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8. (2026·遵义期末)已知$△ ABC$,$AB＜BC$,用尺规作图的方法在$BC$上取一点$P$,使得$PA+PC=BC$,则下列选项正确的是 （
B
）答案
8. B 解析:
∵ PB+PC=BC,PA+PC=BC,
∴ PA=PB,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,故可判断 B 选项正确.故选 B.
∵ PB+PC=BC,PA+PC=BC,
∴ PA=PB,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,故可判断 B 选项正确.故选 B.
9. (2026·昆明期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AD ⊥$$BC,EF$ 垂直平分 $AC$, 交 $AC$ 于点 $F$, 交 $BC$ 于点 $E$, 且 $BD=DE$. 若 $△ ABC$ 周长为 $16\ \mathrm{cm},AC=$$6\ \mathrm{cm},AB=4\ \mathrm{cm}$, 则 $DE=$（
A.$\dfrac{1}{2}\ \mathrm{cm}$
B.$1\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$
B
）A.$\dfrac{1}{2}\ \mathrm{cm}$
B.$1\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$
答案
9. B 解析:
∵ EF 是 AC 的垂直平分线,
∴ AE=CE.
∵ AD⊥BC,BD=DE,
∴ AD 是 BE 的垂直平分线,
∴ AB=AE,
∴ AB=AE=CE=4 cm.
∵ △ABC 的周长为 16 cm,AC=6 cm,
∴ AB+BC=16-6=10(cm),
∴ AB+CE+BD+DE=10 cm,则 2CE+2DE=10 cm,
∴ CE+DE=5 cm,
∴ DE=1 cm.故选 B.
∵ EF 是 AC 的垂直平分线,
∴ AE=CE.
∵ AD⊥BC,BD=DE,
∴ AD 是 BE 的垂直平分线,
∴ AB=AE,
∴ AB=AE=CE=4 cm.
∵ △ABC 的周长为 16 cm,AC=6 cm,
∴ AB+BC=16-6=10(cm),
∴ AB+CE+BD+DE=10 cm,则 2CE+2DE=10 cm,
∴ CE+DE=5 cm,
∴ DE=1 cm.故选 B.
10. (2026·济宁期中)如图,点$P$为$△ ABC$内一点,过点$P$的线段$MN$分别交$AB$,$BC$于点$M,N$,且$M,N$分别在$PA,PC$的垂直平分线上.若$∠ APC=143°$,则$∠ ABC$的度数为
（
A.$74°$
B.$106°$
C.$126°$
D.$132°$
（
B
）A.$74°$
B.$106°$
C.$126°$
D.$132°$
答案
10. B 解析:
∵ ∠APC=143°,
∴ ∠MPA+∠NPC=180°-143°=37°.
∵ M,N 分别在 PA,PC 的垂直平分线上,
∴ MP=MA,NP=NC,由全等易证∠MAP=∠MPA,∠NCP=∠NPC.
∵ ∠BMN=∠MPA+∠MAP,∠BNM=∠NCP+∠NPC,
∴ ∠BMN+∠BNM=∠MPA+∠MAP+∠NCP+∠NPC=74°,
∴ ∠ABC=180°-74°=106°.故选 B.
∵ ∠APC=143°,
∴ ∠MPA+∠NPC=180°-143°=37°.
∵ M,N 分别在 PA,PC 的垂直平分线上,
∴ MP=MA,NP=NC,由全等易证∠MAP=∠MPA,∠NCP=∠NPC.
∵ ∠BMN=∠MPA+∠MAP,∠BNM=∠NCP+∠NPC,
∴ ∠BMN+∠BNM=∠MPA+∠MAP+∠NCP+∠NPC=74°,
∴ ∠ABC=180°-74°=106°.故选 B.
11. 在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,A,B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张 $5× 5$ 的方格纸中,找出格点 C,使 $AC=BC$,则满足条件的格点 C 有
5
个.答案
11. 5 解析:如图,满足 AC=BC,在 AB 的垂直平分线上且在格点上的点 C 有 5 个.
12. 一个三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内,那么这个三角形是
锐角
三角形;如果三角形有两条边的垂直平分线的交点恰是第三条边的中点,那么这个三角形是直角
三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)答案
12. 锐角 直角 解析:通过作图可得,一个三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内,那么这个三角形是锐角三角形.如果三角形有两条边的垂直平分线的交点恰是第三条边的中点,分析如下:如图,在△ABC 中,DE,DF 分别垂直平分 AB,AC,交点 D 位于 BC 上,且 BD=CD,
∴ DB=AD,AD=CD,由全等易证∠BAD=∠B,∠CAD=∠C,
∴ ∠B+∠C=∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°,
∴ △ABC 是直角三角形.
