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1.样本方差$s^2=\frac{1}{30}[(x_1 -20)^2 + (x_2 -20)^2 + \dots + (x_{30} -20)^2]$，数字20表示样本的 （
A.众数
B.中位数
C.数据的个数
D.平均数
D
）A.众数
B.中位数
C.数据的个数
D.平均数
答案
1.D
解析
【分析】
首先回忆样本方差的定义公式，明确方差公式中各个部分的含义：样本方差是每个样本数据与样本平均数的差的平方的平均数，公式中被减去的常量就是样本的平均数。接下来将题目给出的方差公式和标准公式做对比，再结合众数、中位数、数据个数的概念逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
样本方差的标准公式为：若n个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则样本方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$。
将题目中的公式和标准公式对比分析：
1. 公式中分母为30，即数据个数$n=30$，因此20不是数据个数，排除C选项；
2. 方差公式中被减去的量对应样本平均数$\overline{x}$，因此20为样本平均数；
3. 众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后处于中间位置的数，二者都不会出现在方差公式的这个位置，排除A、B选项。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
样本方差公式，平均数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对样本方差公式结构的记忆与理解，只要清楚方差公式中各部分代表的含义，同时区分开平均数、众数、中位数、数据个数的不同概念就能顺利做对。
【难度系数】
0.9
首先回忆样本方差的定义公式，明确方差公式中各个部分的含义：样本方差是每个样本数据与样本平均数的差的平方的平均数，公式中被减去的常量就是样本的平均数。接下来将题目给出的方差公式和标准公式做对比，再结合众数、中位数、数据个数的概念逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
样本方差的标准公式为：若n个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则样本方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$。
将题目中的公式和标准公式对比分析：
1. 公式中分母为30，即数据个数$n=30$，因此20不是数据个数，排除C选项；
2. 方差公式中被减去的量对应样本平均数$\overline{x}$，因此20为样本平均数；
3. 众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后处于中间位置的数，二者都不会出现在方差公式的这个位置，排除A、B选项。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
样本方差公式，平均数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对样本方差公式结构的记忆与理解，只要清楚方差公式中各部分代表的含义，同时区分开平均数、众数、中位数、数据个数的不同概念就能顺利做对。
【难度系数】
0.9
2.今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，测得其麦穗长（单位：cm）分别为8,8,6,7,9,9,7,8,10,8，那么这一组数据的方差为 （
A.1.5
B.1.4
C.1.3
D.1.2
D
）A.1.5
B.1.4
C.1.3
D.1.2
答案
2.D
解析
【分析】要计算这组数据的方差，需遵循方差的计算步骤思考：首先先计算这组10个数据的平均数，再依次计算每个数据与平均数的差的平方，将所有平方值求和得到平方和，最后用平方和除以数据总个数10即可得到方差。计算过程中可以先统计相同数据的出现次数，简化运算避免出错。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数
观察数据：8出现4次，9出现2次，7出现2次，6和10各出现1次
总和 = 8×4 + 9×2 + 7×2 + 6 + 10 = 32 + 18 +14 +16 = 80
平均数 $\bar{x} = \frac{80}{10}=8$
第二步：根据方差公式计算方差
方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
代入数据：
$s^2=\frac{1}{10}[4×(8-8)^2 + 2×(9-8)^2 + 2×(7-8)^2 + (6-8)^2 + (10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}[4×0 + 2×1 + 2×1 + 4 + 4]$
$=\frac{1}{10}×12=1.2$
因此选D。
【答案】D
【知识点】平均数的计算；方差的计算
【点评】本题属于统计部分的基础计算题，核心考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算步骤，运算时细心即可得分，注意计算平方和时不要漏算或错算各数据的出现次数。
【难度系数】0.8
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数
观察数据：8出现4次，9出现2次，7出现2次，6和10各出现1次
总和 = 8×4 + 9×2 + 7×2 + 6 + 10 = 32 + 18 +14 +16 = 80
平均数 $\bar{x} = \frac{80}{10}=8$
第二步：根据方差公式计算方差
方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
代入数据：
$s^2=\frac{1}{10}[4×(8-8)^2 + 2×(9-8)^2 + 2×(7-8)^2 + (6-8)^2 + (10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}[4×0 + 2×1 + 2×1 + 4 + 4]$
$=\frac{1}{10}×12=1.2$
因此选D。
【答案】D
【知识点】平均数的计算；方差的计算
【点评】本题属于统计部分的基础计算题，核心考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算步骤，运算时细心即可得分，注意计算平方和时不要漏算或错算各数据的出现次数。
【难度系数】0.8
3.A,B两名射击运动员进行了相同次数的射击.下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中,能说明A成绩较好且更稳定的是 (
A.$\bar{x}_A＞\bar{x}_B$且$s_A^2＞s_B^2$
B.$\bar{x}_A＞\bar{x}_B$且$s_A^2＜s_B^2$
C.$\bar{x}_A＜\bar{x}_B$且$s_A^2＞s_B^2$
