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10.为了丰富同学们的课余生活,体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍,购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元,小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍,若设每副羽毛球拍x元,每副乒乓球拍y元,则可列二元一次方程组（
A.$\begin{cases} x + y = 50, \\ 6(x + y) = 320 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 50, \\ 10x + 6y = 320 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 50, \\ 6x + 10y = 320 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 50, \\ 10(x + y) = 320 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x + y = 50, \\ 6(x + y) = 320 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 50, \\ 10x + 6y = 320 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 50, \\ 6x + 10y = 320 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 50, \\ 10(x + y) = 320 \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
这道题需要结合题目给出的两个独立等量关系列出二元一次方程组，解题思路很清晰：首先找第一个等量关系，题目明确说1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共50元，就能得到第一个方程；再找第二个等量关系，总花费320元买了6副羽毛球拍和10副乒乓球拍，根据“总价=单价×数量”，把两种球拍的总价相加等于总花费，就能得到第二个方程，联立两个方程后对应选项就能选出答案。
【解析】
第一步，根据“购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元”，已知羽毛球拍单价为x元，乒乓球拍单价为y元，可列第一个方程：
$x+y=50$
第二步，根据“320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍”，6副羽毛球拍总价为$6x$，10副乒乓球拍总价为$10y$，总花费为320元，可列第二个方程：
$6x+10y=320$
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x + y = 50, \\ 6x + 10y = 320 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系提取
【点评】
本题是基础应用题，主要考查从实际场景中梳理信息、列方程组的能力，解题时注意对应两种球拍的购买数量，不要搞混x和y的系数即可快速得分。
【难度系数】
0.85
这道题需要结合题目给出的两个独立等量关系列出二元一次方程组，解题思路很清晰：首先找第一个等量关系，题目明确说1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共50元，就能得到第一个方程；再找第二个等量关系，总花费320元买了6副羽毛球拍和10副乒乓球拍，根据“总价=单价×数量”，把两种球拍的总价相加等于总花费，就能得到第二个方程，联立两个方程后对应选项就能选出答案。
【解析】
第一步，根据“购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元”，已知羽毛球拍单价为x元，乒乓球拍单价为y元，可列第一个方程：
$x+y=50$
第二步，根据“320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍”，6副羽毛球拍总价为$6x$，10副乒乓球拍总价为$10y$，总花费为320元，可列第二个方程：
$6x+10y=320$
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x + y = 50, \\ 6x + 10y = 320 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系提取
【点评】
本题是基础应用题，主要考查从实际场景中梳理信息、列方程组的能力，解题时注意对应两种球拍的购买数量，不要搞混x和y的系数即可快速得分。
【难度系数】
0.85
11. 不等式组$\begin{cases}x - 1 ＞ 0, \\ \dfrac{1}{2}(x + 4) ＜ 3\end{cases}$的解集是 ______ 。
答案
1 ＜ x ＜ 2
解析
【分析】
要解一元一次不等式组，首先需要分别求出不等式组中每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，就是不等式组的解集。解题时先处理第一个一元一次不等式，通过移项求解，再处理第二个带系数的一元一次不等式，先去分母再移项求解，最后根据“大小小大中间找”的解集判断规则确定最终解集。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$x - 1 ＞ 0$：
移项可得：$x ＞ 1$。
2. 解不等式$\dfrac{1}{2}(x + 4) ＜ 3$：
不等式两边同时乘2消去分母，得：$x + 4 ＜ 6$，
移项可得：$x ＜ 2$。
