7 [2024 江苏无锡调研]如图，将△ABC 沿射线 AB 方向平移 4 个单位长度得到△DEF，DF 与 BC 交于点 H，CH=3，EF=7. 下列结论：①BH//EF；②AD=BD；③∠C=∠BHD；④阴影部分的面积为 22. 其中一定正确的有.(填序号)

7. ①③④ 【解析】因为△ABC 沿射线 AB 方向平移 4 个单位长度得到△DEF,所以 S_{△ABC} = S_{△DEF},BC//EF,AC//DF,BC = EF = 7,AD = BE = 4,故①正确,②不一定正确. 因为 AC//DF,所以∠C = ∠BHD,故③正确. 因为 CH = 3,所以 BH = BC - CH = 7 - 3 = 4. 因为 S_{阴影部分} + S_{△BDH} = S_{梯形BEFH} + S_{△BDH},所以 S_{阴影部分} = S_{梯形BEFH} = $\frac{1}{2}$×(4 + 7)×4 = 22,故④正确. 故答案为①③④.

8 [2025 江苏扬州调研]圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左平移 2 cm，水平位置的直径向下平移 3 cm 后，圆被分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为 S₁，S₂，S₃，S₄，则(S₂+S₃)-(S₁+S₄)= cm².
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8. 24 【解析】如图,作出两条直径平移后关于圆心成中心对称的线段. 由对称性可得 S_A = S_C = S_H = S_E,S_B = S_F,S_G = S_D,中间长方形 K 的长为 3×2 = 6,宽为 2×2 = 4,所以 (S₂ + S₃) - (S₁ + S₄) = S_K + S_C + S_B + S_D + S_H - S_A - S_G - S_F - S_E = S_K = 6×4 = 24(cm)². 故答案为 24.

9 [2024 江苏无锡期中]如图，在四边形纸片 ABCD 中，AB//CD，点 E，F 分别在 AB，CD 上，将纸片沿 EF 折叠，点 A，D 分别落在 A'，D'处，且 A'D'经过点 B，FD'交 BC 于点 G，连接 EG，EG 平分∠BEF. 若 EG//A'D'，∠A+∠DFE=125°，则∠CFE 的度数是°.

9. 130 【解析】设∠GEF = α. 因为 EG 平分∠BEF,所以∠GEB = ∠GEF = α,∠BEF = 2∠GEF = 2α,所以∠AEF = 180° - ∠BEF = 180° - 2α. 由折叠的性质得∠A'EF = ∠AEF = 180° - 2α,∠A = ∠A',所以∠A'EG = ∠A'EF - ∠GEF = 180° - 2α - α = 180° - 3α. 因为 AB//CD,所以∠DFE = ∠BEF = 2α. 因为∠A + ∠DFE = 125°,所以∠A = 125° - ∠DFE = 125° - 2α,所以∠A' = ∠A = 125° - 2α. 因为 EG//A'D',所以∠A' + ∠A'EG = 180°,即 125° - 2α + 180° - 3α = 180°,解得 α = 25°,所以∠DFE = 2α = 50°,所以∠CFE = 180° - ∠DFE = 130°. 故答案为 130.

10 [2025 江苏南京期中]如图，已知线段 AB 与点 A'，按要求用无刻度直尺与圆规作图.
（1）平移线段 AB，使点 A 与点 A'重合，作出平移后的线段 A'B'；（在图（1）中完成作图，并写出必要的文字说明）

（2）将线段 AB 沿某条直线作轴对称，使点 A 与点 A'重合，作出对称轴直线 l 及对称后的线段 A'B'.（在图（2）中完成作图，并写出必要的文字说明）
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10. 【解】(1)作法:如图(1),连接 AA',过点 B 作 BB'//AA',并且 BB' = AA',连接 A'B'. 线段 A'B'即为所求(作法不唯一).

(2)作法:如图(2),第一步,连接 AA',作 AA'的垂直平分线 l,直线 l 即为对称轴;第二步,过点 B 作直线 BM⊥l,截取 MB' = BM,连接 A'B'. 对称轴直线 l 与线段 A'B'即为所求(作法不唯一).

11 [2024 江苏盐城期末]将三角板 ABC 与三角板 ADE 按图(1)所示方式摆放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°. 如图(2)，固定三角板 ABC，将三角板 ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0°＜α＜180°).

(1)在旋转过程中，当 α 为时，AD//BC，当 α 为时，AD⊥BC；
(2)当△ADE 的一边与△ABC 的某一边平行(不共线)时，直接写出旋转角 α 的所有可能的度数；
(3)当 0°＜α＜45°时，连接 BD，利用图(3)探究∠BDE+∠CAE+∠DBC 的大小变化情况，并说明理由.


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11. 【解】(1)如图(1),记 DE 与 AC 的交点为 F,DE 与 BC 的交点为 G.
因为 AD//BC,所以∠DAF = ∠C = 30°.
因为∠DAE = 45°,所以∠CAE = 15°,即 α = 15°.
如图(2),记 AD 与 BC 的交点为 F.
因为 AD⊥BC,所以∠AFC = 90°,
所以∠DAC = 180° - ∠AFC - ∠C = 180° - 90° - 30° = 60°,
所以∠CAE = ∠DAC + ∠EAD = 60° + 45° = 105°,即 α = 105°.
故答案为 15°,105°.


(2)旋转角 α 的所有可能的度数是 15°,45°,105°,135°,150°.
①当 AD//BC 时,如图(1)所示,由(1)得,α = 15°;
②当 DE//BC 时,如图(2)所示.由(1)得,AD⊥BC,所以∠AFB = 90°.因为∠ADE = 90°,所以 DE//BC,所以 α = 105°;
③当 DE//AB 时,如图(3)所示,易知 α = 45°;

④当 DE//AC 时,如图(4)所示,

α = ∠EAD + ∠BAC = 45° + 90° = 135°;
⑤当 AE//BC 时,如图(5)所示,∠EAC + ∠C = 180°.因为∠C = 30°,所以∠EAC = 150°,即 α = 150°.
综上所述,旋转角 α 的所有可能的度数是 15°,45°,105°,135°,150°.


(3)当 0° ＜ α ＜ 45°时,∠BDE + ∠CAE + ∠DBC = 105°,保持不变. 理由如下:如图(6),设 BD 分别交 AC,AE 于点 M,N. 在△AMN 中,∠AMN + ∠CAE + ∠ANM = 180°.因为∠ANM = 180° - ∠DNE = ∠E + ∠BDE,∠AMN = 180° - ∠BMC = ∠C + ∠DBC,所以∠E + ∠BDE + ∠CAE + ∠C + ∠DBC = 180°.因为∠C = 30°,∠E = 45°,所以∠BDE + ∠CAE + ∠DBC = 105°.