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7.为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中各随机抽取了10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表(单位:秒)：
| 编号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲种电子钟 | 4 | -3 | -1 |
| -2 | 1 | -2 | 2 | -2 | 1 |
| 乙种电子钟 | 2 | -3 | -3 | 4 | 1 | -2 | 1 | -1 | -1 | 2 |
(1)求这两种电子钟走时误差的方差；
(2)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优.若两种类型的电子钟价格相同，请问应买哪种电子钟？并说明理由.
| 编号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲种电子钟 | 4 | -3 | -1 |
| -2 | 1 | -2 | 2 | -2 | 1 || 乙种电子钟 | 2 | -3 | -3 | 4 | 1 | -2 | 1 | -1 | -1 | 2 |
(1)求这两种电子钟走时误差的方差；
(2)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优.若两种类型的电子钟价格相同，请问应买哪种电子钟？并说明理由.
答案
7.解:(1)$\overline{x}_甲 =\frac{1}{10}×(4-3-1+2-2+1-2+2-2+1)=0$(s),$\overline{x}_乙 =\frac{1}{10}×(2-3-3+4+1-2+1-1-1+2)=0$(s),$s^2_甲 =\frac{1}{10}×[(4-0)^2+(-3-0)^2+(-1-0)^2+2×(2-0)^2+3×(-2-0)^2+2×(1-0)^2]=4.8$,$s^2_乙 =\frac{1}{10}×[2×(2-0)^2+2×(-3-0)^2+(4-0)^2+2×(1-0)^2+(-2-0)^2+2×(-1-0)^2]=5$;
(2)应买甲种电子钟.理由如下:$\because \overline{x}_甲 =\overline{x}_乙$,$s^2_甲 ＜ s^2_乙$,$\therefore$甲种电子钟走时稳定性较好,$\therefore$应买甲种电子钟.
(2)应买甲种电子钟.理由如下:$\because \overline{x}_甲 =\overline{x}_乙$,$s^2_甲 ＜ s^2_乙$,$\therefore$甲种电子钟走时稳定性较好,$\therefore$应买甲种电子钟.
解析
【分析】
解题思路可分为两步：
1. 求解方差需遵循“先算平均数，再算差的平方的平均数”的逻辑，先分别计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$即可求出两方差。
2. 判断电子钟质量时，依据方差的意义：平均数相同时，方差越小数据波动越小、稳定性越好，比较两者方差大小即可得出结论。
【解析】
(1) 计算甲种电子钟走时误差的平均数：
$\overline{x}_甲 =\frac{1}{10}×(4-3-1+2-2+1-2+2-2+1)=0\ \mathrm{s}$
计算乙种电子钟走时误差的平均数：
$\overline{x}_乙 =\frac{1}{10}×(2-3-3+4+1-2+1-1-1+2)=0\ \mathrm{s}$
代入方差公式计算甲的方差：
$s^2_甲 =\frac{1}{10}×[(4-0)^2+(-3-0)^2+(-1-0)^2+2×(2-0)^2+3×(-2-0)^2+2×(1-0)^2]=4.8$
代入方差公式计算乙的方差：
$s^2_乙 =\frac{1}{10}×[2×(2-0)^2+2×(-3-0)^2+(4-0)^2+2×(1-0)^2+(-2-0)^2+2×(-1-0)^2]=5$
(2) 决策判断：
已知$\overline{x}_甲 =\overline{x}_乙$，且$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲种电子钟走时误差波动更小，稳定性更好，因此应选择甲种电子钟。
【答案】
(1) 甲种电子钟走时误差的方差为$\boldsymbol{4.8}$，乙种电子钟走时误差的方差为$\boldsymbol{5}$；
(2) 应买甲种电子钟，因为两种电子钟平均走时误差相同，甲的方差更小，走时稳定性更好。
【知识点】
平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】
本题结合实际选购场景考查统计知识的应用，核心是掌握方差的计算步骤和“方差越小数据稳定性越高”的性质，能有效考查学生用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：
