1 如图,点P在∠AOB的平分线OM上(不与点O重合),PC⊥OA于点C,PC=3,若D是OB边上任意一点,连接PD,则下列关于线段PD的说法一定正确的是 ()

A.$PD=3$
B.$PD＜3$
C.$PD＞3$
D.$PD≥3$

(第1题图)
(第2题图)

1. D 【解析】
∵ 点 P 在 ∠AOB 的平分线 OM 上,PC=3,PC ⊥ OA,
∴ 点 P 到 OA 边的距离等于3,
∴ 点 P 到 OB 边的距离为 3.
∵ 点 D 是 OB 边上的任意一点,
∴ PD 长的最小值为 3,即 PD≥3. 故选 D.

2[2026江苏苏州调研]如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分∠MNB,若$MN=3$,△PMN的面积是6,△OMN的面积是9,则$OM+ON$的长是.

2. $\boldsymbol{\frac{15}{2}}$ 【解析】如图,过点 P 作 $PE ⊥ OB$ 于 E, $PF ⊥ MN$ 于 F, $PG ⊥ OA$ 于 G,连接 OP.
∵ MP 平分 $∠AMN$,$PF ⊥ MN$,$PG ⊥ OA$,
∴ PF = PG. 同理可得 PF = PE,
∴ PE = PG = PF.
∵ MN = 3, △PMN 的面积是 6,
∴ $\frac{1}{2}MN · PF = \frac{1}{2}×3×PF = 6$,
∴ PF = 4,
∴ PE = PG = PF = 4.
∵ △OMN 的面积是 9,
∴ $S_{△OPM}+S_{△OPN} = 9+6 = 15$,即 $\frac{1}{2}OM · PG + \frac{1}{2}ON · PE = 15$,
∴ $\frac{1}{2}OM×4 + \frac{1}{2}ON×4 = 15$,
∴ $OM+ON=\frac{15}{2}$,故答案为 $\frac{15}{2}$.

3[2026黑龙江绥化调研]如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A.1处
B.2处
C.3处
D.4处

3. D 【解析】如图所示,根据角平分线性质定理的逆定理可知点 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 到三条公路的距离相等,
∴ 可供选择的地址有 4 处,故选 D.

4[2026江苏徐州期末]如图所示，$∠ B = ∠ C = 90°$，M是BC的中点，DM平分$∠ ADC$，连接AM.
(1)AM是否平分$∠ BAD$？请证明你的结论.
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.

4. 【解】(1)AM 平分 $∠ BAD$.
证明:如图,过点 M 作 $ME ⊥ AD$,垂足为 E.
∵ DM 平分 $∠ ADC$,
∴ $∠1 = ∠2$.
∵ $∠ C = 90°$,即 $MC ⊥ CD$,$ME ⊥ AD$,
∴ $ME = MC$.
∵ M 是 BC 的中点,
∴ $MC = MB$,
∴ $ME = MB$.
∵ $∠ B = 90°$,即 $MB ⊥ AB$,$ME ⊥ AD$,
∴ AM 平分 $∠ BAD$.
(2)$AM ⊥ DM$. 理由如下:
如图.
∵ $∠ B = ∠ C = 90°$,
∴ $∠ B + ∠ C = 180°$,
∴ $CD // AB$,
∴ $∠ CDA + ∠ DAB = 180°$. 又
∵ $∠ 1 = 2$, $∠ 3 = 4$,
∴ $2 ∠ 1 + 2 ∠ 3 = 180°$,
∴ $∠1+∠3=90°$,
∴ $∠ AMD=90°$,即 $AM ⊥ DM$.

5[2026江苏镇江质检]如图，$△ ABC$中，三个内角的平分线交于点$O$，把$△ ABC$分得的三部分的面积分别记为$S_1,S_2,S_3$，已知$S_1=3,S_2=2$，则$S_3$不可能为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

5. D 【解析】过 O 分别作 $△ABC$ 三边的垂线,垂足分别为 D,E,F,如图.
∵ $△ABC$ 中,三个内角的平分线交于点 O,
∴ $OD=OE=OF$. 设 $OD = OE = OF = h$.
∵ $S_1 = \frac{1}{2}OD · AB = \frac{1}{2}hAB$, $S_2 = \frac{1}{2}OE · AC = \frac{1}{2}hAC$, $S_3 = \frac{1}{2}OF · BC = \frac{1}{2}hBC$,
∴ $S_1 + S_2 = \frac{1}{2}hAB + \frac{1}{2}hAC = \frac{1}{2}h ( AB + AC )$.
∵ $AB+AC＞BC$,
∴ $S_1 + S_2 ＞ S_3$.
∵ $S_1 = 3$, $S_2 = 2$,
∴ $S_3 ＜ S_1 + S_2 = 5$,
∴ $S_3$ 不可能为 5,故选 D.

6[2026江苏苏州期中]如图,在$△ ABC$中,$BO$,$CO$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,$OD ⊥ BC$于点$D$.若$OD=3$,$△ ABC$的面积是75,则$△ ABC$的周长为.

6. 50 【解析】连接 OA,过点 O 作 $OE ⊥ AB$ 于点 E,作 $OF ⊥ AC$ 于点 F,如图.
∵ BO, CO 分别平分 $∠ABC,∠ACB$, $OD ⊥ BC$ 于点 D, $OD = 3$,
∴ $OF=OE=OD=3$,
∴ $\frac{1}{2}OF · AC + \frac{1}{2}OE · AB + \frac{1}{2}OD · BC = 75$,
∴ $\frac{1}{2}×3×( AC+AB+BC ) = 75$,
∴ $AC+AB+BC=50$,故答案为 50.

7 [2026 江苏泰州质检]如图,在$△ ABC$中,$∠ B＞∠ C$.

(1)利用无刻度直尺与圆规按要求作图:作出$∠ A$的平分线,交$BC$于点$D$;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,判断$△ ABD$与$△ ACD$面积之间的大小关系,并说明理由.

7. 【解】(1)如图所示.
(2)$S_{△ABD}＜S_{△ACD}$. 理由:作 $DE ⊥ AC$,$DF ⊥ AB$,如图所示,则 $DE = DF$.
∵ $∠ B＞∠ C$,
∴ $AC＞AB$.
∵ $S_{△ABD} = \frac{1}{2}×AB×DF$, $S_{△ACD} = \frac{1}{2}×AC×DE$,
∴ $S_{△ABD}＜S_{△ACD}$.