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11.小聪同学在计算一组数据1,3,4,5,x的方差时,写出的计算过程是：$s^2=\frac{1}{5}[(1-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(x-4)^2]=4$,如果他的计算是正确的,你认为这组数据中的x的值为
7
.答案
11.7
解析
【分析】
首先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}$是这组数据的平均数。观察题目给出的方差计算式，所有数据都减去4，说明这组数据的平均数$\overline{x}=4$。我们可以通过两种思路解题：一是利用平均数的定义，5个数据的总和等于平均数乘5，直接计算x；二是直接求解给出的方差方程，再结合平均数为4的条件筛选正确的解。
【解析】
方法1：利用平均数求解
从方差计算式可知这组数据的平均数为4，根据平均数的定义：
$\frac{1+3+4+5+x}{5}=4$
等式两边同乘5得：$1+3+4+5+x=20$
计算已知数的和：$13+x=20$
解得：$x=7$
方法2：直接解方差方程
先计算等式中前四个平方项的和：
$(1-4)^2=9$，$(3-4)^2=1$，$(4-4)^2=0$，$(5-4)^2=1$，前四项和为$9+1+0+1=11$
代入原等式：$\frac{1}{5}[11+(x-4)^2]=4$
两边同乘5得：$11+(x-4)^2=20$
移项得：$(x-4)^2=9$
开平方得$x-4=\pm3$，即$x=7$或$x=1$
由于这组数据的平均数为4，总和应为$4×5=20$，若$x=1$，总和为$1+3+4+5+1=14≠20$，不符合条件，故舍去$x=1$，最终得$x=7$。
【答案】
7
【知识点】
方差的计算，平均数的计算
【点评】
本题重点考查方差和平均数的关联应用，解题的核心是能从方差表达式中提取出平均数的数值，求解后注意验证解是否符合平均数的要求，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.7
首先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}$是这组数据的平均数。观察题目给出的方差计算式，所有数据都减去4，说明这组数据的平均数$\overline{x}=4$。我们可以通过两种思路解题：一是利用平均数的定义，5个数据的总和等于平均数乘5，直接计算x；二是直接求解给出的方差方程，再结合平均数为4的条件筛选正确的解。
【解析】
方法1：利用平均数求解
从方差计算式可知这组数据的平均数为4，根据平均数的定义：
$\frac{1+3+4+5+x}{5}=4$
等式两边同乘5得：$1+3+4+5+x=20$
计算已知数的和：$13+x=20$
解得：$x=7$
方法2：直接解方差方程
先计算等式中前四个平方项的和：
$(1-4)^2=9$，$(3-4)^2=1$，$(4-4)^2=0$，$(5-4)^2=1$，前四项和为$9+1+0+1=11$
代入原等式：$\frac{1}{5}[11+(x-4)^2]=4$
两边同乘5得：$11+(x-4)^2=20$
移项得：$(x-4)^2=9$
开平方得$x-4=\pm3$，即$x=7$或$x=1$
由于这组数据的平均数为4，总和应为$4×5=20$，若$x=1$，总和为$1+3+4+5+1=14≠20$，不符合条件，故舍去$x=1$，最终得$x=7$。
【答案】
7
【知识点】
方差的计算，平均数的计算
【点评】
本题重点考查方差和平均数的关联应用，解题的核心是能从方差表达式中提取出平均数的数值，求解后注意验证解是否符合平均数的要求，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.7
12.某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最近10次的选拔赛中,他们的射击成绩(单位:环)信息如下：
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m,n$的值:$m=$
(2)
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以.你认为他说得对吗?请说明理由(写出一条合理的理由即可).
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m,n$的值:$m=$
8.5
,$n=$8
.(2)
乙
队员在射击选拔赛中发挥得更稳定(填“甲”或“乙”).(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以.你认为他说得对吗?请说明理由(写出一条合理的理由即可).
答案
12.解:(1)乙运动员的成绩按照从小到大排列:6,7,7,8,8,9,9,9,10,10,所以乙的中位数$m=\frac{8+9}{2}=8.5$,甲运动员成绩中8环的最多,故众数n=8.故答案为8.5,8;
(2)$\because$甲的方差是2.01,乙的方差是1.61,1.61＜2.01,$\therefore$乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定.故答案为乙;
(3)他说得不对,理由:虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样,但是乙的方差比甲的小,说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定,所以应该推荐乙队员参赛.
(2)$\because$甲的方差是2.01,乙的方差是1.61,1.61＜2.01,$\therefore$乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定.故答案为乙;
(3)他说得不对,理由:虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样,但是乙的方差比甲的小,说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定,所以应该推荐乙队员参赛.
解析
【分析】
（1）求m和n时，首先回忆中位数、众数的定义：中位数是将一组数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数。所以先把乙的成绩排序求中位数m，再统计甲成绩中各数据出现的次数找众数n。
（2）判断谁发挥更稳定，根据方差的性质：方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，直接比较甲乙的方差大小即可。
（3）判断推荐是否合理，不能只参考平均数，还需要结合方差、中位数、众数等统计量的实际意义分析，比如方差反映稳定性，中位数、众数反映高分占比等。
【解析】
(1) 先将乙的射击成绩从小到大排列：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10，共10个数据，中位数是第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{8+9}{2}=8.5$；
统计甲的成绩：8出现了4次，出现次数最多，所以众数$n=8$。
(2) 已知甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，因为$1.61＜2.01$，方差越小发挥越稳定，所以乙队员发挥更稳定。
(3) 他说得不对，理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛（或理由：乙的中位数、众数均高于甲，说明乙的高分更多，更适合参赛，合理即可）。
【答案】
(1) $8.5$，$8$；
(2) 乙；
(3) 他说得不对，虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛。
【知识点】
中位数的计算；众数的概念；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的应用，需要熟练掌握各统计量的计算方法和代表的实际意义，能够结合需求选择合适的统计量分析数据特征，解决实际问题。
【难度系数】
0.8
（1）求m和n时，首先回忆中位数、众数的定义：中位数是将一组数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数。所以先把乙的成绩排序求中位数m，再统计甲成绩中各数据出现的次数找众数n。
（2）判断谁发挥更稳定，根据方差的性质：方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，直接比较甲乙的方差大小即可。
（3）判断推荐是否合理，不能只参考平均数，还需要结合方差、中位数、众数等统计量的实际意义分析，比如方差反映稳定性，中位数、众数反映高分占比等。
【解析】
(1) 先将乙的射击成绩从小到大排列：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10，共10个数据，中位数是第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{8+9}{2}=8.5$；
统计甲的成绩：8出现了4次，出现次数最多，所以众数$n=8$。
(2) 已知甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，因为$1.61＜2.01$，方差越小发挥越稳定，所以乙队员发挥更稳定。
(3) 他说得不对，理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛（或理由：乙的中位数、众数均高于甲，说明乙的高分更多，更适合参赛，合理即可）。
【答案】
(1) $8.5$，$8$；
(2) 乙；
(3) 他说得不对，虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛。
【知识点】
中位数的计算；众数的概念；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的应用，需要熟练掌握各统计量的计算方法和代表的实际意义，能够结合需求选择合适的统计量分析数据特征，解决实际问题。
【难度系数】
0.8
