7. 教材 P38 练习 T1 变式 如图,网格中小正方形的边长是 1 个单位长度,$△ ABC$ 的顶点在格点上,已知 $AC=10$,请仅用无刻度的直尺,在网格中找出一点 $P$,使得点 $P$ 到直线 $AB$ 和 $AC$ 的距离相等.

7.

解析:如图,在 $AB$ 延长线上找到一点 $D$,使得 $AD=AC=10$,连接 $CD$,与网格交于点 $P$,由作图可知点 $P$ 为 $CD$ 中点,连接 $AP$,易证 $△ ACP≌ △ ADP$,所以 $AP$ 为 $∠ BAC$ 的平分线,所以点 $P$ 到直线 $AB$ 和 $AC$ 的距离相等,点 $P$ 即为所求.(合理即可)

8. (2026·黄山期中)如图,$△ ABC$的三边$AB$,$BC,CA$的长分别为$2a,3a,4a$,三角形的三条角平分线将$△ ABC$分为三个三角形,若$△ ABO$的面积为30,则$△ ABC$的面积为 （）


A.180
B.155
C.150
D.135

8. D 解析:如图,过点 $O$ 作 $AB,BC,AC$ 的垂线,垂足分别为$D,E,F,\because AO,BO,CO$ 是 $△ ABC$ 的三条角平分线,$\therefore OE=$$OF=OD.\because △ ABO$ 的面积为 $30,AB=2a,\therefore \dfrac{1}{2}AB· OD=$$\dfrac{1}{2}× 2a· OD=30,\therefore a· OD=30,\therefore △ ABC$ 的面积 $=$$S_{△ ABO}+S_{△ BCO}+S_{△ ACO}=30+\dfrac{1}{2}BC· OE+\dfrac{1}{2}AC· OF=30+\dfrac{1}{2}×$$3a· OD+\dfrac{1}{2}× 4a· OD=30+\dfrac{7}{2}a· OD=30+\dfrac{7}{2}× 30=135$.故选 D.

9. (2026·朔州期末)如图,OC是$∠ AOB$的平分线,点D,P分别在射线OC和OA上,$OD＞DP$且$∠ DPO=42°$.$Q$是射线$OB$上一点,若$DQ=DP$,则$∠ DQO$的度数为（）


A.$42°$
B.$48°$
C.$42°$或$48°$
D.$42°$或$138°$

9. D 解析:过 $D$ 作 $DM⊥ OA$ 于点 $M$,过 $D$ 作 $DN⊥ OB$ 于点 $N$,$\because OC$ 是 $∠ AOB$ 的平分线,$\therefore DM=DN$.①当 $Q$ 在点 $N$右侧时,如图①,则 $∠ PMD=∠ QND=90° ,\because DQ=DP$,

$\therefore \mathrm{Rt}△ DPM≌ \mathrm{Rt}△ DQN(\mathrm{HL}),\therefore ∠ DPM=∠ DQN=42°$,即$∠ DQO=42° .$
②当 $Q$ 在点 $N$ 左侧时,如图②,则 $∠ PMD=∠ QND=90°$,$\because DQ=DP,\therefore \mathrm{Rt}△ DPM≌ \mathrm{Rt}△ DQN(\mathrm{HL}),\therefore ∠ DPM=$$∠ DQN=42° ,\therefore ∠ DQO=180° -42° =138°$.综上可得 $∠ DQO$的度数为 $42°$ 或 $138°$.故选 D.

10. (牡丹江中考)如图,直线$l_{1},l_{2},l_{3}$表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有（）


A.一处
B.二处
C.三处
D.四处

10. D 解析:如图,可供选择的地址有四处.故选 D.

11. 如图,已知 $∠ B = ∠ C = 90°$,$E$ 是 $BC$ 的中点,
$DE$ 平分 $∠ ADC$, $∠ CED = 35°$, 则 $∠ EAB$
是$°$.

