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17. (5分)已知:如图,AC是菱形ABCD的一条对角线,求证:∠DAC = ∠BAC,∠DCA = ∠BCA.
答案
17. 【点拨】本题考查菱形的性质及等腰三角形的性质.
【解析】证明:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore DA=DC=AB=CB$,$AD// BC$,$AB// CD$,$\therefore ∠DAC=∠DCA$,$∠BAC=∠BCA$,$∠DCA=∠BAC$,$∠DAC=∠BCA$,$\therefore ∠DAC=∠BAC$,$∠DCA=∠BCA$.
【解析】证明:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore DA=DC=AB=CB$,$AD// BC$,$AB// CD$,$\therefore ∠DAC=∠DCA$,$∠BAC=∠BCA$,$∠DCA=∠BAC$,$∠DAC=∠BCA$,$\therefore ∠DAC=∠BAC$,$∠DCA=∠BCA$.
解析
【分析】要证明∠DAC=∠BAC和∠DCA=∠BCA，需结合菱形的性质：菱形四条边相等、对边平行，再利用等腰三角形等边对等角、平行线内错角相等的性质，逐步推导角的关系。
【解析】证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC，AB=BC，AB//CD（菱形的四条边相等，对边平行）。
在△ADC中，
∵ DA=DC，
∴ ∠DAC=∠DCA（等腰三角形等边对等角）。
在△ABC中，
∵ AB=BC，
∴ ∠BAC=∠BCA（等腰三角形等边对等角）。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠DCA=∠BAC（两直线平行，内错角相等）。
由∠DAC=∠DCA、∠DCA=∠BAC，可得∠DAC=∠BAC；
由∠BAC=∠BCA、∠DCA=∠BAC，可得∠DCA=∠BCA。
综上，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA得证。
【答案】∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，证明成立。
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】本题是菱形性质的基础应用，通过菱形的边与平行关系，结合等腰三角形性质推导角相等，题型基础，侧重核心性质的掌握。
【难度系数】0.7
【解析】证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC，AB=BC，AB//CD（菱形的四条边相等，对边平行）。
在△ADC中，
∵ DA=DC，
∴ ∠DAC=∠DCA（等腰三角形等边对等角）。
在△ABC中，
∵ AB=BC，
∴ ∠BAC=∠BCA（等腰三角形等边对等角）。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠DCA=∠BAC（两直线平行，内错角相等）。
由∠DAC=∠DCA、∠DCA=∠BAC，可得∠DAC=∠BAC；
由∠BAC=∠BCA、∠DCA=∠BAC，可得∠DCA=∠BCA。
综上，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA得证。
【答案】∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，证明成立。
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】本题是菱形性质的基础应用，通过菱形的边与平行关系，结合等腰三角形性质推导角相等，题型基础，侧重核心性质的掌握。
【难度系数】0.7
18. (6分)如图,已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-5,0),B(-2,3),C(-1,0)$.
(1)画出$△ ABC$关于坐标原点$O$成中心对称的$△ A'B'C'$;
(2)将$△ ABC$绕坐标原点$O$顺时针旋转$90°$,画出对应的$△ A''B''C''$;
(3)若以$A',B',C',D'$为顶点的四边形为平行四边形,则在第四象限中的点$D'$的坐标为________.
(1)画出$△ ABC$关于坐标原点$O$成中心对称的$△ A'B'C'$;
(2)将$△ ABC$绕坐标原点$O$顺时针旋转$90°$,画出对应的$△ A''B''C''$;
(3)若以$A',B',C',D'$为顶点的四边形为平行四边形,则在第四象限中的点$D'$的坐标为________.
答案
18. 【点拨】本题考查作图及平行四边形的性质.
【解析】(1)如图,$△A'B'C'$即为所求.
(2)如图,$△A''B''C''$即为所求.
(3)$D'(6,-3)$. 故答案为$(6,-3)$.