∴ DB=AD,AD=CD,由全等易证∠BAD=∠B,∠CAD=∠C,
∴ ∠B+∠C=∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°,
∴ △ABC 是直角三角形.
13. (1) 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC, OB=OC$, 且点 $A$ 到$BC$ 的距离为 8, 点 $O$ 到 $BC$ 的距离为 3, 则$AO$ 的长为
(2) 在 $△ ABC$ 中, $BC=10, AB$ 的垂直平分线与 $AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D,E$, 且$DE=4$, 则 $AD+AE=$
5 或 11
.(2) 在 $△ ABC$ 中, $BC=10, AB$ 的垂直平分线与 $AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D,E$, 且$DE=4$, 则 $AD+AE=$
6 或 14
.答案
13. (1)5 或 11 解析:分两种情况讨论:当点 O 在△ABC 内时,如图①,
∵ AB=AC,OB=OC,
∴ AM 为 BC 的垂直平分线,
∴ AM⊥BC,
∴ AO=AM-OM=8-3=5;当点 O 在△ABC 外时,如图②,
∵ AB=AC,OB=OC,
∴ AM 为 BC的垂直平分线,
∴ AM⊥BC,
∴ AO=AM+OM=8+3=11.
(2)6 或 14 解析:
∵ AB,AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D,E,
∴ AD=BD,AE=CE,
∴ AD+AE=BD+CE.
∵ BC=10,DE=4,
∴ 如图③,AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6;如图④,AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14.综上所述,AD+AE=6 或 14.
14. (南京中考)如图,线段$AB$,$BC$的垂直平分线$l_{1}$,$l_{2}$相交于点$O$.若$∠ 1=39°$,则$∠ AOC=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
14. 78 解析:如图,连接 BO,并延长 BO 到 P.
∵ 线段 AB,BC的垂直平分线$l_1$,$l_2$相交于点 O,
∴ AO=OB=OC,∠BDO=∠BEO=90°,
∴ ∠DOE+∠ABC=180°.
∵ ∠DOE+∠1=180°,
∴ ∠ABC=∠1=39°.由全等易证∠A=∠ABO,∠OBC=∠C.
∵ ∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,
∴ ∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°.
一题多解 连接 OB,
∵ 线段 AB,BC 的垂直平分线$l_1$,$l_2$相交于点 O,
∴ AO=OB=OC.由全等易证∠AOD=∠BOD,∠BOE=∠COE.
∵ ∠DOE+∠1=180°,∠1=39°,
∴ ∠DOE=141°,即∠BOD+∠BOE=141°,
∴ ∠AOD+∠COE=141°.
∴ ∠AOC=360°-(∠BOD+∠BOE)-(∠AOD+∠COE)=78°.
15. 如图,在$△ ABC$中,点$E$是$BC$边上的一点,连接$AE$,$BD$垂直平分$AE$,垂足为$F$,交$AC$于点$D$,连接$DE$.
(1)若$△ ABC$的周长为18,$△ DEC$的周长为6,求$AB$的长;
(2)若$∠ ABC=30°$,$∠ C=45°$,求$∠ CDE$的度数.
(1)若$△ ABC$的周长为18,$△ DEC$的周长为6,求$AB$的长;
(2)若$∠ ABC=30°$,$∠ C=45°$,求$∠ CDE$的度数.
答案
15. (1)
∵ BD 是线段 AE 的垂直平分线,
∴ AB=BE,AD=DE.
∵ △ABC的周长为 18,△DEC 的周长为 6,
∴ AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE=CD+EC+AD=6,
∴ AB+BE=18-6=12,
∴ AB=6.
(2)
∵ ∠ABC=30°,∠C=45°,
∴ ∠BAC=180°-30°-45°=105°.在△BAD 和△BED 中,$$\begin{cases} BA=BE, \\ BD=BD, \\ DA=DE, \end{cases}$$
∴ △BAD≌△BED(SSS),
∴ ∠BED=∠BAC=105°,
∴ ∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°.
∵ BD 是线段 AE 的垂直平分线,
∴ AB=BE,AD=DE.
∵ △ABC的周长为 18,△DEC 的周长为 6,
∴ AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE=CD+EC+AD=6,
∴ AB+BE=18-6=12,
∴ AB=6.
(2)
∵ ∠ABC=30°,∠C=45°,
∴ ∠BAC=180°-30°-45°=105°.在△BAD 和△BED 中,$$\begin{cases} BA=BE, \\ BD=BD, \\ DA=DE, \end{cases}$$
∴ △BAD≌△BED(SSS),
∴ ∠BED=∠BAC=105°,
∴ ∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°.
