+PB)=2(PF+PB)=2BF$. 在 $\mathrm{Rt}△ABF$ 中, $AB=4,∠BAF=∠BAC+∠CAE=45°, \therefore BF=AB·\sin 45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}. \therefore PA+2PB$ 的最小值 $=2BF=4\sqrt{2}.$