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6. 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE交DF于点G,连接AG.下列结论:①$CE = DF$;②$CE ⊥ DF$;③$∠ EAG = 30°$;④$∠ AGE = ∠ CDF$.其中正确的是(
A.①②
B.①③
C.①②④
D.①②③
C
).A.①②
B.①③
C.①②④
D.①②③
答案
6. C 【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°.$
∵ E,F 分别是 AB,BC 的中点,$\therefore BE=\dfrac{1}{2}AB,CF=\dfrac{1}{2}BC,\therefore BE=CF$. 在$△CBE$和$△DCF$中,$\begin{cases} BC=CD, \\ ∠B=∠FCD, \\ BE=CF, \end{cases}$$\therefore △CBE≌△DCF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ECB=∠FDC,CE=DF$,故①正确;
∵ $∠ECB+∠ECD=90°$,$\therefore ∠FDC+∠ECD=90°$,$\therefore ∠DGC=90°$,$\therefore CE⊥DF$,故②正确;
∵ $CF=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}CD$,$\therefore ∠CDF≠30°$,$\therefore ∠ADG≠60°$. 如图,延长 CE,DA 交于点 H,则$∠EAH=∠B=90°$.
∵ E 是 AB 的中点,$\therefore AE=BE$. 在$△EAH$和$△EBC$中,$\begin{cases} ∠EAH=∠B, \\ AE=BE, \\ ∠AEH=∠BEC, \end{cases}$$\therefore △EAH≌△EBC(\mathrm{ASA})$,$\therefore AH=BC$,$\therefore AH=AD$,$\therefore AG=\dfrac{1}{2}DH=AD$,$\therefore △ADG$不是等边三角形,$\therefore ∠DAG≠60°$,$\therefore ∠EAG≠30°$,故③错误;
∵ $AG=AD$,$\therefore ∠ADG=∠AGD$.
∵ $∠AGE+∠AGD=90°$,$∠CDF+∠ADG=90°$,$\therefore ∠AGE=∠CDF$,故④正确. 故选 C.
解析
【分析】
要判断四个结论的正确性，需结合正方形的性质，通过全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质逐步推导。首先利用正方形边长相等及中点条件，证明△CBE≌△DCF，得到CE=DF，再由角的互余关系推出CE⊥DF；接着通过构造辅助线延长CE交DA于H，证明△EAH≌△EBC，得到AH=AD，进而分析AG与AD的关系，判断∠EAG是否为30°；最后利用AG=AD及直角的互余关系，推导∠AGE与∠CDF的等量关系，最终确定正确结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°。
∵ E，F分别是AB，BC的中点，
∴ BE=½AB，CF=½BC，故BE=CF。
在△CBE和△DCF中，
$\begin{cases} BC=CD \\ ∠B=∠FCD \\ BE=CF \end{cases}$
∴ △CBE≌△DCF（SAS），
∴ ∠ECB=∠FDC，CE=DF，故①正确；
∵ ∠ECB + ∠ECD = 90°，
∴ ∠FDC + ∠ECD = 90°，
∴ ∠DGC = 90°，即CE⊥DF，故②正确；
延长CE，DA交于点H，
∵ E是AB中点，
∴ AE=BE，
在△EAH和△EBC中，
$\begin{cases} ∠EAH=∠B=90° \\ AE=BE \\ ∠AEH=∠BEC \end{cases}$
∴ △EAH≌△EBC（ASA），
∴ AH=BC，又BC=AD，故AH=AD，
在Rt△HDG中，AG是斜边DH的中线，
∴ AG=½DH=AD，
∴ △ADG中，AG=AD，但DG≠AD（因CF=½CD，∠CDF≠30°），故△ADG不是等边三角形，∠DAG≠60°，则∠EAG≠30°，故③错误；
∵ AG=AD，
∴ ∠ADG=∠AGD，
又∠AGE + ∠AGD=90°，∠CDF + ∠ADG=90°，
∴ ∠AGE=∠CDF，故④正确。
综上，正确的是①②④，选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查正方形的性质及几何证明，需熟练运用全等三角形的判定与性质，辅助线构造是解题关键，通过逐步推导验证各结论，培养学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
要判断四个结论的正确性，需结合正方形的性质，通过全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质逐步推导。首先利用正方形边长相等及中点条件，证明△CBE≌△DCF，得到CE=DF，再由角的互余关系推出CE⊥DF；接着通过构造辅助线延长CE交DA于H，证明△EAH≌△EBC，得到AH=AD，进而分析AG与AD的关系，判断∠EAG是否为30°；最后利用AG=AD及直角的互余关系，推导∠AGE与∠CDF的等量关系，最终确定正确结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°。
∵ E，F分别是AB，BC的中点，
∴ BE=½AB，CF=½BC，故BE=CF。
在△CBE和△DCF中，
$\begin{cases} BC=CD \\ ∠B=∠FCD \\ BE=CF \end{cases}$
∴ △CBE≌△DCF（SAS），
∴ ∠ECB=∠FDC，CE=DF，故①正确；
∵ ∠ECB + ∠ECD = 90°，
∴ ∠FDC + ∠ECD = 90°，
∴ ∠DGC = 90°，即CE⊥DF，故②正确；
延长CE，DA交于点H，
∵ E是AB中点，
∴ AE=BE，
在△EAH和△EBC中，
$\begin{cases} ∠EAH=∠B=90° \\ AE=BE \\ ∠AEH=∠BEC \end{cases}$
