1. (2025·连云港期末)如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,OF 是∠BOD 的平分线,OE⊥OF.
(1)若∠BOE 比∠DOF 大 38°,求∠DOF 和∠AOC 的度数.
(2)试问∠COE 与∠BOE 之间有怎样的大小关系?请说明理由.
(3)∠BOE 的补角是________.

1. (1)因为 OF 是∠BOD 的平分线,所以∠DOF=∠BOF.因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°,即∠BOF+∠BOE=90°.因为∠BOE 比∠DOF 大 38°,所以∠DOF+∠DOF+38°=90°,所以∠DOF=26°,∠AOC=∠BOD=2∠DOF=52°.
(2)∠COE=∠BOE.理由如下:因为∠EOF=90°,∠COD=180°,所以∠BOF+∠BOE=90°,∠DOF+∠COE=90°,所以∠COE=∠BOE.
(3)∠AOE 和∠DOE 【解析】因为∠AOB=180°,所以∠AOE+∠BOE=180°,所以∠BOE 的补角是∠AOE;因为∠COE=∠BOE,∠DOE+∠COE=180°,所以∠BOE 的补角是∠DOE.

2. 已知$∠ AOB=50°$，$∠ COD=20°$，$OP$平分$∠ AOD$，$OQ$平分$∠ BOC$，则$∠ POQ=\underline{\hspace{5em}}$。

2. $15°$ 【解析】因为 OP 平分$∠ AOD$,所以$∠ DOP = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2}( ∠ AOB + ∠ COD + ∠ BOC)$.因为 OQ 平分$∠ BOC$,所以$∠ COQ = \frac{1}{2} ∠ BOC$. 因为$∠ AOB = 50°$,$∠ COD = 20°$,所以$∠ POQ = ∠ DOP - ∠ COQ - ∠ COD = \frac{1}{2}( ∠ AOB + ∠ COD + ∠ BOC) - \frac{1}{2} ∠ BOC - ∠ COD = \frac{1}{2}( ∠ AOB - ∠ COD) = 15°$.

3. 如图，$A,O,B$在一条直线上，射线$OP$从$OA$出发，绕点$O$顺时针旋转，同时射线$OQ$也以相同的速度从$OB$出发，绕点$O$逆时针旋转，当$OP,OQ$分别到达$OB,OA$上时，运动停止。已知$OM$，$ON$分别平分$∠ AOP$和$∠ BOQ$，设$∠ MON=x°$，$∠ POQ=y°$，则$x$与$y$之间的数量关系为________。
______。
$\gg$进一步挑战进阶专题:P137 专题21

3. $2x+y=180°$或$2x-y=180°$ 【解析】①当 OP,OQ 未相遇时,$∠ MON-∠ POQ=∠ MOP+∠ QON$.因为 OM,ON 分别平分$∠ AOP$和$∠ BOQ$,所以$∠ AOP=2∠ MOP$,$∠ BOQ=2∠ QON$. 因为$∠ AOP + ∠ POQ + ∠ QOB = 180°$,所以$2∠ MOP + ∠ POQ + 2∠ QON=180°$,所以$2( ∠ MON - ∠ POQ) + ∠ POQ=2x-2y+y=2x-y=180°$;②当 OP,OQ 相遇后,$∠ MON+∠ POQ=∠ QON-∠ QOM+∠ MOP+∠ QOM=∠ MOP+∠ QON$.因为 OM,ON 分别平分$∠ AOP$和$∠ BOQ$,所以$∠ AOM = ∠ MOP$,$∠ BON = ∠ QON$. 因为$∠ AOM + ∠ NOB + ∠ MON = 180°$,所以$∠ MOP + ∠ QON + ∠ MON = 180°$,所以$2x+y=180°$.综上,$2x+y=180°$或$2x-y=180°$.