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8 [2026甘肃]如图,矩形纸片ABCD的边BC上有一点E,将纸片沿AE折叠,点B落在点B'.若∠CEB'=60°,AB=3 cm,则点B'到AD的距离等于
1.5
cm.答案
8. 1.5
9 [2026 武汉]如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=11$，$BC=5$，$\sin B=\dfrac{4}{5}$，则$\odot O$的直径是（
A.$5\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{14}$
C.$8\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{33}$
A
）A.$5\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{14}$
C.$8\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{33}$
答案
9. A
【解析】如图,过点 C 作 $CD⊥AB$ 于点 D,作直径 CE,连接 AE,$\therefore ∠CAE=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△CDB$ 中, $\sin B=\frac{CD}{BC}$,则 $\frac{CD}{5}=\frac{4}{5},\therefore CD=4$. 由勾股定理,得 $BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3. \therefore AD=AB-BD=11-3=8. \therefore AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$. 由圆周角定理,得$∠E=∠B$,$\therefore \sin E=\frac{AC}{CE}=\frac{4}{5}$,即 $\frac{4\sqrt{5}}{CE}=\frac{4}{5}. \therefore CE=5\sqrt{5}$,即$\odot O$ 的直径是 $5\sqrt{5}$.
10 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，请根据下面的条件解直角三角形.
(1) $BC=8$，$∠ B=60°$；
(2) $AC=\sqrt{2}$，$AB=2$.
(1) $BC=8$，$∠ B=60°$；
(2) $AC=\sqrt{2}$，$AB=2$.
答案
10. (1) $∠A=30°,AB=16,AC=8\sqrt{3}$
(2) $∠A=45°,∠B=45°,BC=\sqrt{2}$
(2) $∠A=45°,∠B=45°,BC=\sqrt{2}$
11 [2025 广东改编]在锐角三角形 ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，边、角总满足表达式：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
（1）如图①，若∠B=75°，∠C=45°，BC=2，求 AB 的长。
（2）如图②，某公园准备在园内一个锐角三角形水池 ABC 中建一座小型景观桥 CD。若 CD⊥AB，AC=14 m，AB=10 m，$\sin ∠ACB=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，求景观桥 CD 的长度。
（第11题）
（1）如图①，若∠B=75°，∠C=45°，BC=2，求 AB 的长。
（2）如图②，某公园准备在园内一个锐角三角形水池 ABC 中建一座小型景观桥 CD。若 CD⊥AB，AC=14 m，AB=10 m，$\sin ∠ACB=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，求景观桥 CD 的长度。
（第11题）答案
11. (1) $\because$ 在 $△ABC$ 中, $∠B=75°,∠C=45°, \therefore ∠A=60°$.
$\because BC=2,\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C},\therefore \frac{2}{\sin 60°}=\frac{AB}{\sin 45°}. \therefore AB=\sin 45°×\frac{2}{\sin 60°}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{6}$
(2) $\because$ 在 $△ABC$ 中, $\frac{AB}{\sin ∠ACB}=\frac{AC}{\sin B},\therefore \frac{10}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}=\frac{14}{\sin B}. \therefore \sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}. \therefore ∠B=60°$. 设 $BD=x$ m $(x＞0)$, 则 $AD=(10-x)$ m, $CD=BD·\tan 60°=\sqrt{3}x$ m. 在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中, 由勾股定理, 得 $CD^2+AD^2=AC^2$, 即 $(\sqrt{3}x)^2+(10-x)^2=14^2$. 化简, 得 $x^2-5x-24=0$, 解得 $x_1=-3$(不合题意,舍去), $x_2=8. \therefore \sqrt{3}x=8\sqrt{3}. \therefore$ 景观桥 CD 的长度为 $8\sqrt{3}$ m.
$\because BC=2,\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C},\therefore \frac{2}{\sin 60°}=\frac{AB}{\sin 45°}. \therefore AB=\sin 45°×\frac{2}{\sin 60°}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{6}$
(2) $\because$ 在 $△ABC$ 中, $\frac{AB}{\sin ∠ACB}=\frac{AC}{\sin B},\therefore \frac{10}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}=\frac{14}{\sin B}. \therefore \sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}. \therefore ∠B=60°$. 设 $BD=x$ m $(x＞0)$, 则 $AD=(10-x)$ m, $CD=BD·\tan 60°=\sqrt{3}x$ m. 在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中, 由勾股定理, 得 $CD^2+AD^2=AC^2$, 即 $(\sqrt{3}x)^2+(10-x)^2=14^2$. 化简, 得 $x^2-5x-24=0$, 解得 $x_1=-3$(不合题意,舍去), $x_2=8. \therefore \sqrt{3}x=8\sqrt{3}. \therefore$ 景观桥 CD 的长度为 $8\sqrt{3}$ m.
12 [2026 湖南]门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点(门吸指门页打开后吸住定位的装置)，EF⊥AB于点E。已知AC=a，EF=b，∠ACD=α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（
A.$ a · \tanα $
B.$ (a - b)\sinα $
C.$ (a - b)\cosα $
D.$ (a - b)\tanα $
D
）A.$ a · \tanα $
B.$ (a - b)\sinα $
C.$ (a - b)\cosα $
D.$ (a - b)\tanα $
答案
12. D