∴ △EAH≌△EBC（ASA），
∴ AH=BC，又BC=AD，故AH=AD，
在Rt△HDG中，AG是斜边DH的中线，
∴ AG=½DH=AD，
∴ △ADG中，AG=AD，但DG≠AD（因CF=½CD，∠CDF≠30°），故△ADG不是等边三角形，∠DAG≠60°，则∠EAG≠30°，故③错误；
∵ AG=AD，
∴ ∠ADG=∠AGD，
又∠AGE + ∠AGD=90°，∠CDF + ∠ADG=90°，
∴ ∠AGE=∠CDF，故④正确。
综上，正确的是①②④，选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查正方形的性质及几何证明，需熟练运用全等三角形的判定与性质，辅助线构造是解题关键，通过逐步推导验证各结论，培养学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
答案
解：
11. 样本容量是样本中包含的个体的数目，答案为200。
12. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A + ∠D = 180°，
代入∠A=110°，得∠D=180°-110°=70°。
答案：70。
13. 抛掷均匀硬币每次结果相互独立，出现正面朝上的概率恒为$\frac{1}{2}$，答案为$\frac{1}{2}$。
14. 第5组的频数为$50 - 12 - 10 - 15 - 8 = 5$，
第5组的频率为$\frac{5}{50}=0.1$。
答案：0.1。
15. 设鱼塘中估计有鱼$x$条，
由题意列方程：$\frac{30}{x}=\frac{5}{200}$，
解得$x=1200$，经检验符合实际意义。
答案：1200。
16. ∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4。
答案：4。
17. 菱形面积等于两条对角线乘积的一半，
$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
答案：24。
18. ∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×4=8。
答案：8。
19. ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∵CE=AC，
∴∠E=∠CAE，
由三角形外角性质得∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°。
答案：22.5°。
20. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=5，
∴DE=AD-AE=7-5=2。
答案：2。
11. 样本容量是样本中包含的个体的数目，答案为200。
12. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A + ∠D = 180°，
代入∠A=110°，得∠D=180°-110°=70°。
答案：70。
13. 抛掷均匀硬币每次结果相互独立，出现正面朝上的概率恒为$\frac{1}{2}$，答案为$\frac{1}{2}$。
14. 第5组的频数为$50 - 12 - 10 - 15 - 8 = 5$，
第5组的频率为$\frac{5}{50}=0.1$。
答案：0.1。
15. 设鱼塘中估计有鱼$x$条，
由题意列方程：$\frac{30}{x}=\frac{5}{200}$，
解得$x=1200$，经检验符合实际意义。
答案：1200。
16. ∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4。
答案：4。
17. 菱形面积等于两条对角线乘积的一半，
$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
答案：24。
18. ∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×4=8。
答案：8。
19. ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∵CE=AC，
∴∠E=∠CAE，
由三角形外角性质得∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°。
答案：22.5°。
20. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=5，
∴DE=AD-AE=7-5=2。
答案：2。
解析
【分析】
这10道填空题涵盖统计、概率、特殊四边形等初中数学核心基础知识点，解题时需先明确各知识点的定义、性质，再结合题目条件逐步推导计算：统计类题目需掌握样本容量、频数、频率的关系及样本估计总体的方程应用；几何类题目需熟练运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，结合三角形外角、中位线定理等进行角度或边长计算；概率类题目需明确独立事件的概率特点，掌握简单事件的概率计算方法。
【解析】
11. 样本容量是样本中包含的个体数目，本题样本容量为200；
12.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，平行四边形邻角互补，即∠A+∠D=180°，代入∠A=110°，得∠D=180°-110°=70°；
13. 抛掷均匀硬币为独立重复试验，每次正面朝上的概率恒为$\frac{1}{2}$；
14. 第5组频数=总数-其他组频数之和=50-12-10-15-8=5，第5组频率=频数÷总数=$\frac{5}{50}=0.1$；
15. 设鱼塘中鱼的总数为$x$条，由样本估计总体，列方程$\frac{30}{x}=\frac{5}{200}$，解得$x=1200$，经检验符合实际意义；
16.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB（矩形对角线相等且平分），又∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，OA=AB=2，故AC=2OA=4；
17. 菱形面积公式为两条对角线乘积的一半，代入对角线长6和8，得$S=\frac{1}{2}×6×8=24$；
18.