D.$\bar{x}_A＜\bar{x}_B$且$s_A^2＜s_B^2$
B
)A.$\bar{x}_A＞\bar{x}_B$且$s_A^2＞s_B^2$
B.$\bar{x}_A＞\bar{x}_B$且$s_A^2＜s_B^2$
C.$\bar{x}_A＜\bar{x}_B$且$s_A^2＞s_B^2$
D.$\bar{x}_A＜\bar{x}_B$且$s_A^2＜s_B^2$
答案
3.B
解析
【分析】
要判断A成绩较好且更稳定，首先需明确平均数和方差的统计意义：平均数反映一组数据的平均水平，数值越高说明整体成绩越好；方差反映一组数据的波动程度，数值越小说明成绩波动越小、稳定性越强。因此只需找到同时满足“A的平均数大于B的平均数”“A的方差小于B的方差”的选项即可。
【解析】
解：①判断成绩优劣看平均数：要A成绩更好，说明A的平均水平高于B，即$\bar{x}_A＞\bar{x}_B$；
②判断成绩稳定性看方差：要A成绩更稳定，说明A的成绩波动更小，即$s_A^2＜s_B^2$；
综上，同时满足两个条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.平均数的意义
2.方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查对平均数、方差统计意义的理解，掌握两个统计量分别反映的数据特征就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断A成绩较好且更稳定，首先需明确平均数和方差的统计意义：平均数反映一组数据的平均水平，数值越高说明整体成绩越好；方差反映一组数据的波动程度，数值越小说明成绩波动越小、稳定性越强。因此只需找到同时满足“A的平均数大于B的平均数”“A的方差小于B的方差”的选项即可。
【解析】
解：①判断成绩优劣看平均数：要A成绩更好，说明A的平均水平高于B，即$\bar{x}_A＞\bar{x}_B$；
②判断成绩稳定性看方差：要A成绩更稳定，说明A的成绩波动更小，即$s_A^2＜s_B^2$；
综上，同时满足两个条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.平均数的意义
2.方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查对平均数、方差统计意义的理解，掌握两个统计量分别反映的数据特征就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4.已知一组数据的离差平方和$d^2=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_{10}-\overline{x})^2=50$，则这组数据的方差$s^2=\_\_\_\_\_\_$。
答案
5
解析
【分析】
解题时先回忆方差的定义：方差是各数据与平均数的差的平方的平均数，也就是离差平方和除以数据的总个数。我们从题目中提取两个关键已知条件：一是离差平方和为50，二是数据总个数是10（式子中包含$x_1$到$x_{10}$共10个数据），直接代入方差公式计算即可。
【解析】
方差的计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$n$是数据的总个数，分子部分就是离差平方和。
由题可得$n=10$，离差平方和为50，代入公式计算：
$s^2=\frac{1}{10}×50=5$
【答案】
5
【知识点】
方差的计算，离差平方和
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对定义的理解应用，只要熟练掌握方差的基本公式，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆方差的定义：方差是各数据与平均数的差的平方的平均数，也就是离差平方和除以数据的总个数。我们从题目中提取两个关键已知条件：一是离差平方和为50，二是数据总个数是10（式子中包含$x_1$到$x_{10}$共10个数据），直接代入方差公式计算即可。
【解析】
方差的计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$n$是数据的总个数，分子部分就是离差平方和。
由题可得$n=10$，离差平方和为50，代入公式计算：
$s^2=\frac{1}{10}×50=5$
【答案】
5
【知识点】
方差的计算，离差平方和
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对定义的理解应用，只要熟练掌握方差的基本公式，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5.为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为$s^2_甲=3.6$，$s^2_乙=5.8$，则这两种小麦长势更整齐的是
甲
（填“甲”或“乙”）。答案
5.甲
解析
【分析】
要判断哪种小麦长势更整齐，本质是比较两组小麦苗高数据的稳定性。我们学过方差是衡量数据波动程度的统计量，当两组数据平均数相同时，方差越小，数据的离散程度越小，对应长势就越整齐。因此解题时只需要先对比甲、乙的方差大小，再结合方差的意义就能得出结论。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，离散程度越低，长势就越整齐。
已知两种小麦苗高的平均数相同，且$s^2_甲=3.6$，$s^2_乙=5.8$，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，因此甲种小麦的长势更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；方差的实际应用
【点评】
本题考查方差在实际场景中的应用，解题的关键是明确方差越小，数据的稳定性越强，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
要判断哪种小麦长势更整齐，本质是比较两组小麦苗高数据的稳定性。我们学过方差是衡量数据波动程度的统计量，当两组数据平均数相同时，方差越小，数据的离散程度越小，对应长势就越整齐。因此解题时只需要先对比甲、乙的方差大小，再结合方差的意义就能得出结论。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，离散程度越低，长势就越整齐。
已知两种小麦苗高的平均数相同，且$s^2_甲=3.6$，$s^2_乙=5.8$，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，因此甲种小麦的长势更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；方差的实际应用
【点评】
本题考查方差在实际场景中的应用，解题的关键是明确方差越小，数据的稳定性越强，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
6.甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
对以上数据进行分析，绘制成如表：
(1)填空：$\bar{x}_甲 =$
(2)根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由.
