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1 [2025 河北廊坊期中]若方程 $2x + ◆ = 3$ 是二元一次方程，则“◆”可能是 (
A.$y$
B.$x$
C.$xy$
D.$2x^{2}$
A
)A.$y$
B.$x$
C.$xy$
D.$2x^{2}$
答案
1. A 【解析】若方程 $2x + ◆ = 3$ 为二元一次方程，则“◆”需包含第二个未知数且次数为 $1$，只有 A 选项符合题意，故选 A.
2 [2024 山东淄博期中]下列方程中，二元一次方程有 (
① $2x - \frac{y}{3} = 1$；② $\frac{x}{2} + \frac{3}{y} = 3$；③ $x^{2} - y^{2} = 4$；④ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 7$；⑤ $2x^{2} = 3$；⑥ $x + \frac{1}{y} = 4$。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)① $2x - \frac{y}{3} = 1$；② $\frac{x}{2} + \frac{3}{y} = 3$；③ $x^{2} - y^{2} = 4$；④ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 7$；⑤ $2x^{2} = 3$；⑥ $x + \frac{1}{y} = 4$。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
2. B 【解析】① $2x - \frac{y}{3} = 1$ 是二元一次方程，故符合题意；② $\frac{x}{2} + \frac{3}{y} = 3$ 不是整式方程，所以不是二元一次方程，故不符合题意；③ $x^2 - y^2 = 4$ 中含未知数的项的最高次数为 $2$，所以不是二元一次方程，故不符合题意；④ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 7$ 是二元一次方程，故符合题意；⑤ $2x^2 = 3$ 中含未知数的项的最高次数为 $2$，所以不是二元一次方程，故不符合题意；⑥ $x + \frac{1}{y} = 4$ 不是整式方程，所以不是二元一次方程，故不符合题意. 故选 B.
3 [2024 江苏淮安期中]若方程 $(m - 3)x^{|m| - 2} = 3y^{n + 1} + 4$ 是二元一次方程，则 $m$ 的值为
-3
，$n$ 的值为0
。答案
3. $-3$ $0$ 【解析】由 $(m - 3)x^{|m| - 2} = 3y^{n + 1} + 4$ 是二元一次方程，得 $|m| - 2 = 1$，$m - 3 ≠ 0$，$n + 1 = 1$，解得 $m = -3$，$n = 0$，故答案为 $-3$，$0$.
4 下列四组数值是二元一次方程 $2x - y = 6$ 的解的是 (
A.$\begin{cases}x = 1, \\ y = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 4, \\ y = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 2, \\ y = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$
B
)A.$\begin{cases}x = 1, \\ y = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 4, \\ y = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 2, \\ y = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$
答案
4. B 【解析】
A 把 $\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$ 代入方程 $2x - y = 6$ 得左边 $= 2 - 4 = -2$，右边 $= 6$，因为左边 $≠$ 右边，所以 $\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$ 不是方程 $2x - y = 6$ 的解，不符合题意
B 把 $\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$ 代入方程 $2x - y = 6$ 得左边 $= 8 - 2 = 6$，右边 $= 6$，因为左边 $=$ 右边，所以 $\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$ 是方程 $2x - y = 6$ 的解，符合题意
C 把 $\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$ 代入方程 $2x - y = 6$ 得左边 $= 4 - 4 = 0$，右边 $= 6$，因为左边 $≠$ 右边，所以 $\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$ 不是方程 $2x - y = 6$ 的解，不符合题意
D 把 $\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$ 代入方程 $2x - y = 6$ 得左边 $= 4 - 3 = 1$，右边 $= 6$，因为左边 $≠$ 右边，所以 $\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$ 不是方程 $2x - y = 6$ 的解，不符合题意
A 把 $\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$ 代入方程 $2x - y = 6$ 得左边 $= 2 - 4 = -2$，右边 $= 6$，因为左边 $≠$ 右边，所以 $\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$ 不是方程 $2x - y = 6$ 的解，不符合题意
B 把 $\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$ 代入方程 $2x - y = 6$ 得左边 $= 8 - 2 = 6$，右边 $= 6$，因为左边 $=$ 右边，所以 $\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$ 是方程 $2x - y = 6$ 的解，符合题意
C 把 $\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$ 代入方程 $2x - y = 6$ 得左边 $= 4 - 4 = 0$，右边 $= 6$，因为左边 $≠$ 右边，所以 $\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$ 不是方程 $2x - y = 6$ 的解，不符合题意
D 把 $\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$ 代入方程 $2x - y = 6$ 得左边 $= 4 - 3 = 1$，右边 $= 6$，因为左边 $≠$ 右边，所以 $\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$ 不是方程 $2x - y = 6$ 的解，不符合题意
5 [2025 江苏镇江期末]已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程 $kx + y = 3 - k$，当 $k$ 每取一个不为 $0$ 的值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 (
A.$\begin{cases}x = -1, \\ y = -3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 1, \\ y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = -1, \\ y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 1, \\ y = -3\end{cases}$
C
)A.$\begin{cases}x = -1, \\ y = -3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 1, \\ y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = -1, \\ y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 1, \\ y = -3\end{cases}$
答案
5. C 【解析】将方程 $kx + y = 3 - k$ 整理得 $k(x + 1) + y = 3$，由题意知该等式对任意非零 $k$ 均成立，可得 $x + 1 = 0$，$y = 3$，解得 $x = -1$，$y = 3$. 检验：把 $x = -1$，$y = 3$ 代入 $kx + y = 3 - k$，得 $-k + 3 = 3 - k$，即等式成立，故选 C.