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据中位线定理，BC=2DE=2×4=8；
19.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，又CE=AC，
∴△ACE为等腰三角形，∠E=∠CAE，由三角形外角性质，∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，故∠E=22.5°；
20.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，又BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，故∠AEB=∠ABE，得AE=AB=5，因此DE=AD-AE=7-5=2；
【答案】
11.200；12.70；13.$\frac{1}{2}$；14.0.1；15.1200；16.4；17.24；18.8；19.22.5°；20.2
【知识点】
统计应用、特殊四边形性质、概率计算
【点评】
本题为初中数学基础填空题，覆盖统计、概率、几何核心知识点，侧重考察基础概念的理解与简单应用，难度适中，适合巩固数学基础。
【难度系数】
0.8
这10道填空题涵盖统计、概率、特殊四边形等初中数学核心基础知识点，解题时需先明确各知识点的定义、性质，再结合题目条件逐步推导计算：统计类题目需掌握样本容量、频数、频率的关系及样本估计总体的方程应用；几何类题目需熟练运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，结合三角形外角、中位线定理等进行角度或边长计算；概率类题目需明确独立事件的概率特点，掌握简单事件的概率计算方法。
【解析】
11. 样本容量是样本中包含的个体数目，本题样本容量为200；
12.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，平行四边形邻角互补，即∠A+∠D=180°，代入∠A=110°，得∠D=180°-110°=70°；
13. 抛掷均匀硬币为独立重复试验，每次正面朝上的概率恒为$\frac{1}{2}$；
14. 第5组频数=总数-其他组频数之和=50-12-10-15-8=5，第5组频率=频数÷总数=$\frac{5}{50}=0.1$；
15. 设鱼塘中鱼的总数为$x$条，由样本估计总体，列方程$\frac{30}{x}=\frac{5}{200}$，解得$x=1200$，经检验符合实际意义；
16.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB（矩形对角线相等且平分），又∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，OA=AB=2，故AC=2OA=4；
17. 菱形面积公式为两条对角线乘积的一半，代入对角线长6和8，得$S=\frac{1}{2}×6×8=24$；
18.
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据中位线定理，BC=2DE=2×4=8；
19.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，又CE=AC，
∴△ACE为等腰三角形，∠E=∠CAE，由三角形外角性质，∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，故∠E=22.5°；
20.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，又BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，故∠AEB=∠ABE，得AE=AB=5，因此DE=AD-AE=7-5=2；
【答案】
11.200；12.70；13.$\frac{1}{2}$；14.0.1；15.1200；16.4；17.24；18.8；19.22.5°；20.2
【知识点】
统计应用、特殊四边形性质、概率计算
【点评】
本题为初中数学基础填空题，覆盖统计、概率、几何核心知识点，侧重考察基础概念的理解与简单应用，难度适中，适合巩固数学基础。
【难度系数】
0.8
7. 在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠OAB=65°,则∠BOC=
130
°.答案
7. 130 【点拨】本题考查矩形的性质,三角形外角的性质.
【解析】如图,
∵ 四边形 ABCD 为矩形,$\therefore OA=OB$,$\therefore ∠ABD=∠OAB=65°$,$\therefore ∠BOC=∠ABD+∠OAB=65°+65°=130°$. 故答案为 130.
解析
【分析】要计算∠BOC的度数，首先利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得到OA=OB，推出△OAB是等腰三角形，从而得到∠OBA=∠OAB；再根据三角形外角的性质，∠BOC是△OAB的外角，等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形的对角线互相平分且相等，即OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OBA=∠OAB=65°，
又
∵ ∠BOC是△OAB的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠BOC=∠OAB + ∠OBA=65°+65°=130°。
【答案】130
【知识点】矩形的性质，三角形外角的性质
【点评】本题考查矩形的性质与三角形外角性质的应用，属于基础几何题，解题关键是利用矩形对角线的性质构造等腰三角形，结合外角性质求解，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形的对角线互相平分且相等，即OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OBA=∠OAB=65°，
又
∵ ∠BOC是△OAB的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠BOC=∠OAB + ∠OBA=65°+65°=130°。
【答案】130
【知识点】矩形的性质，三角形外角的性质
【点评】本题考查矩形的性质与三角形外角性质的应用，属于基础几何题，解题关键是利用矩形对角线的性质构造等腰三角形，结合外角性质求解，难度不大。
【难度系数】0.6
8. 如图,两条宽都为$\sqrt{3}$的矩形纸条交叉成$60°$角重叠在一起,则重叠四边形的面积为________.
答案
8. $2\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质,含$30°$角的直角三角形的性质及勾股定理.
【解析】如图,过点 A 作$AE⊥CD$于点 E,过点 C 作$CF⊥AD$于点 F,由题意得$AB// CD$,$AD// BC$,$AE=CF=\sqrt{3}$,$∠ADE=60°$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$∠DAE=30°$,$\therefore AD=2DE$. 在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$AD^2=AE^2+DE^2$,即$(2DE)^2=3+DE^2$,$\therefore DE=1$,$\therefore AD=2×1=2$,$\therefore S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=AD·CF=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$. 故答案为$2\sqrt{3}$.
