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3. 如图,已知在同一平面内$∠AOB=90°,∠AOC=60°$.
(1)填空:$∠BOC=$
(2)若$OD$平分$∠BOC$,$OE$平分$∠AOC$,直接写出$∠DOE$的度数为
(3)试问在(2)的条件下,如果将题目中$∠AOC=60°$改成$∠AOC=2α(α＜45°)$,其他条件不变,你能求出$∠DOE$的度数吗?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
(1)填空:$∠BOC=$
150°
.(2)若$OD$平分$∠BOC$,$OE$平分$∠AOC$,直接写出$∠DOE$的度数为
45°
.(3)试问在(2)的条件下,如果将题目中$∠AOC=60°$改成$∠AOC=2α(α＜45°)$,其他条件不变,你能求出$∠DOE$的度数吗?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
答案
3. (1)$150°$ 【解析】由题意得$∠ BOC=∠ AOC+∠ AOB=60°+90°=150°$.
(2)$45°$ 【解析】因为$OD$平分$∠ BOC$,$OE$平分$∠ AOC$,所以$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ BOC=75°$,$∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC=30°$,所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=75°-30°=45°$.
(3)能,求解过程如下:由题意得$∠ BOC=∠ AOC+∠ AOB=2α+90°$,因为$OD$平分$∠ BOC$,$OE$平分$∠ AOC$,所以$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ BOC=α+45°$,$∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC=α$,所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=α+45°-α=45°$.
(2)$45°$ 【解析】因为$OD$平分$∠ BOC$,$OE$平分$∠ AOC$,所以$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ BOC=75°$,$∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC=30°$,所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=75°-30°=45°$.
(3)能,求解过程如下:由题意得$∠ BOC=∠ AOC+∠ AOB=2α+90°$,因为$OD$平分$∠ BOC$,$OE$平分$∠ AOC$,所以$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ BOC=α+45°$,$∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC=α$,所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=α+45°-α=45°$.
4. 如图①,在一个平面内有四条射线$OA,OB,OC,OD$,射线$OP$平分$∠AOD$,射线$OQ$平分$∠BOD,∠BOC=120°,∠AOB=\frac{3}{2}∠COD$.
(1)当$∠AOD=140°$时,求$∠AOB$与$∠DOQ$的度数;
(2)求$2∠AOP+5∠BOQ$的度数;
(3)如图②,确定$∠AOP$与$∠AOQ$之间的数量关系,并说明理由.
(1)当$∠AOD=140°$时,求$∠AOB$与$∠DOQ$的度数;
(2)求$2∠AOP+5∠BOQ$的度数;
(3)如图②,确定$∠AOP$与$∠AOQ$之间的数量关系,并说明理由.
答案
4. (1)因为$∠ AOB=\dfrac{3}{2}∠ COD$,所以设$∠ COD=2α$,$∠ AOB=3α$.因为$∠ AOB+∠ BOC+∠ COD+∠ AOD=360°$,$∠ BOC=120°$,$∠ AOD=140°$,所以$3α+120°+2α+140°=360°$,所以$α=20°$,所以$∠ AOB=3α=60°$,$∠ COD=2α=40°$,所以$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=120°+40°=160°$.因为$OQ$平分$∠ BOD$,所以$∠ DOQ=\dfrac{1}{2}∠ BOD=80°$.
(2)由(1)得,$∠ COD=2α$,$∠ AOB=3α$.因为$∠ BOC=120°$,所以$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=120°+2α$.因为$OQ$平分$∠ BOD$,所以$∠ BOQ=∠ DOQ=\dfrac{1}{2}∠ BOD=\dfrac{1}{2}(120°+2α)=60°+α$,所以$α=∠ BOQ-60°$,所以$∠ AOD=360°-∠ AOB-∠ BOC-∠ COD=360°-3α-120°-2α=240°-5α$.因为$OP$平分$∠ AOD$,所以$∠ AOP=\dfrac{1}{2}∠ AOD=\dfrac{1}{2}(240°-5α)=120°-\dfrac{5}{2}α$,所以$∠ AOP=120°-\dfrac{5}{2}(∠ BOQ-60°)$,所以$2∠ AOP+5∠ BOQ=540°$.
(3)$5∠ AOQ + 8∠ AOP = 360°$.理由如下:由(1)得$∠ COD=2α$,$∠ AOB=3α$.因为$∠ BOC=120°$,所以$∠ BOD=360°-∠ COD-∠ BOC=360°-2α-120°=240°-2α$.因为$OQ$平分$∠ BOD$,所以$∠ BOQ=\dfrac{1}{2}∠ BOD=120°-α$,所以$∠ AOQ=∠ AOB-∠ BOQ=3α-(120°-α)=4α-120°$,所以$∠ AOD=∠ BOD-∠ AOB=240°-2α-3α=240°-5α$.因为$OP$平分$∠ AOD$,所以$∠ AOP=\dfrac{1}{2}∠ AOD=120°-\dfrac{5}{2}α$,所以$α=48°-\dfrac{2}{5}∠ AOP$,所以$∠ AOQ=4×(48°-\dfrac{2}{5}∠ AOP)-120°$,所以$5∠ AOQ+8∠ AOP=360°$.
(2)由(1)得,$∠ COD=2α$,$∠ AOB=3α$.因为$∠ BOC=120°$,所以$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=120°+2α$.因为$OQ$平分$∠ BOD$,所以$∠ BOQ=∠ DOQ=\dfrac{1}{2}∠ BOD=\dfrac{1}{2}(120°+2α)=60°+α$,所以$α=∠ BOQ-60°$,所以$∠ AOD=360°-∠ AOB-∠ BOC-∠ COD=360°-3α-120°-2α=240°-5α$.因为$OP$平分$∠ AOD$,所以$∠ AOP=\dfrac{1}{2}∠ AOD=\dfrac{1}{2}(240°-5α)=120°-\dfrac{5}{2}α$,所以$∠ AOP=120°-\dfrac{5}{2}(∠ BOQ-60°)$,所以$2∠ AOP+5∠ BOQ=540°$.
(3)$5∠ AOQ + 8∠ AOP = 360°$.理由如下:由(1)得$∠ COD=2α$,$∠ AOB=3α$.因为$∠ BOC=120°$,所以$∠ BOD=360°-∠ COD-∠ BOC=360°-2α-120°=240°-2α$.因为$OQ$平分$∠ BOD$,所以$∠ BOQ=\dfrac{1}{2}∠ BOD=120°-α$,所以$∠ AOQ=∠ AOB-∠ BOQ=3α-(120°-α)=4α-120°$,所以$∠ AOD=∠ BOD-∠ AOB=240°-2α-3α=240°-5α$.因为$OP$平分$∠ AOD$,所以$∠ AOP=\dfrac{1}{2}∠ AOD=120°-\dfrac{5}{2}α$,所以$α=48°-\dfrac{2}{5}∠ AOP$,所以$∠ AOQ=4×(48°-\dfrac{2}{5}∠ AOP)-120°$,所以$5∠ AOQ+8∠ AOP=360°$.