6 已知 $\begin{cases}x = 1, \\ y = 2\end{cases}$ 是方程 $ax + by = 3$ 的解，则代数式 $2a + 4b - 5$ 的值为 ______ 。
答案
6. $1$ 【解析】把 $\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$ 代入 $ax + by = 3$，得 $a + 2b = 3$，则原式 $= 2(a + 2b) - 5 = 2×3 - 5 = 6 - 5 = 1$. 故答案为 $1$.
7 关于 $x$，$y$ 的方程 $2x + ay = 7$ 仅有一组正整数解，则满足条件的正整数 $a$ 的值为
5 或 3
。答案
7. $5$ 或 $3$ 【解析】$2x + ay = 7$，则 $ay = 7 - 2x$. ①当 $x = 1$ 时，$7 - 2x = 5$，所以 $ay = 5$. 因为 $x$，$y$，$a$ 都是正整数，所以 $a = 1$，$y = 5$ 或 $a = 5$，$y = 1$. 当 $a = 1$ 时，关于 $x$，$y$ 的二元一次方程 $2x + y = 7$ 不只有一组正整数解，所以 $a = 1$ 舍去，所以 $a = 5$. ②当 $x = 2$ 时，$7 - 2x = 3$，所以 $ay = 3$，所以 $a = 1$，$y = 3$（舍去）或 $a = 3$，$y = 1$. ③当 $x = 3$ 时，$7 - 2x = 1$，所以 $ay = 1$，所以 $a = 1$，$y = 1$（舍去）. 综上，满足条件的正整数 $a$ 的值为 $5$ 或 $3$，故答案为 $5$ 或 $3$.
8 [2025 河北邢台期中]已知 $\begin{cases}x = 1, \\ y = 2\end{cases}$ 是二元一次方程 $x + my = 7$ 的一个解。
（1）求 $m$ 的值；
（2）用含 $x$ 的代数式表示 $y$。
（1）求 $m$ 的值；
（2）用含 $x$ 的代数式表示 $y$。
答案
8. 【解】(1) 由题意得，$1 + 2m = 7$，解得 $m = 3$.
(2) 由 $x + 3y = 7$ 得，$y = \frac{7 - x}{3}$.
(2) 由 $x + 3y = 7$ 得，$y = \frac{7 - x}{3}$.
9 新考向 传统文化 [2024 江苏南京期末]我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱多乙余钱五倍……译文为甲、乙两人带有一些银子，都不知道数量，若甲得到乙的 $10$ 两银子，则甲比乙多出的银子是乙剩余银子的 $5$ 倍……如果设甲带了 $x$ 两银子，乙带了 $y$ 两银子，那么根据译文可列方程为 (
A.$x + 10 - (y - 10) = 5(y - 10)$
B.$x + 10 = 5(y - 10)$
C.$x + 10 - (y - 10) = 5(y + 10)$
D.$x - 10 = 5(y + 10)$
A
)A.$x + 10 - (y - 10) = 5(y - 10)$
B.$x + 10 = 5(y - 10)$
C.$x + 10 - (y - 10) = 5(y + 10)$
D.$x - 10 = 5(y + 10)$
答案
9. A 【解析】根据题意可列方程为 $x + 10 - (y - 10) = 5(y - 10)$. 故选 A.
10 [2025 广东佛山期末]某中学为了改造劳动实践基地，需要 $2m$ 和 $3m$ 两种规格的钢管。从建材市场购回一根长 $17m$ 的钢管，将其截成 $2m$ 长的钢管 $x$ 段，$3m$ 长的钢管 $y$ 段（没有剩余）。
（1）列出关于 $x$，$y$ 的二元一次方程；
（2）有几种截取方案？
（1）列出关于 $x$，$y$ 的二元一次方程；
（2）有几种截取方案？
答案
10. 【解】(1) 根据题意得 $2x + 3y = 17$.
(2) 已知 $x$，$y$ 都是正整数，当 $x = 1$ 时，$y = 5$，符合题意；当 $x = 2$ 时，$y = \frac{13}{3}$，不符合题意；当 $x = 3$ 时，$y = \frac{11}{3}$，不符合题意；当 $x = 4$ 时，$y = 3$，符合题意；当 $x = 5$ 时，$y = \frac{7}{3}$，不符合题意；当 $x = 6$ 时，$y = \frac{5}{3}$，不符合题意；当 $x = 7$ 时，$y = 1$，符合题意. 综上，符合条件的解为 $\begin{cases}x = 1\\y = 5\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 7\\y = 1\end{cases}$，故有 $3$ 种截取方案.
(2) 已知 $x$，$y$ 都是正整数，当 $x = 1$ 时，$y = 5$，符合题意；当 $x = 2$ 时，$y = \frac{13}{3}$，不符合题意；当 $x = 3$ 时，$y = \frac{11}{3}$，不符合题意；当 $x = 4$ 时，$y = 3$，符合题意；当 $x = 5$ 时，$y = \frac{7}{3}$，不符合题意；当 $x = 6$ 时，$y = \frac{5}{3}$，不符合题意；当 $x = 7$ 时，$y = 1$，符合题意. 综上，符合条件的解为 $\begin{cases}x = 1\\y = 5\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 7\\y = 1\end{cases}$，故有 $3$ 种截取方案.