解析
【分析】首先，两条矩形纸条交叉时，对边分别平行，因此重叠的四边形是平行四边形。要求该平行四边形的面积，需用平行四边形面积公式（底×高），已知高为矩形的宽$\sqrt{3}$，关键是求出平行四边形的底边长。结合已知的$60°$角，可构造直角三角形，利用含$30°$角的直角三角形性质和勾股定理计算底边长，进而求出面积。
【解析】如图，过点$A$作$AE⊥CD$于点$E$，过点$C$作$CF⊥AD$于点$F$。
∵两条纸条为矩形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形，且$AE=CF=\sqrt{3}$（矩形的宽），$∠ ADE=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ DAE=90°-∠ ADE=30°$，根据含$30°$角的直角三角形性质，得$AD=2DE$。
由勾股定理：$AD^2=AE^2+DE^2$，代入$AD=2DE$，$AE=\sqrt{3}$，得：
$(2DE)^2=(\sqrt{3})^2+DE^2$，即$4DE^2=3+DE^2$，解得$DE=1$（边长为正），
∴$AD=2×1=2$。
平行四边形$ABCD$的面积$=AD·CF=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】$2\sqrt{3}$
【知识点】平行四边形的判定与性质、含$30°$角的直角三角形、勾股定理
【点评】本题结合矩形性质考查平行四边形的面积计算，核心是判定重叠图形为平行四边形，再利用直角三角形的性质和勾股定理求底边长，属于几何基础应用题，需掌握相关定理。
【难度系数】0.5
【解析】如图，过点$A$作$AE⊥CD$于点$E$，过点$C$作$CF⊥AD$于点$F$。
∵两条纸条为矩形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形，且$AE=CF=\sqrt{3}$（矩形的宽），$∠ ADE=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ DAE=90°-∠ ADE=30°$，根据含$30°$角的直角三角形性质，得$AD=2DE$。
由勾股定理：$AD^2=AE^2+DE^2$，代入$AD=2DE$，$AE=\sqrt{3}$，得：
$(2DE)^2=(\sqrt{3})^2+DE^2$，即$4DE^2=3+DE^2$，解得$DE=1$（边长为正），
∴$AD=2×1=2$。
平行四边形$ABCD$的面积$=AD·CF=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】$2\sqrt{3}$
【知识点】平行四边形的判定与性质、含$30°$角的直角三角形、勾股定理
【点评】本题结合矩形性质考查平行四边形的面积计算，核心是判定重叠图形为平行四边形，再利用直角三角形的性质和勾股定理求底边长，属于几何基础应用题，需掌握相关定理。
【难度系数】0.5
9. 在平面直角坐标系$xOy$中，平行四边形$OABC$的顶点$A,C$的坐标分别是$(6,1),(2,4)$，则点$B$的坐标是________.
答案
9. (8,5) 【点拨】本题考查平行四边形的性质.
【解析】
∵ 四边形 OABC 是平行四边形,$\therefore OA// CB$且$OA=CB$.
∵ $O(0,0)$,$A(6,1)$,$\therefore$ 把点 O 向右平移 6 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到点 A,$\therefore$ 把点 C(2,4)向右平移 6 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到点 B(8,5). 故答案为(8,5).
【解析】
∵ 四边形 OABC 是平行四边形,$\therefore OA// CB$且$OA=CB$.
∵ $O(0,0)$,$A(6,1)$,$\therefore$ 把点 O 向右平移 6 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到点 A,$\therefore$ 把点 C(2,4)向右平移 6 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到点 B(8,5). 故答案为(8,5).
解析
【分析】要解决这个问题，需利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合平面直角坐标系的平移规律推导点B的坐标：首先确定已知顶点坐标，再通过点O到A的平移方式，将点C按相同平移得到点B的坐标，具体步骤为：1. 明确各已知点坐标：O为原点(0,0)，A(6,1)，C(2,4)；2. 计算点O到A的平移量：横坐标加6，纵坐标加1；3. 将点C按该平移量移动，即可得到点B的坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC是平行四边形，O为坐标原点，根据平行四边形对边平行且相等的性质，点A相对于点O的平移方式，与点B相对于点C的平移方式一致。点O到A的平移为：横坐标加6，纵坐标加1，因此将点C(2,4)按此平移，横坐标变为2+6=8，纵坐标变为4+1=5，故点B的坐标为(8,5)。
【答案】(8,5)
【知识点】平行四边形的性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题是平行四边形性质在平面直角坐标系中的基础应用，核心是利用平行四边形对边相等的性质，通过平移规律求解未知顶点坐标，属于巩固基础的典型题，解题思路清晰易懂。
【难度系数】0.7
【解析】
∵ 四边形OABC是平行四边形，O为坐标原点，根据平行四边形对边平行且相等的性质，点A相对于点O的平移方式，与点B相对于点C的平移方式一致。点O到A的平移为：横坐标加6，纵坐标加1，因此将点C(2,4)按此平移，横坐标变为2+6=8，纵坐标变为4+1=5，故点B的坐标为(8,5)。
【答案】(8,5)
【知识点】平行四边形的性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题是平行四边形性质在平面直角坐标系中的基础应用，核心是利用平行四边形对边相等的性质，通过平移规律求解未知顶点坐标，属于巩固基础的典型题，解题思路清晰易懂。
【难度系数】0.7
10. 已知菱形的周长是52 cm，一条对角线长是24 cm，则它的面积是
120
cm².答案
10. 120 【点拨】本题考查菱形的性质、周长与面积,勾股定理.