解析
【分析】
要解决本题，需掌握图形变换的坐标规律和平行四边形的性质：①关于原点中心对称的点，横、纵坐标均变为原数的相反数；②绕原点顺时针旋转90°的点，坐标变为(y,-x)（原坐标为(x,y)）；③平行四边形的对角线互相平分，可通过中点坐标公式求未知点坐标。解题时先根据变换规律画出对应三角形，再结合平行四边形性质确定第四象限的点D'。
【解析】
(1) 关于原点中心对称的点的坐标特征：若点P(x,y)，则其关于原点的对称点为P'(-x,-y)。
已知A(-5,0)，对称点A'(5,0)；B(-2,3)，对称点B'(2,-3)；C(-1,0)，对称点C'(1,0)。依次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'，即为所求。
(2) 绕原点顺时针旋转90°的点的坐标特征：若点P(x,y)，则旋转后的对应点为P''(y,-x)。
计算得：A(-5,0)旋转后A''(0,5)；B(-2,3)旋转后B''(3,2)；C(-1,0)旋转后C''(0,1)。依次连接A''、B''、C''，得到△A''B''C''，即为所求。
(3) 先确定A'(5,0)、B'(2,-3)、C'(1,0)的坐标。设第四象限的点D'(x,y)（x＞0,y＜0），根据平行四边形对角线互相平分，分情况讨论：若A'、B'为平行四边形的对角线，则中点坐标为((5+2)/2, (0-3)/2)=(3.5, -1.5)，则C'与D'的中点也为该点，即(1+x)/2=3.5，(0+y)/2=-1.5，解得x=6，y=-3，符合第四象限要求，故D'坐标为(6,-3)。
【答案】
(6,-3)
【知识点】
中心对称的坐标变换；旋转的坐标变换；平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查图形变换的作图与坐标规律，以及平行四边形的性质，需熟练掌握点变换后的坐标特征，结合平行四边形对角线互相平分的性质求解，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需掌握图形变换的坐标规律和平行四边形的性质：①关于原点中心对称的点，横、纵坐标均变为原数的相反数；②绕原点顺时针旋转90°的点，坐标变为(y,-x)（原坐标为(x,y)）；③平行四边形的对角线互相平分，可通过中点坐标公式求未知点坐标。解题时先根据变换规律画出对应三角形，再结合平行四边形性质确定第四象限的点D'。
【解析】
(1) 关于原点中心对称的点的坐标特征：若点P(x,y)，则其关于原点的对称点为P'(-x,-y)。
已知A(-5,0)，对称点A'(5,0)；B(-2,3)，对称点B'(2,-3)；C(-1,0)，对称点C'(1,0)。依次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'，即为所求。
(2) 绕原点顺时针旋转90°的点的坐标特征：若点P(x,y)，则旋转后的对应点为P''(y,-x)。
计算得：A(-5,0)旋转后A''(0,5)；B(-2,3)旋转后B''(3,2)；C(-1,0)旋转后C''(0,1)。依次连接A''、B''、C''，得到△A''B''C''，即为所求。
(3) 先确定A'(5,0)、B'(2,-3)、C'(1,0)的坐标。设第四象限的点D'(x,y)（x＞0,y＜0），根据平行四边形对角线互相平分，分情况讨论：若A'、B'为平行四边形的对角线，则中点坐标为((5+2)/2, (0-3)/2)=(3.5, -1.5)，则C'与D'的中点也为该点，即(1+x)/2=3.5，(0+y)/2=-1.5，解得x=6，y=-3，符合第四象限要求，故D'坐标为(6,-3)。
【答案】
(6,-3)
【知识点】
中心对称的坐标变换；旋转的坐标变换；平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查图形变换的作图与坐标规律，以及平行四边形的性质，需熟练掌握点变换后的坐标特征，结合平行四边形对角线互相平分的性质求解，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.5
19. (6 分)如图,在$□ ABCD$中,点 E,F 分别在边 BC,AD 上,AE,CF 分别平分$∠BAC,∠DCA.$
(1)求证:四边形 AECF 是平行四边形;
(2)当$△ ABC$满足条件
(1)求证:四边形 AECF 是平行四边形;
(2)当$△ ABC$满足条件
$AB=AC$
时,四边形 AECF 是矩形.答案
19. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,矩形的判定及角平分线的定义.
