1[2026辽宁抚顺期末,中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,BD是$∠ ABC$的平分线,$DE ⊥ AB$,垂足为点E.若$∠ A=50°$,点P为线段BC的垂直平分线与BD的交点,则$∠ CPE$的度数为()

A.$75°$
B.$80°$
C.$85°$
D.$90°$

(第1题图)
(第2题图)

1. B 【解析】
∵ $∠ACB=90°$,$∠A=50°$,
∴ $∠ABC=90°-50°=40°$.
∵ BD 是 $∠ABC$ 的平分线,
∴ $∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=20°$.
∵ 点 P 为线段 BC 的垂直平分线与 BD 的交点,
∴ $PB = PC$,
∴ $∠PCB = ∠CBD = 20°$,
∴ $∠CPD = ∠CBD+∠PCB = 40°$.
∵ BD 是 $∠ABC$ 的平分线,$DE ⊥ AB$,$∠ACB=90°$,即 $DC ⊥ BC$,
∴ $DE = DC$.
∵ $BD=BD$,
∴ $Rt△BDE≌Rt△BDC$(HL),
∴ $BC = BE$.
∵ $BP = BP$, $∠EBP = ∠CBP$,
∴ $△EBP≌△CBP$(SAS),
∴ $∠BPE = ∠BPC$,
∴ $180° - ∠BPE = 180° - ∠BPC$,即 $∠EPD = ∠CPD = 40°$,
∴ $∠CPE = ∠CPD + ∠EPD = 80°$. 故选 B.

2[2026江苏苏州期中,较难]如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与射线OA,OB交于点M,N,则以下结论:①PM=PN恒成立;②OM+ON的值不变;③四边形PMON的面积不变;④MN的长不变.其中正确的为 ()

A.①③
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

2. B 【解析】
∵ 点 P 在 $∠AOB$ 的平分线上,
∴ $∠AOP=∠BOP$. 如图所示,过点 P 作 $PE ⊥ OA$ 于点 E,作 $PF ⊥ OB$ 于点 F,
∴ $∠PEO = ∠PFO = 90°$, $PE = PF$,
∴ $△PEO ≌ △PFO$,
∴ $OE = OF$. 在四边形 PEOF 中, $∠AOB + ∠EPF = 180°$.
∵ $∠AOB + ∠MPN = 180°$,
∴ $∠MPN = ∠EPF$,即 $∠MPE + ∠EPN = ∠EPN+∠NPF$,
∴ $∠MPE = ∠NPF$,
∴ $△MPE ≌ △NPF$,
∴ $PM = PN$,故①正确. 由 $△MPE ≌ △NPF$ 可得 $ME = NF$,
∴ $OM+ON = OE+EM + OF-NF = 2OE = 2OF$,故②正确. 由 $△MPE ≌ △NPF$ 可得 $S_{△MPE} = S_{△NPF}$,
∴ $S_{△MPE} + S_{△EPO} + S_{△OPN} = S_{△EPO} + S_{△OPN} + S_{△NPF} = S_{四边形PMON} = S_{四边形PEOF} = OE · EP$,
∴ 四边形 PMON 的面积是定值,故③正确. 由上述结论可得, $∠MPN$ 在绕点 P 旋转的过程中, $∠MPN$ 的大小不变, $PM=PN$,而点 M,N 的位置变化,
∴ MN 的长度发生变化,故④错误. 综上所述,正确的有①②③,故选 B.

3[2026江苏南京调研,中]如图,在$△ ABC$中,$AB=6,AC=11,BC=12$,点D是BC中点,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且不与端点重合,作$∠ AEF$和$∠ EFC$的平分线交于点G,则$DG+CG$的最小值为.

(第3题图)
(第4题图)

3. 11 【解析】如图,过 G 作 $GP ⊥ BA$ 交 BA 延长线于点 P,过 G 作 $GQ ⊥ BC$ 于点 Q, $GI ⊥ EF$ 于点 I,连接 BG,AG,则 $∠BPG = ∠BQG = 90°$.
∵ $∠AEF$ 和 $∠EFC$ 的平分线交于点 G,
∴ $GP = GI$, $GQ = GI$,
∴ $GP = GQ = GI$,
∴ 点 G 在 $∠ABC$ 的平分线上,
∴ $∠ABG = ∠CBG$.
∵ 点 D 是 BC 中点,
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 6 = BA$.
∵ $BG = BG$,
∴ $△ABG ≌ △DBG$(SAS),
∴ $AG = DG$.
∵ $AG+CG ≥ AC$,
∴ 当 A,G,C 三点共线时, $AG+CG$ 有最小值,为 AC 的长,即 $DG+CG$ 有最小值,为 11,故答案为 11.

