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1 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路$AB// CD$，道路AB与AE的夹角$∠ BAE = 50°$. 城市规划部门想新修一条道路CE，要求$CF=EF$，则$∠ E$的度数为（
A.$23°$
B.$25°$
C.$27°$
D.$30°$
B
）A.$23°$
B.$25°$
C.$27°$
D.$30°$
答案
1. B 【解析】$\because AB// CD,\therefore ∠ DFE = ∠ BAE = 50°. \because CF=EF,\therefore ∠ C = ∠ E. \because ∠ DFE = ∠ C + ∠ E,\therefore ∠ E = \frac{1}{2}∠ DFE = \frac{1}{2}×50°=25°$. 故选 B.
2[2025江苏苏州质检]我们定义:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”,记作$k$,若$k=\frac{1}{4}$,则该等腰三角形的顶角为（
A.$20°$
B.$36°$
C.$40°$
D.$80°$
A
）A.$20°$
B.$36°$
C.$40°$
D.$80°$
答案
2. A 【解析】如图
. 在$△ ABC$中,$AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C. \because k=\frac{1}{4},\therefore ∠ A:∠ B = 1:4$. 又$\because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°,\therefore 9∠ A = 180°,\therefore ∠ A = 20°$,故选 A.3 如图，$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ A = 40°$，点$P$是$△ ABC$内一点，连接$PB$，$PC$，若$∠ 1 = ∠ 2$，则$∠ BPC$的度数是
（第3题图）
（第4题图）
$110°$
。（第3题图）
（第4题图）
答案
3. $110°$ 【解析】$\because △ ABC$ 中,$AB = AC, ∠ A = 40°, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°,\therefore ∠ 1 + ∠ PBC = 70°. \because ∠ 1 = ∠ 2,\therefore ∠ 2 + ∠ PBC = 70°, \therefore ∠ BPC = 180° - (∠ 2 + ∠ PBC) = 180°-70°=110°$.
4 如图，P，Q是$△ ABC$的边BC上的两点，并且$BP = PQ = QC = AP = AQ$，则$∠ BAC$的度数是
$120°$
。答案
4. $120°$ 【解析】$\because BP = PQ = QC = AP = AQ,\therefore ∠ PAQ = ∠ APQ = ∠ AQP = 60°, ∠ B = ∠ BAP, ∠ C = ∠ CAQ$. 又$\because ∠ BAP + ∠ ABP = ∠ APQ, ∠ C + ∠ CAQ = ∠ AQP, \therefore ∠ BAP = ∠ CAQ = 30°,\therefore ∠ BAC = 120°$. 故答案为 $120°$.
5[2026江苏南通海安调研]请你完成命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明.
已知:如图所示，
求证:
证明:
已知:如图所示，
在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BF,CE$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线
.求证:
$BF=CE$
.证明:
答案
5. 【解】已知:在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BF$,$CE$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线.
求证:$BF=CE$.
证明:$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB. \because BF,CE$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线,$\therefore ∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC, ∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB, \therefore ∠ CBF=∠ BCE$. 在 $△ CBF$ 和 $△ BCE$ 中,$\begin{cases}∠ BCF = ∠ CBE,\\BC=CB,\\∠ CBF = ∠ BCE,\end{cases}$ $\therefore △ CBF ≌ △ BCE (\mathrm{ASA}), \therefore BF=CE$,即等腰三角形两底角的平分线相等.
求证:$BF=CE$.
证明:$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB. \because BF,CE$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线,$\therefore ∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC, ∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB, \therefore ∠ CBF=∠ BCE$. 在 $△ CBF$ 和 $△ BCE$ 中,$\begin{cases}∠ BCF = ∠ CBE,\\BC=CB,\\∠ CBF = ∠ BCE,\end{cases}$ $\therefore △ CBF ≌ △ BCE (\mathrm{ASA}), \therefore BF=CE$,即等腰三角形两底角的平分线相等.