两个不等式的解集分别为$x＞1$和$x＜2$，取公共部分可得不等式组的解集为$1＜x＜2$。
【答案】
$1 ＜ x ＜ 2$
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解步骤，解题的关键是准确计算每个不等式的解集，再正确判断公共解集，熟练掌握不等式的运算规则和解集判断口诀即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解一元一次不等式组，首先需要分别求出不等式组中每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，就是不等式组的解集。解题时先处理第一个一元一次不等式，通过移项求解，再处理第二个带系数的一元一次不等式，先去分母再移项求解，最后根据“大小小大中间找”的解集判断规则确定最终解集。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$x - 1 ＞ 0$：
移项可得：$x ＞ 1$。
2. 解不等式$\dfrac{1}{2}(x + 4) ＜ 3$：
不等式两边同时乘2消去分母，得：$x + 4 ＜ 6$，
移项可得：$x ＜ 2$。
两个不等式的解集分别为$x＞1$和$x＜2$，取公共部分可得不等式组的解集为$1＜x＜2$。
【答案】
$1 ＜ x ＜ 2$
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解步骤，解题的关键是准确计算每个不等式的解集，再正确判断公共解集，熟练掌握不等式的运算规则和解集判断口诀即可快速得分。
【难度系数】
0.9
12.将一副直角三角板的直角顶点重合为如图所示的形状，OC ⊥ DB，则∠AOB + ∠DOC =
180°
.答案
180°
解析
【分析】
解题时首先明确直角三角板的特征：两个直角三角板的直角顶点重合于O，因此∠AOB和∠DOC（即∠COD）均为90°的直角。要求∠AOB与∠DOC的和，直接利用直角的度数计算即可，也可通过拆分角验证结果：将角拆分后结合和差关系推导，最终都能得到两角之和的数值。
【解析】
解：
∵ 两个直角三角板的直角顶点重合于点O，
∴ ∠AOB = 90°，∠DOC = 90°，
∴ ∠AOB + ∠DOC = 90° + 90° = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
直角的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是掌握直角的度数为90°，准确识别图形中的直角即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确直角三角板的特征：两个直角三角板的直角顶点重合于O，因此∠AOB和∠DOC（即∠COD）均为90°的直角。要求∠AOB与∠DOC的和，直接利用直角的度数计算即可，也可通过拆分角验证结果：将角拆分后结合和差关系推导，最终都能得到两角之和的数值。
【解析】
解：
∵ 两个直角三角板的直角顶点重合于点O，
∴ ∠AOB = 90°，∠DOC = 90°，
∴ ∠AOB + ∠DOC = 90° + 90° = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
直角的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是掌握直角的度数为90°，准确识别图形中的直角即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
13.如图所示,一条街道的两个拐角∠ABC与∠BCD均为140°,则街道AB与CD的位置关系为
互相平行
.答案
互相平行
解析
【分析】
解题时首先观察已知的两个角∠ABC和∠BCD的位置关系：两个角在截线BC的两侧，且夹在被截直线AB、CD之间，属于内错角。已知两个角的度数相等，可直接依据平行线的判定定理推出AB与CD的位置关系。
【解析】
∠ABC和∠BCD是直线AB、CD被直线BC所截得到的内错角，
已知∠ABC=∠BCD=140°，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD，即AB与CD互相平行。
【答案】
互相平行
【知识点】
1.内错角的识别
2.平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题的关键是准确判断已知角的位置属性，结合已知角的数量关系即可快速得出结论，是平行线判定知识点的典型基础考法。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察已知的两个角∠ABC和∠BCD的位置关系：两个角在截线BC的两侧，且夹在被截直线AB、CD之间，属于内错角。已知两个角的度数相等，可直接依据平行线的判定定理推出AB与CD的位置关系。
【解析】
∠ABC和∠BCD是直线AB、CD被直线BC所截得到的内错角，
已知∠ABC=∠BCD=140°，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD，即AB与CD互相平行。
【答案】
互相平行
【知识点】
1.内错角的识别
2.平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题的关键是准确判断已知角的位置属性，结合已知角的数量关系即可快速得出结论，是平行线判定知识点的典型基础考法。
【难度系数】
0.9
14.蔬菜种植专业户金师傅要办一个小型蔬菜加工厂，向银行分别申请甲、乙两种贷款共13万元，金师傅每年需付利息6 075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是
6.1万元 6.9万元
。答案
6.1万元 6.9万元
解析
【分析】
这是一道利率类的一元一次方程应用题，解题时首先要统一单位，将利息的单位换算成万元，和贷款单位保持一致。解题思路为：先设其中一种贷款的金额为未知数，用总贷款额表示出另一种贷款的金额，再根据“甲贷款利息+乙贷款利息=总利息”的等量关系列方程，最后解方程求出两种贷款的金额即可。
