1. 如图,已知$∠ AOB=120°$,射线$OC$在$∠ AOB$的内部,射线$OM$是$∠ AOC$靠近$OA$的三等分线,射线$ON$是$∠ BOC$靠近$OB$的三等分线.
(1)若$OC$平分$∠ AOB$,求$∠ MON$的度数.
(2)小明说:当射线$OC$绕点$O$在$∠ AOB$的内部旋转时,$∠ MON$的度数始终保持不变,你认为小明的说法是否正确? 说明理由.
(3)若$OM,ON,OA,OB$中有两条直线互相垂直,请直接写出$∠ AOC$所有可能的值.

(1) 因为∠AOB = 120°, OC 平分∠AOB, 所以∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB = 1/2×120° = 60°. 因为射线 OM 是∠AOC靠近 OA 的三等分线, 射线 ON 是∠BOC 靠近 OB 的三等分线, 所以∠MOC = 2/3∠AOC = 2/3×60° = 40°, ∠NOC = 2/3∠BOC = 2/3×60° = 40°, 所以∠MON = ∠MOC + ∠NOC = 40°+40° = 80°.
(2) 小明的说法正确, 因为射线 OM 是∠AOC 靠近 OA 的三等分线, 射线 ON 是∠BOC 靠近 OB 的三等分线, 所以∠MOC = 2/3∠AOC, ∠NOC = 2/3∠BOC, 所以∠MON = ∠MOC + ∠NOC = 2/3(∠AOC+∠BOC) = 2/3×120° = 80°.
(3) 30°或 90°.
【解析】①①,当 OA ⊥ ON 时,因为∠AOB = 120°, OA ⊥ ON, 所以∠BON = ∠AOB - ∠AON = 120°-90° = 30°. 因为射线 ON 是∠BOC 靠近 OB 的三等分线, 所以∠BOC = 3∠BON = 3×30° = 90°, 所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120°-90° = 30°;
②②,当 OM ⊥ OB 时,因为∠AOB = 120°, OM ⊥ OB, 所以∠AOM = ∠AOB - ∠BOM = 120°-90° = 30°. 因为射线 OM 是∠AOC 靠近 OA 的三等分线, 所以∠AOC = 3∠AOM = 3×30° = 90°. 综上,∠AOC 的度数是 30°或 90°.

2. 新定义（2025·南京期末）如图①,OC是∠AOB内一条射线,若∠AOB=n∠AOC或∠AOB=n∠BOC,则称OC为∠AOB的n倍分线.
【初步认识】(1)已知∠AOB=60°,OC为∠AOB的2倍分线,则∠AOC=°;
【概念理解】(2)已知∠AOB=m°,OC为∠AOB的n倍分线,求∠AOC的度数(用含m,n的代数式表示);
【问题解决】(3)如图②,点O在直线AB上,射线OC从OA开始,绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转,同时,射线OD从OB开始,绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转,当射线OD,OA重合时,运动全部停止.设运动时间为t秒,当射线OA,OC,OD中恰好有一条射线是另外两条射线组成角的3倍分线时,直接写出t的值.

(1) 30
【解析】当∠AOB = 2∠AOC 时, ∠AOC = 1/2∠AOB = 1/2×60° = 30°; 当∠AOB = 2∠BOC 时, ∠BOC = 1/2∠AOB = 1/2×60° = 30°, ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60°-30° = 30°. 综上,∠AOC = 30°.
(2) 当∠AOB = n∠AOC 时, ∠AOC = 1/n∠AOB = m°/n; 当∠AOB = n∠BOC 时, ∠BOC = 1/n∠AOB = m°/n, ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = m° - m°/n = (n-1)/n m°, 所以∠AOC 的度数为 m°/n 或 (n-1)/n m°.
(3) t 的值为 20 或 30 或 540/13 或 540/11.
【解析】180°÷(2°+3°) = 36(秒), 180°÷3° = 60(秒). 当运动时间为 t 秒时, ∠AOC = 2t°, ∠AOD = (180-3t)°, ∠COD = |180-3t-2t|° = |180-5t|°. 当射线 OC 在∠AOD 内, 即 0＜t＜36 时, 如①, 若∠AOD=3∠AOC, 则 180-3t = 3×2t, 解得 t=20; 若∠AOD=3∠COD, 则 180-3t = 3(180-5t), 解得 t=30; 当射线 OD 在∠AOC 内, 即 36＜t＜60 时, 如图②, 若∠AOC=3∠COD, 则 2t = 3(5t-180), 解得 t=540/13; 若∠AOC=3∠AOD, 则 2t=3(180-3t), 解得 t=540/11. 综上,t 的值为 20 或 30 或 540/13 或 540/11.