16. (2026·连云港校级月考) 如图, 在 $△ AOB$ 中, $OC$ 平分 $∠ AOB, CD ⊥ OA$, 交 $OA$ 的延长线于 $D, CE ⊥ OB$ 于 $E, OB - OA = 2BE$.
(1) 求证: $OD = OE$;
(2) 求证: 点 $C$ 在 $AB$ 的垂直平分线上.

16. (1)
∵ OC 平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,
∴ ∠COE=∠COD,∠CEO=∠D=90°.在△COE 和△COD 中,$$\begin{cases} ∠COE=∠COD, \\ ∠CEO=∠D, \\ OC=OC, \end{cases}$$
∴ △COE≌△COD(AAS),
∴ OD=OE.
(2)在 BO 上取点 F,使 OA=OF,连接 CA,CF,如图,
∵ OC平分∠AOB,
∴ ∠COE=∠COD.在△ACO 和△FCO 中,$$\begin{cases} OA=OF, \\ ∠COA=∠COF, \\ OC=OC, \end{cases}$$
∴ △ACO≌△FCO(SAS),
∴ AC=FC.
∵ OB-OA=2BE,
∴ OB-OA=OB-OF=BF=2BE,
∴ BE=FE.
∵ CE⊥OB,
∴ ∠CEB=∠CEF=90°.在△CBE 和△CFE中,$$\begin{cases} BE=FE, \\ ∠CEB=∠CEF, \\ CE=CE, \end{cases}$$
∴ △CBE≌△CFE(SAS),
∴ CB=CF,
∴ AC=CB,
∴ 点 C 在 AB 的垂直平分线上.

17. 新趋势 项目式学习（2026·芜湖期中）依据情境，解决问题.
【情境一】
小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个$△ ABC$，分别作边$AB$，$AC$的垂直平分线$DM$，$EN$相交于点$O$，如图①所示，经过测量后，得到$∠ MAN=30°$，根据上述条件，能不能得到$∠ BAC$的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证.
证明：$\because DM$是边$AB$的垂直平分线，
$\therefore MA=MB$.
由全等易证$∠ MAB=∠ B$. 同理可得$∠ NAC=∠ C$，
则$\begin{cases}∠ BAC-(∠ B+∠ C)=30°, \\∠ BAC+(∠ B+∠ C)=180°,\end{cases}$
解得$∠ BAC=105°$.
【情境二】
小明继续对上述问题进行探究发现：若改变$△ ABC$的形状，边$AB$，$AC$的垂直平分线$DM$，$EN$相交于$△ ABC$内部一点$O$，如图②，则$∠ MAN$与$∠ BAC$之间也存在一定的数量关系.

【解决问题】
(1)【情境一】中得到“$MA=MB$”的理由是.
(2)在图①的情况下，若$∠ MAN$的度数为$α$，求$∠ BAC$(用含$α$的代数式表示).
(3)写出【情境二】中$∠ MAN$与$∠ BAC$之间的数量关系，并说明理由.

17. (1)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
解析:
∵ DM 是边 AB 的垂直平分线,
∴ MA=MB.
(2)由【情境一】可得,∠BAC-(∠B+∠C)=∠MAN=α,∠BAC+(∠B+∠C)=180°,
∴ ∠BAC=90°+$\frac{1}{2}$∠MAN=$90°+\frac{1}{2}α$.
(3)∠MAN+2∠BAC=180°.理由如下:
∵ DM 是 AB 的垂直平分线,
∴ AD=BD,∠ADM=∠BDM=90°,AM=BM,
∴ △ADM≌△BDM(SAS),
∴ ∠B=∠BAM.同理可得∠NAC=∠C.
∵ ∠BAM=∠B=∠BAN+∠MAN,∠NAC=∠C=∠CAM+∠MAN,∠BAC=∠BAN+∠MAN+∠CAM,∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴ ∠BAM+∠CAN+∠BAC=180°,
∴ ∠MAN+∠BAC+∠BAC=180°,
∴ ∠MAN+2∠BAC=180°.