【解析】
首先统一单位：$6075元=0.6075万元$。
解：设甲种贷款的金额为$x$万元，则乙种贷款的金额为$(13-x)$万元。
根据总利息=甲种贷款利息+乙种贷款利息，列方程得：
$6\%x + 3.5\%(13 - x) = 0.6075$
化简方程：
$0.06x + 0.455 - 0.035x = 0.6075$
$0.025x = 0.6075 - 0.455$
$0.025x = 0.1525$
解得：$x = 6.1$
则乙种贷款金额为：$13 - 6.1 = 6.9$（万元）
【答案】
6.1万元 6.9万元
【知识点】
一元一次方程应用；利息计算
【点评】
本题属于常见的利率类实际应用题，解题核心是找准利息总和的等量关系，计算时要注意单位统一，避免因单位不一致出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道利率类的一元一次方程应用题，解题时首先要统一单位，将利息的单位换算成万元，和贷款单位保持一致。解题思路为：先设其中一种贷款的金额为未知数，用总贷款额表示出另一种贷款的金额，再根据“甲贷款利息+乙贷款利息=总利息”的等量关系列方程，最后解方程求出两种贷款的金额即可。
【解析】
首先统一单位：$6075元=0.6075万元$。
解：设甲种贷款的金额为$x$万元，则乙种贷款的金额为$(13-x)$万元。
根据总利息=甲种贷款利息+乙种贷款利息，列方程得：
$6\%x + 3.5\%(13 - x) = 0.6075$
化简方程：
$0.06x + 0.455 - 0.035x = 0.6075$
$0.025x = 0.6075 - 0.455$
$0.025x = 0.1525$
解得：$x = 6.1$
则乙种贷款金额为：$13 - 6.1 = 6.9$（万元）
【答案】
6.1万元 6.9万元
【知识点】
一元一次方程应用；利息计算
【点评】
本题属于常见的利率类实际应用题，解题核心是找准利息总和的等量关系，计算时要注意单位统一，避免因单位不一致出现计算错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15. 把下列各式分解因式:
(1)$m^2n +14mn +49n$;
(2)$x^2 - y^2 +2y -1$.
15. 把下列各式分解因式:
(1)$m^2n +14mn +49n$;
(2)$x^2 - y^2 +2y -1$.
答案
(1)$n(m+7)^2$
(2)$(x+y-1)(x-y+1)$
(2)$(x+y-1)(x-y+1)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三分组”的通用思路求解：
(1) 先观察多项式各项，发现均含有公因式$n$，第一步先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的多项式的结构，发现剩余部分符合完全平方公式特征，可套用公式继续分解；
(2) 该多项式无公因式，观察发现后三项组合可构成完全平方式，先对后三项分组套用完全平方公式变形，变形后整体符合平方差公式结构，再套用平方差公式分解即可，注意分组时括号前为负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 先提取公因式$n$，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}m^2n +14mn +49n&=n(m^2 +14m +49)\\&=n(m+7)^2\end{aligned}$
(2) 先对后三项分组变形，再依次套用完全平方公式、平方差公式：
$\begin{aligned}x^2 - y^2 +2y -1&=x^2 - (y^2 -2y +1)\\&=x^2 - (y-1)^2\\&=[x+(y-1)][x-(y-1)]\\&=(x+y-1)(x-y+1)\end{aligned}$
【答案】
(1)$n(m+7)^2$
(2)$(x+y-1)(x-y+1)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，熟练掌握因式分解的操作顺序，牢记乘法公式的结构特征，注意符号变化规则，分解到不能再分解为止即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提、二套、三分组”的通用思路求解：
(1) 先观察多项式各项，发现均含有公因式$n$，第一步先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的多项式的结构，发现剩余部分符合完全平方公式特征，可套用公式继续分解；
(2) 该多项式无公因式，观察发现后三项组合可构成完全平方式，先对后三项分组套用完全平方公式变形，变形后整体符合平方差公式结构，再套用平方差公式分解即可，注意分组时括号前为负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 先提取公因式$n$，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}m^2n +14mn +49n&=n(m^2 +14m +49)\\&=n(m+7)^2\end{aligned}$
(2) 先对后三项分组变形，再依次套用完全平方公式、平方差公式：
$\begin{aligned}x^2 - y^2 +2y -1&=x^2 - (y^2 -2y +1)\\&=x^2 - (y-1)^2\\&=[x+(y-1)][x-(y-1)]\\&=(x+y-1)(x-y+1)\end{aligned}$
【答案】
(1)$n(m+7)^2$
(2)$(x+y-1)(x-y+1)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，熟练掌握因式分解的操作顺序，牢记乘法公式的结构特征，注意符号变化规则，分解到不能再分解为止即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