1. 求解方差需遵循“先算平均数，再算差的平方的平均数”的逻辑，先分别计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$即可求出两方差。
2. 判断电子钟质量时，依据方差的意义：平均数相同时，方差越小数据波动越小、稳定性越好，比较两者方差大小即可得出结论。
【解析】
(1) 计算甲种电子钟走时误差的平均数：
$\overline{x}_甲 =\frac{1}{10}×(4-3-1+2-2+1-2+2-2+1)=0\ \mathrm{s}$
计算乙种电子钟走时误差的平均数：
$\overline{x}_乙 =\frac{1}{10}×(2-3-3+4+1-2+1-1-1+2)=0\ \mathrm{s}$
代入方差公式计算甲的方差：
$s^2_甲 =\frac{1}{10}×[(4-0)^2+(-3-0)^2+(-1-0)^2+2×(2-0)^2+3×(-2-0)^2+2×(1-0)^2]=4.8$
代入方差公式计算乙的方差：
$s^2_乙 =\frac{1}{10}×[2×(2-0)^2+2×(-3-0)^2+(4-0)^2+2×(1-0)^2+(-2-0)^2+2×(-1-0)^2]=5$
(2) 决策判断：
已知$\overline{x}_甲 =\overline{x}_乙$，且$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲种电子钟走时误差波动更小，稳定性更好，因此应选择甲种电子钟。
【答案】
(1) 甲种电子钟走时误差的方差为$\boldsymbol{4.8}$，乙种电子钟走时误差的方差为$\boldsymbol{5}$；
(2) 应买甲种电子钟，因为两种电子钟平均走时误差相同，甲的方差更小，走时稳定性更好。
【知识点】
平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】
本题结合实际选购场景考查统计知识的应用，核心是掌握方差的计算步骤和“方差越小数据稳定性越高”的性质，能有效考查学生用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
8.某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是$\bar{x}_甲=610\ \mathrm{kg}$，$\bar{x}_乙=608\ \mathrm{kg}$，亩产量的方差分别是$s^2_甲=29.6$，$s^2_乙=2.7$，则关于两种小麦推广种植的合理决策是 （
A.甲的平均亩产量较高，应推广甲
B.甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C.甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲
D.甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙
D
）A.甲的平均亩产量较高，应推广甲
B.甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C.甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲
D.甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先要明确平均数和方差这两个统计量的实际意义：平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动（稳定）程度，方差越小数据越稳定。我们分两步判断：第一步先对比甲、乙的平均亩产量，判断二者平均产量的差距；第二步对比二者的方差，判断产量的稳定性，最后结合实际种植需求做出合理决策。
【解析】
1. 对比平均亩产量：$\bar{x}_甲=610\ \mathrm{kg}$，$\bar{x}_乙=608\ \mathrm{kg}$，二者仅相差2kg，说明甲、乙的平均亩产量相差不多。
2. 对比方差：方差越小，数据波动越小，产量越稳定。已知$s^2_甲=29.6$，$s^2_乙=2.7$，可得$s^2_乙＜s^2_甲$，说明乙的亩产量更稳定。
综合两个维度的信息，甲、乙平均亩产量接近，但乙的亩产量稳定性更好，更适合推广，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
平均数；方差
【点评】
本题是统计知识在实际生产中的应用类题目，解题核心是准确掌握平均数和方差的统计意义，结合实际需求综合多维度信息判断，不能只参考单一统计量做决策。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平均数和方差这两个统计量的实际意义：平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动（稳定）程度，方差越小数据越稳定。我们分两步判断：第一步先对比甲、乙的平均亩产量，判断二者平均产量的差距；第二步对比二者的方差，判断产量的稳定性，最后结合实际种植需求做出合理决策。
【解析】
1. 对比平均亩产量：$\bar{x}_甲=610\ \mathrm{kg}$，$\bar{x}_乙=608\ \mathrm{kg}$，二者仅相差2kg，说明甲、乙的平均亩产量相差不多。