对以上数据进行分析，绘制成如表：
(1)填空：$\bar{x}_甲 =$
7
，$m=$ 6
，$n=$ 7
.(2)根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由.
答案
6.解:(1)$\overline{x}_甲 =\frac{6×4+7×3+8×2+9}{10}=7$(环),甲射击10次成绩出现次数最多的是6环,所以甲射击10次成绩的众数是6环,即m=6,将乙10次射击成绩按从小到大排列后,处在中间位置的两个数的平均数为$\frac{7+7}{2}=7$(环),所以乙10次射击成绩的中位数是7环,即n=7.故答案为7,6,7;
(2)甲的射击成绩比较稳定,理由:样本中甲的射击成绩的方差较小,成绩比较稳定.
(2)甲的射击成绩比较稳定,理由:样本中甲的射击成绩的方差较小,成绩比较稳定.
解析
【分析】
（1）求甲的平均成绩可根据加权平均数的计算方法，将各成绩乘对应出现次数求和后，除以总射击次数即可；求m即甲射击成绩的众数，只需找出甲成绩中出现次数最多的数值即可；求n即乙射击成绩的中位数，需先将乙的成绩从小到大排序，因总射击次数为10是偶数，取中间两个数的平均数即为中位数。（2）评价成绩稳定性需结合方差的意义，方差越小说明数据波动越小，成绩越稳定，对比甲乙两人的方差大小即可判断。
【解析】
(1) 计算甲的平均成绩：$\overline{x}_甲 =\frac{6×4+7×3+8×2+9}{10}=\frac{24+21+16+9}{10}=\frac{70}{10}=7$（环）；
甲10次射击成绩中，6环出现了4次，出现次数最多，因此众数$m=6$；
将乙10次射击成绩从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是7环，因此中位数$n=\frac{7+7}{2}=7$（环）。
(2) 甲的射击成绩比较稳定。理由：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，已知甲的射击成绩方差小于乙的方差，因此甲的成绩更稳定。
【答案】
(1) 7，6，7；(2) 甲的射击成绩更稳定，理由是甲的射击成绩方差较小，成绩波动小，更稳定。
【知识点】
加权平均数计算；众数与中位数；方差的意义
【点评】
本题主要考查统计特征量的计算与实际应用，解题的核心是熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的定义和实际含义，能结合数据特征选择合适的统计量分析问题。
【难度系数】
0.8
（1）求甲的平均成绩可根据加权平均数的计算方法，将各成绩乘对应出现次数求和后，除以总射击次数即可；求m即甲射击成绩的众数，只需找出甲成绩中出现次数最多的数值即可；求n即乙射击成绩的中位数，需先将乙的成绩从小到大排序，因总射击次数为10是偶数，取中间两个数的平均数即为中位数。（2）评价成绩稳定性需结合方差的意义，方差越小说明数据波动越小，成绩越稳定，对比甲乙两人的方差大小即可判断。
【解析】
(1) 计算甲的平均成绩：$\overline{x}_甲 =\frac{6×4+7×3+8×2+9}{10}=\frac{24+21+16+9}{10}=\frac{70}{10}=7$（环）；
甲10次射击成绩中，6环出现了4次，出现次数最多，因此众数$m=6$；
将乙10次射击成绩从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是7环，因此中位数$n=\frac{7+7}{2}=7$（环）。
(2) 甲的射击成绩比较稳定。理由：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，已知甲的射击成绩方差小于乙的方差，因此甲的成绩更稳定。
【答案】
(1) 7，6，7；(2) 甲的射击成绩更稳定，理由是甲的射击成绩方差较小，成绩波动小，更稳定。
【知识点】
加权平均数计算；众数与中位数；方差的意义
【点评】
本题主要考查统计特征量的计算与实际应用，解题的核心是熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的定义和实际含义，能结合数据特征选择合适的统计量分析问题。
【难度系数】
0.8