【解析】如图,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AC⊥BD$,$OB=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}×24=12(\mathrm{cm})$,$AB=\dfrac{1}{4}×52=13(\mathrm{cm})$,$AC=2OA$,$\therefore OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5(\mathrm{cm})$,$\therefore AC=2OA=2×5=10(\mathrm{cm})$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\dfrac{1}{2}AC·BD=\dfrac{1}{2}×10×24=120(\mathrm{cm}^2)$. 故答案为 120.
解析
【分析】要解决这道题，需利用菱形的核心性质：四条边相等，对角线互相垂直且平分，面积公式为“对角线乘积的一半”。解题思路分为三步：①根据菱形周长求出边长；②结合对角线垂直的性质，用勾股定理求出另一条对角线的长度；③代入面积公式计算结果。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分，即AC⊥BD，OB=½BD，AC=2OA。
1. 计算边长：菱形周长为52 cm，
∴边长AB=52÷4=13 cm；
2. 计算已知对角线的一半：已知BD=24 cm，
∴OB=½×24=12 cm；
3. 求另一条对角线的一半OA：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：
OA=√(AB² - OB²)=√(13² -12²)=√(169-144)=5 cm；
4. 求另一条对角线AC：AC=2OA=2×5=10 cm；
5. 计算菱形面积：根据菱形面积公式，S=½×AC×BD=½×10×24=120 cm²。
【答案】120
【知识点】菱形性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】本题是菱形相关的基础常规题，考查菱形的核心性质与勾股定理的应用，需熟练掌握菱形对角线的性质及面积公式，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分，即AC⊥BD，OB=½BD，AC=2OA。
1. 计算边长：菱形周长为52 cm，
∴边长AB=52÷4=13 cm；
2. 计算已知对角线的一半：已知BD=24 cm，
∴OB=½×24=12 cm；
3. 求另一条对角线的一半OA：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：
OA=√(AB² - OB²)=√(13² -12²)=√(169-144)=5 cm；
4. 求另一条对角线AC：AC=2OA=2×5=10 cm；
5. 计算菱形面积：根据菱形面积公式，S=½×AC×BD=½×10×24=120 cm²。
【答案】120
【知识点】菱形性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】本题是菱形相关的基础常规题，考查菱形的核心性质与勾股定理的应用，需熟练掌握菱形对角线的性质及面积公式，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
11. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE$平分$∠DAB$,$∠AED=26°$,则$∠C$的度数为
$52°$
.答案
11. $52°$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质,平行线的性质及角平分线的定义.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore ∠C=∠BAD$,$AB// CD$,$\therefore ∠BAE=∠AED=26°$.
∵ AE 平分$∠DAB$,$\therefore ∠BAD=2∠BAE=2×26°=52°$,$\therefore ∠C=∠BAD=52°$. 故答案为$52°$.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore ∠C=∠BAD$,$AB// CD$,$\therefore ∠BAE=∠AED=26°$.
∵ AE 平分$∠DAB$,$\therefore ∠BAD=2∠BAE=2×26°=52°$,$\therefore ∠C=∠BAD=52°$. 故答案为$52°$.
解析
【分析】要计算∠C的度数，需结合平行四边形的性质、平行线的性质和角平分线的定义推导：首先利用平行四边形对边平行，得到AB//CD，从而由内错角相等得出∠BAE=∠AED；再根据AE是角平分线，得到∠BAD是∠BAE的2倍；最后利用平行四边形对角相等，∠C=∠BAD，即可算出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，∠C=∠BAD（平行四边形对边平行，对角相等），
∴ ∠BAE=∠AED=26°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠BAD=2∠BAE=2×26°=52°，
∴ ∠C=∠BAD=52°。
【答案】52°
【知识点】平行四边形性质、角平分线定义、平行线性质
【点评】本题是平行四边形相关的基础题，综合运用了平行线的内错角性质、角平分线定义和平行四边形的对角相等性质，解题思路清晰，关键是找到角之间的等量关系。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，∠C=∠BAD（平行四边形对边平行，对角相等），
∴ ∠BAE=∠AED=26°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠BAD=2∠BAE=2×26°=52°，
∴ ∠C=∠BAD=52°。
【答案】52°
【知识点】平行四边形性质、角平分线定义、平行线性质
【点评】本题是平行四边形相关的基础题，综合运用了平行线的内错角性质、角平分线定义和平行四边形的对角相等性质，解题思路清晰，关键是找到角之间的等量关系。
【难度系数】0.6
12. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°$,$AD$ 是 $△ ABC$ 的中线,点 $E,F$ 分别是 $AD,AC$ 的中点,连接 $EF$,若 $EF = 3$,则 $AD$ 的长为________.
