三、解答题
21. 命题1:点$(1,1)$是直线$y=x$与双曲线$y=\frac{1}{x}$的一个交点；
命题2:点$(2,4)$是直线$y=2x$与双曲线$y=\frac{8}{x}$的一个交点；
命题3:点$(3,9)$是直线$y=3x$与双曲线$y=\frac{27}{x}$的一个交点；
……
(1)请观察上面命题,猜想出命题$n$($n$是正整数).
(2)证明你猜想的命题$n$是正确的.

21. (1)命题$n$:点$(n,n^2)$是直线$y=nx$与双曲线$y=\dfrac{n^3}{x}$的一个交点.
(2)由$\begin{cases}y=nx,\\y=\dfrac{n^3}{x}\end{cases}$ 得$nx=\dfrac{n^3}{x}$.
$\therefore x^2=n^2$.
$\because n＞0$,
$\therefore x=n$.
当$x=n$时,$y=n^2$.
$\therefore$点$(n,n^2)$是直线$y=nx$与双曲线$y=\dfrac{n^3}{x}$的一个交点.

22.如图,一次函数$y=kx+2$与反比例函数在第一象限内的图象交于点$A(2,n)$,与$y$轴交于点$B$,与$x$轴交于点$C(-4,0)$.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)点$P$是$x$轴上的一个动点,当$△ PAB$的面积为$4$时,求点$P$的坐标.

22. (1)把点$C(-4,0)$代入$y=kx+2$中,
得$-4k+2=0$.
解得$k=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$一次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+2$.
把点$A(2,n)$代入$y=\dfrac{1}{2}x+2$中,得$n=3$.
$\therefore A(2,3)$.
设反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x}$,
把点$A(2,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$中,得$3=\dfrac{k}{2}$.
解得$k=6$.
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)设$P(x,0)$.
$\because$点$B$是一次函数$y=\dfrac{1}{2}x+2$与$y$轴的交点,
$\therefore B(0,2)$.
$\therefore OB=2$.
$\because C(-4,0)$,
$\therefore CP=|x-(-4)|=|x+4|$.
$\because S_{△ PAB}=S_{△ PAC}-S_{△ PBC}=4$,
$\therefore \dfrac{1}{2}|x+4|×3-\dfrac{1}{2}|x+4|×2=4$.
$\therefore |x+4|=8$.
$\therefore x=4$或$x=-12$.
$\therefore$点$P$的坐标为$(4,0)$或$(-12,0)$.