6[2025福建厦门质检]如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$AB=AC$,若$BD=4$,则$DC$的长是 (
A.2
B.4
C.6
D.8
(第6题图)
(第7题图)
B
)A.2
B.4
C.6
D.8
(第6题图)
(第7题图)
答案
6. B 【解析】$\because AD ⊥ BC, AB = AC, BD = 4, \therefore CD=BD=4$,故选 B.
7[2025江苏苏州期中]如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$延长线上一点,$EC ⊥ AC$且$AC=CE$,垂足为$C$,连接$BE$,若$BC=6$,则$△ BCE$的面积为
$9$
.答案
7. 9 【解析】如图
,过 $A$ 作 $AH ⊥ BC$ 于 $H$,过 $E$ 作 $EF ⊥ BD$ 于 $F$. $\because AB = AC, BC = 6, \therefore BH = HC = 3. \because ∠ ACE = 90°, \therefore ∠ ACH + ∠ ECF = 90°. \because ∠ CAH + ∠ ACH = 90°, \therefore ∠ ECF = ∠ CAH$. 在$△ ACH$ 与 $△ CEF$ 中, $\begin{cases}∠ AHC = ∠ CFE=90°,\\∠ CAH = ∠ ECF,\\AC=CE,\end{cases}$ $\therefore △ ACH ≌ △ CEF (\mathrm{AAS}), \therefore EF = CH = 3, \therefore △ BCE$ 的面积为 $\frac{1}{2}BC · EF = \frac{1}{2}×6×3=9$, 故答案为 9.8 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,E为边BC上的点,且$AB=AE$,D为线段BE的中点,过点E作$EF ⊥ AE$,过点A作$AF // BC$,且AF,EF相交于点F.
(1)求证:$∠ C=∠ BAD$.
(2)求证:$AC=EF$.
刷易错 ................小心有坑~
(1)求证:$∠ C=∠ BAD$.
(2)求证:$AC=EF$.
刷易错 ................小心有坑~
答案
8. 【证明】(1) $\because AB = AE, D$ 为线段 $BE$ 的中点, $\therefore AD ⊥ BC, \therefore ∠ C + ∠ DAC = 90°. \because ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAC = 90°, \therefore ∠ C = ∠ BAD$.
(2) $\because AF // BC, \therefore ∠ FAE = ∠ AEB. \because AB = AE, \therefore ∠ B = ∠ AEB, \therefore ∠ B = ∠ FAE$. 又$\because ∠ AEF = ∠ BAC = 90°, AB = AE, \therefore △ ABC ≌ △ EAF (\mathrm{ASA}), \therefore AC = EF$.
(2) $\because AF // BC, \therefore ∠ FAE = ∠ AEB. \because AB = AE, \therefore ∠ B = ∠ AEB, \therefore ∠ B = ∠ FAE$. 又$\because ∠ AEF = ∠ BAC = 90°, AB = AE, \therefore △ ABC ≌ △ EAF (\mathrm{ASA}), \therefore AC = EF$.
9 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°,则等腰三角形顶角的度数为
$44°或80°或140°$
.答案
9. $44°或80°或140°$ 【解析】设另一个角的度数是 $x$,则这个角的度数是 $2x-20°$.
①当度数为 $x$ 的角是顶角,度数为 $2x-20°$ 的角是底角时,$x+2(2x-20°)=180°$,解得 $x=44°$,所以顶角的度数是 $44°$;
②当度数为 $x$ 的角是底角,度数为 $2x-20°$ 的角是顶角时,$2x+(2x-20°)=180°$,解得 $x=50°$,所以顶角的度数是 $2×50°-20°=80°$;
③当度数为 $x$ 与 $2x-20°$ 的角都是底角时,$x=2x-20°$,解得 $x=20°$,所以顶角的度数是 $180°-20°×2=140°$.
综上所述,这个等腰三角形顶角的度数是 $44°$ 或 $80°$或 $140°$.
①当度数为 $x$ 的角是顶角,度数为 $2x-20°$ 的角是底角时,$x+2(2x-20°)=180°$,解得 $x=44°$,所以顶角的度数是 $44°$;
②当度数为 $x$ 的角是底角,度数为 $2x-20°$ 的角是顶角时,$2x+(2x-20°)=180°$,解得 $x=50°$,所以顶角的度数是 $2×50°-20°=80°$;
③当度数为 $x$ 与 $2x-20°$ 的角都是底角时,$x=2x-20°$,解得 $x=20°$,所以顶角的度数是 $180°-20°×2=140°$.
综上所述,这个等腰三角形顶角的度数是 $44°$ 或 $80°$或 $140°$.