答案
12. 6 【点拨】本题考查三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【解析】
∵ 点 E,F 分别是 AD,AC 的中点,$\therefore EF$ 是$△ACD$的中位线,$\therefore CD=2EF=2×3=6$.
∵ $∠BAC=90°$,AD 是$△ABC$的中线,$\therefore AD=CD=6$. 故答案为 6.
【解析】
∵ 点 E,F 分别是 AD,AC 的中点,$\therefore EF$ 是$△ACD$的中位线,$\therefore CD=2EF=2×3=6$.
∵ $∠BAC=90°$,AD 是$△ABC$的中线,$\therefore AD=CD=6$. 故答案为 6.
解析
【分析】
要解决该问题，需分两步推导：首先根据E、F是AD、AC中点，判定EF为△ACD的中位线，利用三角形中位线定理求出CD的长度；再结合直角三角形斜边上的中线性质，得出AD与CD的关系，进而计算AD的长。
【解析】
∵ 点E、F分别是AD、AC的中点，
∴ EF是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ CD = 2EF = 2×3 = 6。
又
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴ AD = CD = 6。
【答案】
6
【知识点】
三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质
【点评】
本题考查两个基础几何定理的应用，解题关键是准确识别中位线并运用直角三角形中线性质，属于难度较低的基础题，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需分两步推导：首先根据E、F是AD、AC中点，判定EF为△ACD的中位线，利用三角形中位线定理求出CD的长度；再结合直角三角形斜边上的中线性质，得出AD与CD的关系，进而计算AD的长。
【解析】
∵ 点E、F分别是AD、AC的中点，
∴ EF是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ CD = 2EF = 2×3 = 6。
又
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴ AD = CD = 6。
【答案】
6
【知识点】
三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质
【点评】
本题考查两个基础几何定理的应用，解题关键是准确识别中位线并运用直角三角形中线性质，属于难度较低的基础题，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
13. 中国古代数学家刘徽给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图,在$△ ABC$中,分别取$AB,AC$的中点$D,E$,连接$DE$,过点$A$作$AF ⊥ DE$,垂足为$F$,将$△ ABC$分割后拼接成矩形$BCHG$.若$DE=3$,$AF=2$,则$△ ABC$的面积是________.
答案
13. 12 【点拨】本题考查图形的剪拼,矩形的面积,三角形中位线定理.
【解析】由题意知$AF=CH=2$,$BC=2DE=2×3=6$,$\therefore S_{△ABC}=S_{\mathrm{矩形}BCHG}=BC·CH=6×2=12$. 故答案为 12.
【解析】由题意知$AF=CH=2$,$BC=2DE=2×3=6$,$\therefore S_{△ABC}=S_{\mathrm{矩形}BCHG}=BC·CH=6×2=12$. 故答案为 12.
解析
【分析】要解决本题，首先利用三角形中位线定理，由D、E是AB、AC中点，得出DE是△ABC的中位线，从而得到BC与DE的数量关系；再根据题目中的出入相补法，可知△ABC的面积等于拼接成的矩形BCHG的面积，且矩形的宽等于AF，进而计算出面积。
【解析】
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，BC=2DE=2×3=6。由题意，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG，根据出入相补法，△ABC的面积与矩形BCHG的面积相等，且矩形的宽CH=AF=2，因此△ABC的面积=矩形BCHG的面积=BC×CH=6×2=12。
【答案】12
【知识点】三角形中位线定理、矩形面积、图形剪拼
【点评】本题结合古代数学的出入相补思想，考查三角形中位线定理和矩形面积计算，关键是理解图形剪拼前后面积不变，难度不大，属于基础题。
【难度系数】0.6
【解析】
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，BC=2DE=2×3=6。由题意，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG，根据出入相补法，△ABC的面积与矩形BCHG的面积相等，且矩形的宽CH=AF=2，因此△ABC的面积=矩形BCHG的面积=BC×CH=6×2=12。
【答案】12
【知识点】三角形中位线定理、矩形面积、图形剪拼
【点评】本题结合古代数学的出入相补思想，考查三角形中位线定理和矩形面积计算，关键是理解图形剪拼前后面积不变，难度不大，属于基础题。
【难度系数】0.6
14. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在AD上,连接EO并延长,交BC于点F.