4[2026 江苏连云港期中,较难]如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,CE平分$∠ ACB$,BD与CE交于点F.若$AB:BC:AC=7:8:6$,$S_{△ ABC}=m$,则$S_{四边形AEFD}=$(用含$m$的式子表示).

4. $\boldsymbol{\frac{29}{105}m}$ 【解析】如图,过点 F 作 $FG ⊥ AB$, $FM ⊥ AC$, $FH ⊥ BC$,连接 AF,过点 D 作 $DN ⊥ AB$, $DK ⊥ BC$.
∵ BD 平分 $∠ABC$, $DN ⊥ AB$, $DK ⊥ BC$,
∴ $DN = DK$,
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△BCD}} = \frac{\frac{1}{2}AB · DN}{\frac{1}{2}BC · DK} = \frac{AB}{BC} = \frac{7}{8}$.
∵ $S_{△ABC} = m$, $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△BCD}$,
∴ $S_{△ABD} = \frac{7}{15}m$, $S_{△BCD} = \frac{8}{15}m$, 同理, $\frac{S_{△ACE}}{S_{△BCE}} = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
∵ $S_{△ABC} = m$, $S_{△ABC} = S_{△ACE} + S_{△BCE}$,
∴ $S_{△ACE} = \frac{3}{7}m$, $S_{△BCE} = \frac{4}{7}m$.
∵ BD 平分 $∠ABC$, CE 平分 $∠ACB$, $FG ⊥ AB$, $FH ⊥ BC$, $FM ⊥ AC$,
∴ $FG = FH$, $FH = FM$,
∴ $FG = FM = FH$,
∴ $S_{△ABF}:S_{△BCF}:S_{△ACF} = AB:BC:AC = 7:8:6$.
∵ $S_{△ABC} = S_{△ABF} + S_{△BCF} + S_{△ACF} = m$,
∴ $S_{△ABF} = \frac{7}{7+8+6}m = \frac{1}{3}m$, $S_{△BCF} = \frac{8}{7+8+6}m = \frac{8}{21}m$, $S_{△ACF} = \frac{6}{7+8+6}m = \frac{2}{7}m$,
∴ $S_{四边形AEFD} = S_{△ABD} + S_{△ACE} + S_{△BCF} - S_{△ABC} = \frac{7}{15}m + \frac{3}{7}m + \frac{8}{21}m - m = \frac{29}{105}m$. 故答案为 $\frac{29}{105}m$.

5[2026江苏扬州仪征质检,中](1)如图(1),AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B=90°时,根据角平分线的性质,我们可知DB与DC之间的数量关系为;
(2)如图(2),AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B＜90°时,试说明DB与DC之间的数量关系;
(3)如图(3),AD平分∠BAC,若∠B=70°,DB=DC,求∠ACD的度数.

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5. 【解】(1)
∵ $∠ B + ∠ C = 180°$, $∠ B = 90°$,
∴ $∠ C = 90°$,
∴ $DB ⊥ AB$, $DC ⊥ AC$.
∵ AD 平分 $∠ BAC$,
∴ $DB = DC$. 故答案为 $DB = DC$.
(2)如图,过点 D 作 $DE ⊥ AB$ 于 E, $DF ⊥ AC$ 交 AC 延长线于 F.
∵ AD 平分 $∠BAC$, $DE ⊥ AB$, $DF ⊥ AC$,
∴ $DE = DF$, $∠BED = ∠CFD = 90°$.
∵ $∠ B + ∠ ACD = 180°$, $∠ FCD + ∠ ACD = 180°$,
∴ $∠ B = ∠ FCD$.
在$△EBD$ 和 $△FCD$ 中, $\begin{cases} ∠B = ∠FCD, \\ ∠BED = ∠CFD, \\ DE = DF, \end{cases}$
∴ $△EBD ≌ △FCD$(AAS),
∴ $DB = DC$.
(3)如图,过点 D 作 $DE ⊥ AB$ 于 E, $DF ⊥ AC$ 交 AC 延长线于 F.
∵ AD 平分 $∠BAC$,
∴ $DE = DF$. 在 $Rt△BDE$ 和 $Rt△CDF$ 中, $\begin{cases} BD = CD, \\ DE = DF, \end{cases}$
∴ $Rt△BDE ≌ Rt△CDF$(HL),
∴ $∠ B = ∠ DCF = 70°$,
∴ $∠ ACD = 180° - ∠ DCF = 180°-70° = 110°$.