【解析】(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AD// BC$,$\therefore AF// CE$,$∠BAC=∠DCA$.
∵ AE,CF 分别平分$∠BAC$,$∠DCA$,$\therefore ∠EAC=\dfrac{1}{2}∠BAC$,$∠FCA=\dfrac{1}{2}∠DCA$,$\therefore ∠EAC=∠FCA$,$\therefore AE// CF$,$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形.
(2)当$△ABC$满足条件$AB=AC$时,四边形 AECF 是矩形,理由如下:
∵ $AB=AC$,AE 平分$∠BAC$,$\therefore AE⊥BC$,$\therefore ∠AEC=90°$.
∵ 四边形 AECF 是平行四边形,$\therefore$ 四边形 AECF 是矩形. 故答案为$AB=AC$.
【解析】(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AD// BC$,$\therefore AF// CE$,$∠BAC=∠DCA$.
∵ AE,CF 分别平分$∠BAC$,$∠DCA$,$\therefore ∠EAC=\dfrac{1}{2}∠BAC$,$∠FCA=\dfrac{1}{2}∠DCA$,$\therefore ∠EAC=∠FCA$,$\therefore AE// CF$,$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形.
(2)当$△ABC$满足条件$AB=AC$时,四边形 AECF 是矩形,理由如下:
∵ $AB=AC$,AE 平分$∠BAC$,$\therefore AE⊥BC$,$\therefore ∠AEC=90°$.
∵ 四边形 AECF 是平行四边形,$\therefore$ 四边形 AECF 是矩形. 故答案为$AB=AC$.
解析
【分析】
第(1)问要证明四边形AECF是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质，结合角平分线的定义推导内错角相等，进而得到两组对边分别平行；第(2)问要使平行四边形AECF成为矩形，需添加条件让其中一个内角为直角，结合等腰三角形三线合一的性质即可找到合适条件。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴ AF//CE，且∠BAC=∠DCA。
∵ AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，
∴ ∠EAC = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA = $\frac{1}{2}$∠DCA，
∴ ∠EAC = ∠FCA，
∴ AE//CF。
又
∵ AF//CE，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 当AB=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：
∵ AB=AC，AE平分∠BAC，
根据等腰三角形三线合一的性质，AE⊥BC，
∴ ∠AEC=90°。
又
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ 平行四边形AECF是矩形。
故答案为：AB=AC。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) AB=AC
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、角平分线的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定，结合角平分线和等腰三角形的性质，解题关键是利用平行四边形性质推导对边平行，再结合特殊三角形性质得到直角以判定矩形，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明四边形AECF是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质，结合角平分线的定义推导内错角相等，进而得到两组对边分别平行；第(2)问要使平行四边形AECF成为矩形，需添加条件让其中一个内角为直角，结合等腰三角形三线合一的性质即可找到合适条件。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴ AF//CE，且∠BAC=∠DCA。
∵ AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，
∴ ∠EAC = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA = $\frac{1}{2}$∠DCA，
∴ ∠EAC = ∠FCA，
∴ AE//CF。
又
∵ AF//CE，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 当AB=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：
∵ AB=AC，AE平分∠BAC，
根据等腰三角形三线合一的性质，AE⊥BC，
∴ ∠AEC=90°。
又
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ 平行四边形AECF是矩形。
故答案为：AB=AC。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) AB=AC
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、角平分线的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定，结合角平分线和等腰三角形的性质，解题关键是利用平行四边形性质推导对边平行，再结合特殊三角形性质得到直角以判定矩形，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.5