若$AB=5$,$OE=2$,则四边形CDEF的周长是
若$AB=5$,$OE=2$,则四边形CDEF的周长是
14
.答案
14. 14 【点拨】本题考查菱形的性质,全等三角形的判定与性质.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore OA=OC$,$AD=BC=AB=CD=5$,$AD// BC$,$\therefore ∠OAE=∠OCF$,$∠AEO=∠CFO$. 在$△OAE$和$△OCF$中,$\begin{cases} ∠AEO=∠CFO, \\ ∠OAE=∠OCF, \\ OA=OC, \end{cases}$$\therefore △OAE≌△OCF(\mathrm{AAS})$,$\therefore OE=OF=2$,$AE=CF$,$\therefore$ 四边形 CDEF 的周长是$CD+DE+CF+EF=CD+AD+OE+OF=5+5+2+2=14$. 故答案为 14.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore OA=OC$,$AD=BC=AB=CD=5$,$AD// BC$,$\therefore ∠OAE=∠OCF$,$∠AEO=∠CFO$. 在$△OAE$和$△OCF$中,$\begin{cases} ∠AEO=∠CFO, \\ ∠OAE=∠OCF, \\ OA=OC, \end{cases}$$\therefore △OAE≌△OCF(\mathrm{AAS})$,$\therefore OE=OF=2$,$AE=CF$,$\therefore$ 四边形 CDEF 的周长是$CD+DE+CF+EF=CD+AD+OE+OF=5+5+2+2=14$. 故答案为 14.
解析
【分析】首先，根据菱形的性质可知，菱形的对边平行且相等、四条边相等、对角线互相平分，由此可得到OA=OC、AD//BC、AD=CD=AB=5这些关键条件；接着观察EO延长线与BC交于F的结构，可通过证明△OAE和△OCF全等，得到AE=CF、OE=OF的关系，进而将四边形CDEF的周长转化为已知的边长和线段长度，完成计算。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AD=BC=AB=CD=5，AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO。
在△OAE和△OCF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEO=∠CFO, \\∠OAE=∠OCF, \\OA=OC,\end{array} $
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴OE=OF=2，AE=CF。
∴四边形CDEF的周长为：
$CD + DE + CF + EF$
$= CD + DE + AE + (OE + OF)$
$= CD + (DE + AE) + OE + OF$
$= CD + AD + OE + OF$
$= 5 + 5 + 2 + 2 = 14$。
【答案】14
【知识点】菱形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】本题结合菱形性质与全等三角形转化线段，将未知周长转化为已知边长和线段，是菱形相关的基础综合题，重点考查线段转化的思路。
【难度系数】0.6
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AD=BC=AB=CD=5，AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO。
在△OAE和△OCF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEO=∠CFO, \\∠OAE=∠OCF, \\OA=OC,\end{array} $
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴OE=OF=2，AE=CF。
∴四边形CDEF的周长为：
$CD + DE + CF + EF$
$= CD + DE + AE + (OE + OF)$
$= CD + (DE + AE) + OE + OF$
$= CD + AD + OE + OF$
$= 5 + 5 + 2 + 2 = 14$。
【答案】14
【知识点】菱形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】本题结合菱形性质与全等三角形转化线段，将未知周长转化为已知边长和线段，是菱形相关的基础综合题，重点考查线段转化的思路。
【难度系数】0.6
15. 如图,将矩形ABCD对折后展开,折痕为MN,E是BC边上一点,将$△ ABE$沿AE折叠,使得点B刚好落在MN上的点F处,此时$FE=FN$,若$AB=\sqrt{3}$,则$BC=$
$\dfrac{5}{2}$
.答案
15. $\dfrac{5}{2}$ 【点拨】本题考查矩形的性质,折叠的性质,直角三角形的性质及勾股定理.
【解析】由折叠知:$AB=AF=\sqrt{3}$,$BE=EF$,$∠BAE=∠FAE$,$∠AEB=∠AEF$,$AM=BM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$∠AMN=∠BMN=90°$,$\therefore AM=\dfrac{1}{2}AF$,$\therefore ∠AFM=30°$,$\therefore ∠BAF=60°$,$\therefore ∠BAE=∠FAE=30°$,$\therefore ∠AEB=∠AEF=60°$. 设$BE=x$,则$AE=2x$. 在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AB^2+BE^2=AE^2$,$\therefore (\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$,解得$x_1=1$,$x_2=-1$(舍去),$\therefore BE=EF=1$.
∵ $FE=FN$,$\therefore FN=1$,在$\mathrm{Rt}△AMF$中,$MF=\sqrt{AF^2-AM^2}=\dfrac{3}{2}$,$\therefore BC=MN=MF+FN=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$. 故答案为$\dfrac{5}{2}$.
【解析】由折叠知:$AB=AF=\sqrt{3}$,$BE=EF$,$∠BAE=∠FAE$,$∠AEB=∠AEF$,$AM=BM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$∠AMN=∠BMN=90°$,$\therefore AM=\dfrac{1}{2}AF$,$\therefore ∠AFM=30°$,$\therefore ∠BAF=60°$,$\therefore ∠BAE=∠FAE=30°$,$\therefore ∠AEB=∠AEF=60°$. 设$BE=x$,则$AE=2x$. 在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AB^2+BE^2=AE^2$,$\therefore (\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$,解得$x_1=1$,$x_2=-1$(舍去),$\therefore BE=EF=1$.
