1. (2025·无锡期中)如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 （）

A.$△ ABC$ 的三条中线的交点
B.$△ ABC$ 三边的垂直平分线的交点
C.$△ ABC$ 三条角平分线的交点
D.$△ ABC$ 三条高所在直线的交点

1. C 解析:由角平分线的性质可得,$△ ABC$三条角平分线的交点到三条边的距离相等.故选 C.

2. (2026·扬州期末)在正方形网格中，$∠ AOB$的位置如图所示，到$∠ AOB$两边距离相等的点应是（）

A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$

2. A 解析:观察题图可知点 $M$ 在 $∠ AOB$ 的平分线上,$\therefore$ 点 $M$ 到 $∠ AOB$ 两边距离相等.故选 A.

3. (2026·长沙期末)如图①,这是一个平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成,平板电脑放置在托板上,图②是其侧面结构示意图,现量得托板长$AB=8\ \mathrm{cm}$,支撑板顶端的$C$恰好是托板$AB$的中点,托板$AB$可绕点$C$转动,支撑板$CD$可绕点$D$转动.当$CD ⊥ AB$,且射线$DB$恰好是$∠ CDE$的平分线时,此时点$B$到直线$DE$的距离是（）


A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$

3. A 解析:$\because AB=8\ \mathrm{cm},C$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore BC=\dfrac{1}{2}AB=$$4\ \mathrm{cm}.\because CD⊥ AB,\therefore$ 点 $B$ 到 $CD$ 的距离为 $BC=4\ \mathrm{cm}.\because DB$ 是$∠ CDE$ 的平分线,$\therefore$ 点 $B$ 到 $CD$ 的距离与点 $B$ 到 $DE$ 的距离相等,$\therefore$ 点 $B$ 到直线 $DE$ 的距离为 $4\ \mathrm{cm}$.故选 A.

4. (株洲中考) 如图所示,点$O$在一块直角三角板$ABC$上(其中$∠ ABC=30°$),$OM ⊥ AB$于点$M$,$ON ⊥ BC$于点$N$,若$OM=ON$,则$∠ ABO=$$°$.

4. 15 解析:$\because OM⊥ AB,ON⊥ BC$,且 $OM=ON,\therefore OB$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ OBM=∠ OBN.\because ∠ ABC=30° ,\therefore ∠ ABO=15° .$

5. (2026·武汉校级月考) 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,以顶点 $A$ 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 $AC,AB$ 于点 $M,N$,再分别以点$M,N$ 为圆心,大于 $\dfrac{1}{2}MN$ 的长为半径画弧,两弧交于点 $P$,作射线 $AP$ 交 $BC$ 于点 $D$,若 $AB+$$AC=16$,$△ ABC$ 的面积是 32,则 $CD$ 的长为.

5. 4 解析:过点 $D$ 作 $DH⊥ AB$ 于 $H$,如图,由作图可知 $AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,$\because ∠ C=90° ,\therefore DC⊥ AC,\therefore DH=DC.$$\because △ ABC$ 的面积是 $32,\therefore \dfrac{1}{2}AB· DH+\dfrac{1}{2}AC· DC=\dfrac{1}{2}AB·$$DC+\dfrac{1}{2}AC· DC=\dfrac{1}{2}DC· (AB+AC)=32.\because AB+AC=16,$$\therefore \dfrac{1}{2}DC× 16=32,\therefore DC=4.$

6. 如图, 四边形 $ABCD$ 中, $CD = CB$, $AC$ 平分$∠ DAB, CF ⊥ AB$ 于点 $F, CE ⊥ AD$ 的延长线于点$E$.
(1) 求证: $∠ ADC + ∠ B = 180°$;
(2) 若 $AD=2, AB=7$, 请直接写出 $AF$ 的长.

6. (1) $\because AC$ 平分 $∠ DAB,CF⊥ AB,CE⊥ AD,\therefore CE=CF$,$∠ EAC=∠ BAC$. 在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBF$ 中,$\begin{cases} CE=CF,\\ CD=CB, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ CDE≌ \mathrm{Rt}△ CBF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ B=∠ CDE.\because ∠ CDE+$$∠ ADC=180° ,\therefore ∠ ADC+∠ B=180° .$
(2)$AF$ 的长为 $\dfrac{9}{2}$. 解析:$\because \mathrm{Rt}△ CDE≌ \mathrm{Rt}△ CBF,\therefore BF=$$DE.\because ∠ EAC=∠ BAC$,且 $CF⊥ AB,CE⊥ AD,\therefore ∠ E=∠ AFC=$$90° ,CE=CF,\therefore △ AEC≌ △ AFC(\mathrm{AAS}),\therefore AE=AF.$$\because AD+AB=AE-DE+AF+BF=2AF,AD=2,AB=7,\therefore AF=$$\dfrac{1}{2}(AD+AB)=\dfrac{9}{2}.$