2. 对比方差：方差越小，数据波动越小，产量越稳定。已知$s^2_甲=29.6$，$s^2_乙=2.7$，可得$s^2_乙＜s^2_甲$，说明乙的亩产量更稳定。
综合两个维度的信息，甲、乙平均亩产量接近，但乙的亩产量稳定性更好，更适合推广，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
平均数；方差
【点评】
本题是统计知识在实际生产中的应用类题目，解题核心是准确掌握平均数和方差的统计意义，结合实际需求综合多维度信息判断，不能只参考单一统计量做决策。
【难度系数】
0.8
9.求一组数据方差的算式为：$s^2=\frac{1}{n}×[(6-\overline{x})^2+(8-\overline{x})^2+(8-\overline{x})^2+(6-\overline{x})^2+(7-\overline{x})^2]$。由算式提供的信息，下列说法错误的是（
A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的离差平方和是4
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差不变
D
）A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的离差平方和是4
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差不变
答案
9.D
解析
【分析】
解题时先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\overline{x}$是数据的平均数，分子部分是离差平方和。首先根据给出的方差算式确定样本容量$n$和原始数据，再依次计算平均数、离差平方和验证选项A、B、C，最后计算加入两个7后的新方差，判断D选项的正误即可。
【解析】
1. 验证A选项：观察给出的方差算式，共有5个平方项，对应样本容量$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 验证B选项：由算式可知这组数据为6、8、8、6、7，计算平均数$\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 验证C选项：离差平方和为$(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2=1+1+1+1+0=4$，C说法正确，不符合题意。
4. 验证D选项：加入两个7后，新数据为6、8、8、6、7、7、7，新的平均数$\overline{x}'=\frac{35+7+7}{7}=7$，新方差$s'^2=\frac{1}{7}×[4+(7-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{7}$，原方差$s^2=\frac{4}{5}$，$\frac{4}{7}≠\frac{4}{5}$，方差发生改变，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
方差计算，平均数计算，方差的性质
【点评】
本题围绕方差公式展开考查，需要准确理解方差公式中各部分的含义，熟练掌握平均数、方差的计算方法，注意加入与平均数相等的数据时，离差平方和不变，但样本容量增大，方差会减小，不要误认为方差不变。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\overline{x}$是数据的平均数，分子部分是离差平方和。首先根据给出的方差算式确定样本容量$n$和原始数据，再依次计算平均数、离差平方和验证选项A、B、C，最后计算加入两个7后的新方差，判断D选项的正误即可。
【解析】
1. 验证A选项：观察给出的方差算式，共有5个平方项，对应样本容量$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 验证B选项：由算式可知这组数据为6、8、8、6、7，计算平均数$\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 验证C选项：离差平方和为$(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2=1+1+1+1+0=4$，C说法正确，不符合题意。
4. 验证D选项：加入两个7后，新数据为6、8、8、6、7、7、7，新的平均数$\overline{x}'=\frac{35+7+7}{7}=7$，新方差$s'^2=\frac{1}{7}×[4+(7-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{7}$，原方差$s^2=\frac{4}{5}$，$\frac{4}{7}≠\frac{4}{5}$，方差发生改变，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
方差计算，平均数计算，方差的性质
【点评】