11. 35 解析:过点 $E$ 作 $EF⊥ AD.\because DE$ 平分 $∠ ADC$,且 $E$ 是$BC$ 的中点,$\therefore CE=EB=EF$. 又 $\because ∠ B=90°$,且 $AE=AE$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌ \mathrm{Rt}△ AFE,\therefore ∠ EAB=∠ EAF$. 又 $\because ∠ CED=$$35° ,∠ C=90° ,\therefore ∠ CDE=90° -35° =55° ,\therefore ∠ CDA=110° .$$\because ∠ B=∠ C=90° ,\therefore DC// AB,\therefore ∠ CDA+∠ DAB=180°$,$\therefore ∠ DAB=70° ,\therefore ∠ EAB=35° .$

12. 如图,在$△ ABC$中,$E$为$AC$的中点,$AD$平分$∠ BAC,BA:CA=2:3$,$AD$与$BE$相交于点$O$,若$△ OAE$的面积比$△ BOD$的面积大$a$,则$△ ABC$的面积是.

12. $10a$ 解析:作 $DM⊥ AC$ 于 $M,DN⊥ AB$ 于 $N$,$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore DM=DN,\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=(\dfrac{1}{2}· AB· DN):$$(\dfrac{1}{2}· AC· DM)=AB:AC=2:3$. 设 $△ ABC$ 的面积为 $S$,则 $S_{△ ADC}=\dfrac{3}{5}S,S_{△ BEC}=\dfrac{1}{2}S.\because △ OAE$ 的面积比 $△ BOD$ 的面积大 $a$,$\therefore △ ADC$ 的面积比 $△ BEC$ 的面积大 $a$,$\therefore \dfrac{3}{5}S-$$\dfrac{1}{2}S=a,\therefore S=10a.$

13. (2025·临沂期中) 如图, 任意画一个$∠ BAC=60°$的$△ ABC$,再分别作$△ ABC$的两条角平分线$BE$和$CD$,$BE$和$CD$相交于点$P$,连接$AP$,有以下结论:
①$∠ BPC=120°$; ②$AP$平分$∠ BAC$; ③$AD=AE$; ④$PD=PE$; ⑤$BD+CE=BC$.
其中正确的结论为.(填写序号)

13. ①②④⑤ 解析:$\because BE,CD$ 分别是 $∠ ABC$ 与 $∠ ACB$ 的平分线,$∠ BAC=60° ,\therefore ∠ PBC+∠ PCB=\dfrac{1}{2}(180° -∠ BAC)=$$\dfrac{1}{2}× (180° -60° )=60° ,\therefore ∠ BPC=180° -(∠ PBC+ $$∠ PCB)=180° -60° =120°$,①正确.如图,过点 $P$ 作 $PF⊥$$AB,PG⊥ AC,PH⊥ BC,\because BE,CD$ 分别是 $∠ ABC$ 与 $∠ ACB$的平分线,$\therefore PF=PH,PG=PH,\therefore PF=PG,\therefore AP$ 是 $∠ BAC$的平分线, ② 正确. $\because ∠ BPC=120° ,\therefore ∠ DPE=120°$.$\because ∠ BAC=60° ,∠ AFP=∠ AGP=90° ,\therefore ∠ FPG=120°$,$\therefore ∠ DPF=∠ EPG$.在 $△ PFD$ 与 $△ PGE$ 中,
$\begin{cases} ∠ DFP=∠ EGP,\\ PF=PG,\\ ∠ DPF=∠ EPG, \end{cases}$$\therefore △ PFD≌ △ PGE(\mathrm{ASA}),\therefore PD=PE$,④正确.在 $\mathrm{Rt}△ BHP$ 与 $\mathrm{Rt}△ BFP$ 中,$\begin{cases} BP=BP,\\ PH=PF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BHP≌ \mathrm{Rt}△ BFP(\mathrm{HL})$,同理,$\mathrm{Rt}△ CHP≌ \mathrm{Rt}△ CGP,\therefore CH=CG$,$\therefore BH=BD+DF,CH=CE-GE$,两式相加得 $BH+CH=BD+DF+CE-GE.\because DF=$$EG,\therefore BC=BD+CE$,⑤正确.没有条件得出 $AD=AE$,③不正确.故答案为①②④⑤.

14. 教材 P41 习题 T9 变式 如图,某娱乐休闲景区内有两条小路 AC 与 BD 相交于点 C,咖啡厅和购物商店分别在点 A 和点 C 处,景区管理员打算在 BD 上方区域内的点 Q 处修建游客服务区,要求点 Q 到 AC 的距离与点 Q 到BD 的距离相等,且$AQ=CQ$.请你帮景区管理员找出点 Q.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

14. 如图,有两个满足条件的点 $Q$.