6 核心素养模型观念[较难]已知$AM// BN$，$AE$平分$∠ BAM$，$BE$平分$∠ ABN$，$∠ AEB=90°$.
(1)如图(1)，作$EP⊥ AB$，若$PE=3$，求点$E$到$AM$与$BN$的距离之和.
(2)如图(2)，过点$E$的直线交射线$AM$于点$C$，交射线$BN$于点$D$，求证:$AC+BD=AB$.
(3)如图(3)，过点$E$的直线交射线$AM$的反向延长线于点$C$，交射线$BN$于点$D$，$AB=5$，$AC=3$，$S_{△ ABE}-S_{△ ACE}=2$，求$△ BDE$的面积.

6. 【解】(1)如图,过点 E 作 $EF ⊥ AM$ 于 F,作 $EG ⊥ BN$ 于 G.
∵ AE 平分 $∠BAM$, $PE ⊥ AB$,
∴ $EF = PE$,同理可得 $EG = PE$.
∵ $AM // BN$,
∴ 易知 F,E,G 三点共线,
∴ FG 的长即为点 E 到 AM 与 BN 的距离之和,
∴ 点 E 到 AM 与 BN 的距离之和为 $3+3=6$.
(2)【证明】如图,在 AB 上截取 $AK = AC$,连接 EK.
在$△ACE$ 与 $△AKE$ 中, $\begin{cases} AC = AK, \\ ∠CAE = ∠KAE, \\ AE = AE, \end{cases}$
∴ $△ACE ≌ △AKE$,
∴ $∠AEC = ∠AEK$.
∵ $∠AEB = 90°$,
∴ $∠AEK + ∠BEK = ∠AEC + ∠BED = 90°$,
∴ $∠KEB = ∠DEB$.
在$△BKE$ 与 $△BDE$ 中, $\begin{cases} ∠KBE = ∠DBE, \\ BE = BE, \\ ∠KEB = ∠DEB, \end{cases}$
∴ $△BKE ≌ △BDE$,
∴ $BK = BD$.
∵ $AB = AK + BK$,
∴ $AC + BD = AB$.
(3)【解】如图,延长 AE 交 BD 于点 H.
∵ $∠AEB = 90°$,
∴ $∠BEH = ∠AEB = 90°$.
又
∵ BE 平分 $∠ABN$,
∴ $∠ABE = ∠HBE$.
在$△ABE$ 和 $△HBE$ 中, $\begin{cases} ∠AEB = ∠HEB, \\ BE = BE, \\ ∠ABE = ∠HBE, \end{cases}$
∴ $△ABE ≌ △HBE$,
∴ $AB = BH = 5$, $AE = EH$, $S_{△ABE} = S_{△HBE}$.
∵ $AM // BN$,
∴ $∠ C = ∠ EDH$.
在$△ACE$ 与 $△HDE$ 中, $\begin{cases} ∠ C = ∠ EDH, \\ ∠AEC = ∠HED, \\ AE = HE, \end{cases}$
∴ $△ACE ≌ △HDE$,
∴ $DH = AC = 3$, $S_{△DEH} = S_{△ACE}$.
∵ $BH = 5$, $DH = 3$,
∴ 设 $S_{△BEH} = S_{△ABE} = 5x$, $S_{△DEH} = S_{△ACE} = 3x$.
∵ $S_{△ABE} - S_{△ACE} = 2$,
∴ $5x-3x=2$,
∴ $x=1$,
∴ $S_{△BDE} = S_{△BEH} + S_{△DEH} = 8$.