本题围绕方差公式展开考查，需要准确理解方差公式中各部分的含义，熟练掌握平均数、方差的计算方法，注意加入与平均数相等的数据时，离差平方和不变，但样本容量增大，方差会减小，不要误认为方差不变。
【难度系数】
0.6
10.在一场排球比赛中,某排球队6名场上队员的身高(单位:cm)分别是:180,184,188,190,192,194.如果用一名身高为190 cm的队员替换场上身高为184 cm的队员,那么换人后与换人前相比,场上队员身高的平均数变
大
,方差变小
.(填“大”或“小”)答案
10.大 小
解析
【分析】
要判断平均数和方差的变化，先回忆两个统计量的定义：①平均数是所有数据的和除以数据个数，因此只需比较替换前后数据总和的变化即可判断平均数变化；②方差反映的是数据的离散程度（波动大小），数据越集中、波动越小，方差越小，也可以通过计算方差验证结果。
第一步判断平均数：替换掉的身高是184cm，换上的是190cm，190＞184，数据总个数不变，总和增大，因此平均数变大。
第二步判断方差：原数据中184cm偏小，和整体数据的差距更大，替换成190cm后，所有身高的差距变小，数据更集中，因此方差变小，也可通过分别计算换人前、后的方差验证结论。
【解析】
1. 计算平均数变化：
换人前6名队员身高总和：$180+184+188+190+192+194=1128\mathrm{cm}$，
换人前平均数：$\overline{x}_1=\frac{1128}{6}=188\mathrm{cm}$。
换人后身高总和：$1128-184+190=1134\mathrm{cm}$，
换人后平均数：$\overline{x}_2=\frac{1134}{6}=189\mathrm{cm}$。
因为$189＞188$，所以平均数变大。
2. 计算方差变化：
换人前方差：
$S_1^2=\frac{1}{6}[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]$
$=\frac{1}{6}(64+16+0+4+16+36)=\frac{136}{6}\approx22.67$。
换人后方差：
$S_2^2=\frac{1}{6}[(180-189)^2+(190-189)^2+(188-189)^2+(190-189)^2+(192-189)^2+(194-189)^2]$
$=\frac{1}{6}(81+1+1+1+9+25)=\frac{118}{6}\approx19.67$。
因为$S_2^2＜S_1^2$，所以方差变小。
【答案】
大；小
【知识点】
平均数的计算；方差的意义与计算
【点评】
本题考查平均数和方差的基础应用，既可以通过直接计算得出结果，也可以根据两个统计量的性质快速判断：平均数随数据总和的增大而增大，方差随数据离散程度的减小而减小，熟练掌握概念可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断平均数和方差的变化，先回忆两个统计量的定义：①平均数是所有数据的和除以数据个数，因此只需比较替换前后数据总和的变化即可判断平均数变化；②方差反映的是数据的离散程度（波动大小），数据越集中、波动越小，方差越小，也可以通过计算方差验证结果。
第一步判断平均数：替换掉的身高是184cm，换上的是190cm，190＞184，数据总个数不变，总和增大，因此平均数变大。
第二步判断方差：原数据中184cm偏小，和整体数据的差距更大，替换成190cm后，所有身高的差距变小，数据更集中，因此方差变小，也可通过分别计算换人前、后的方差验证结论。
【解析】
1. 计算平均数变化：
换人前6名队员身高总和：$180+184+188+190+192+194=1128\mathrm{cm}$，
换人前平均数：$\overline{x}_1=\frac{1128}{6}=188\mathrm{cm}$。
换人后身高总和：$1128-184+190=1134\mathrm{cm}$，
换人后平均数：$\overline{x}_2=\frac{1134}{6}=189\mathrm{cm}$。
因为$189＞188$，所以平均数变大。
2. 计算方差变化：
换人前方差：
$S_1^2=\frac{1}{6}[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]$
$=\frac{1}{6}(64+16+0+4+16+36)=\frac{136}{6}\approx22.67$。
换人后方差：
$S_2^2=\frac{1}{6}[(180-189)^2+(190-189)^2+(188-189)^2+(190-189)^2+(192-189)^2+(194-189)^2]$
$=\frac{1}{6}(81+1+1+1+9+25)=\frac{118}{6}\approx19.67$。
因为$S_2^2＜S_1^2$，所以方差变小。
【答案】
大；小
【知识点】
平均数的计算；方差的意义与计算
【点评】
本题考查平均数和方差的基础应用，既可以通过直接计算得出结果，也可以根据两个统计量的性质快速判断：平均数随数据总和的增大而增大，方差随数据离散程度的减小而减小，熟练掌握概念可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8
