15. (2026·德阳期中) 如图, 在 $△ A B C$ 中, $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 和 $A C$ 边的中垂线 $D E$ 交于点 $D, D M ⊥ B A$ 的延长线于点 $M, D N ⊥ B C$ 于点 $N$.
(1) 求证: $A M=C N$;
(2) 若 $B C=5, A B=3$, 求 $B M$.

15. (1)如图,连接 $AD,CD$,$\because BD$ 平分 $∠ ABC,DM⊥ AB,DN⊥$$BC,\therefore DM=DN,∠ M=∠ DNC=90° .\because DE$ 是 $AC$ 的中垂线,$\therefore AD=CD$. 在 $\mathrm{Rt}△ DAM$ 和 $\mathrm{Rt}△ DCN$ 中,$\begin{cases} AD=CD,\\ DM=DN, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ DAM≌ \mathrm{Rt}△ DCN(\mathrm{HL}),\therefore AM=CN.$

(2)设 $BN=x$,则 $AM=CN=BC-BN=5-x,\therefore BM=AB+AM=$$3+(5-x)=8-x.\because BD$ 平分 $∠ ABC,DM⊥ AB,DN⊥ BC$,$\therefore DM=DN,∠ M=∠ DNB=90° ,∠ MBD=∠ NBD$.在 $△ MBD$和 $△ NBD$ 中,$\begin{cases} ∠ M=∠ DNB,\\ ∠ MBD=∠ NBD,\\ DM=DN, \end{cases}$$\therefore △ MBD≌ △ NBD$$(\mathrm{AAS}),\therefore BN=BM=8-x,\therefore x=8-x$,解得 $x=4$,即 $BM=4$.

16. (2026·南通校级月考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=6,AC=11,BC=12$, 点 $D$ 是 $BC$ 中点, 点$E,F$ 分别是边 $AB,BC$ 上的动点, 且不与端点重合, 作 $∠ AEF$ 和 $∠ EFC$ 的平分线交于点 $G$,则 $DG+CG$ 的最小值为.

16. 11 解析:如图①,过 $G$ 作 $GP⊥ BA$ 交 $BA$ 延长线于点 $P$,作 $GQ⊥ BC$ 于点 $Q$,作 $GI⊥ EF$ 于点 $I$,连接 $BG$.

则 $∠ BPG=∠ BQG=90°$,$\because ∠ AEF$ 和 $∠ EFC$ 的平分线交于点 $G$,$\therefore GP=GI,GQ=GI,\therefore GP=GQ=GI$,$\therefore$ 点 $G$ 在 $∠ ABC$的平分线上,$\therefore ∠ ABG=∠ CBG.\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 中点,$\therefore BD=$$\dfrac{1}{2}BC=6=BA.\because BG=BG,\therefore △ ABG≌ △ DBG(\mathrm{SAS}),\therefore AG=$$DG.\because AG+CG≥ AC$,$\therefore$ 当 $A,G,C$ 三点共线时 $AG+CG$ 有最小值,如图②,即 $DG+CG$ 的最小值为 11.

17. 已知点 $C$ 是 $∠ MAN$ 平分线上的一点, $∠ BCD$的两边 $CB,CD$ 分别与射线 $AM,AN$ 相交于$B,D$ 两点,且 $∠ ABC+∠ ADC=180°$. 过点 $C$ 作$CE ⊥ AB$,垂足为 $E$.
(1) 如图①,当点 $E$ 在线段 $AB$ 上时,求证：$BC=DC$.
(2) 如图②,当点 $E$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,探究线段 $AB,AD$ 与 $BE$ 之间的等量关系,并说明理由.
(3) 如图③,在(2)的条件下,若 $∠ MAN=60°$,连接 $BD$,作 $∠ ABD$ 的平分线 $BF$ 交 $AD$于点 $F$,交 $AC$ 于点 $O$,连接 $DO$ 并延长交 $AB$于点 $G$.若 $BG=1$,$DF=2$,求线段 $DB$ 的长.

17. (1)如图①,过点 $C$ 作 $CF⊥ AN$,垂足为 $F$,$\because AC$ 平分$∠ MAN,CE⊥ AB,CF⊥ AN,\therefore CE=CF.\because ∠ CBE+∠ ADC=$$180° ,∠ CDF+∠ ADC=180° ,\therefore ∠ CBE=∠ CDF$. 在 $△ BCE$和 $△ DCF$ 中,$\begin{cases} ∠ CBE=∠ CDF,\\ ∠ CEB=∠ CFD=90° ,\\ CE=CF, \end{cases}$$\therefore △ BCE≌ △ DCF$$(\mathrm{AAS}),\therefore BC=DC.$
(2)$AD-AB=2BE$.理由如下:如图②,过点 $C$ 作 $CF⊥ AD$,垂足为 $F$.$\because AC$ 平分 $∠ MAN,CE⊥ AB,CF⊥ AD,\therefore CE=CF$.$\because ∠ ABC+∠ ADC=180° ,∠ ABC+∠ CBE=180° ,\therefore ∠ CDF=$$∠ CBE$.在 $△ BCE$ 和 $△ DCF$ 中,$\begin{cases} ∠ CBE=∠ CDF,\\ ∠ CEB=∠ CFD=90° ,\\ CE=CF, \end{cases}$$\therefore △ BCE≌ △ DCF(\mathrm{AAS}),\therefore DF=BE.\because CF=CE,AC=$$AC,\therefore \mathrm{Rt}△ ACF≌ \mathrm{Rt}△ ACE(\mathrm{HL}),\therefore AF=AE,\therefore AD=AF+$$DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE,\therefore AD-AB=2BE.$
(3)如图③,在 $BD$ 上截取 $BH=BG$,连接 $OH$.$\because BH=BG$,$∠ OBH=∠ OBG,OB=OB,\therefore △ OBH≌ △ OBG(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ OHB=∠ OGB$.$\because AO$ 是 $∠ MAN$ 的平分线,$BO$ 是 $∠ ABD$的平分线,$\therefore$ 点 $O$ 到 $AD,AB,BD$ 的距离相等,$\therefore ∠ ODH=$$∠ ODF.\because ∠ OHB=∠ ODH+∠ DOH,∠ OGB=∠ ODF+$$∠ DAB,\therefore ∠ DOH=∠ DAB=60° ,\therefore ∠ GOH=120°$,$\therefore ∠ BOG=∠ BOH=60° ,\therefore ∠ DOF=∠ BOG=60°$,$\therefore ∠ DOH=∠ DOF$.在 $△ ODH$ 和 $△ ODF$ 中,$\begin{cases} ∠ DOH=∠ DOF,\\ OD=OD,\\ ∠ ODH=∠ ODF, \end{cases}$$\therefore △ ODH≌ △ ODF(\mathrm{ASA}),\therefore DH=DF,\therefore DB=DH+BH=$$DF+BG=2+1=3.$