∵ $FE=FN$,$\therefore FN=1$,在$\mathrm{Rt}△AMF$中,$MF=\sqrt{AF^2-AM^2}=\dfrac{3}{2}$,$\therefore BC=MN=MF+FN=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$. 故答案为$\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形和折叠的性质，利用直角三角形的角度关系与勾股定理逐步推导。首先，矩形对折后折痕MN是AB、CD的中点连线，故AM=½AB，且MN//AB；由折叠性质得AB=AF，结合AM=½AF可推出∠AFM=30°，进而得到角度关系求出BE的长度；再根据FE=FN，结合MN=MF+FN，MF可由勾股定理在Rt△AMF中求出，最终得到BC的长度。
【解析】
1. 由矩形对折的性质，折痕MN是AB的中点连线，故AM=BM=½AB=½×√3=√3/2，且∠AMN=90°，MN//AB。
2. 由△ABE沿AE折叠的性质，得AB=AF=√3，BE=EF，∠BAE=∠FAE。
3. 因为AM=√3/2，AF=√3，所以AM=½AF，在Rt△AMF中，直角边等于斜边的一半，故∠AFM=30°，则∠BAF=90°-∠AFM=60°，因此∠BAE=½∠BAF=30°。
4. 在Rt△ABE中，∠BAE=30°，设BE=x，则AE=2x，由勾股定理：AB²+BE²=AE²，代入AB=√3，得(√3)² + x²=(2x)²，即3 + x²=4x²，解得x=1（x=-1舍去），故BE=EF=1。
5. 已知FE=FN，所以FN=1。在Rt△AMF中，由勾股定理得MF=√(AF² - AM²)=√[(√3)² - (√3/2)²]=√(3 - 3/4)=√(9/4)=3/2。
6. 因为MN是矩形的对边中点连线，故MN=BC，且MN=MF + FN=3/2 +1=5/2，所以BC=5/2。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形与折叠的性质，需熟练运用直角三角形中“30°角所对直角边是斜边一半”的性质，结合勾股定理求解，关键在于通过折叠得到线段相等关系，进而推导角度，逐步求出各线段长度。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合矩形和折叠的性质，利用直角三角形的角度关系与勾股定理逐步推导。首先，矩形对折后折痕MN是AB、CD的中点连线，故AM=½AB，且MN//AB；由折叠性质得AB=AF，结合AM=½AF可推出∠AFM=30°，进而得到角度关系求出BE的长度；再根据FE=FN，结合MN=MF+FN，MF可由勾股定理在Rt△AMF中求出，最终得到BC的长度。
【解析】
1. 由矩形对折的性质，折痕MN是AB的中点连线，故AM=BM=½AB=½×√3=√3/2，且∠AMN=90°，MN//AB。
2. 由△ABE沿AE折叠的性质，得AB=AF=√3，BE=EF，∠BAE=∠FAE。
3. 因为AM=√3/2，AF=√3，所以AM=½AF，在Rt△AMF中，直角边等于斜边的一半，故∠AFM=30°，则∠BAF=90°-∠AFM=60°，因此∠BAE=½∠BAF=30°。
4. 在Rt△ABE中，∠BAE=30°，设BE=x，则AE=2x，由勾股定理：AB²+BE²=AE²，代入AB=√3，得(√3)² + x²=(2x)²，即3 + x²=4x²，解得x=1（x=-1舍去），故BE=EF=1。
5. 已知FE=FN，所以FN=1。在Rt△AMF中，由勾股定理得MF=√(AF² - AM²)=√[(√3)² - (√3/2)²]=√(3 - 3/4)=√(9/4)=3/2。
6. 因为MN是矩形的对边中点连线，故MN=BC，且MN=MF + FN=3/2 +1=5/2，所以BC=5/2。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形与折叠的性质，需熟练运用直角三角形中“30°角所对直角边是斜边一半”的性质，结合勾股定理求解，关键在于通过折叠得到线段相等关系，进而推导角度，逐步求出各线段长度。
【难度系数】
0.5
16. 如图,正方形ABCD的边长是8,点E在DC上,点F在AC上,∠BFE=90°.若CE=2,则AF的长为
$3\sqrt{2}$
.答案
16. $3\sqrt{2}$ 【点拨】本题考查正方形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质.
【解析】如题图,过点 F 作直线$FG⊥CD$于点 G,交 AB 于点 H,则$∠EGF=∠FHB=90°$,$\therefore ∠GEF+∠GFE=90°$.
∵ $∠BFE=90°$,$\therefore ∠GFE+∠HFB=90°$,$\therefore ∠GEF=∠HFB$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore ∠BCD=∠ABC=90°$,$∠ACD=∠CAB=45°$,$\therefore$ 四边形 BCGH 是矩形,$\therefore CG=BH$.
∵ $∠GCA=45°$,$∠CGF=90°$,$\therefore ∠GFC=45°$,$\therefore CG=FG$,$\therefore FG=BH$. 在$△GFE$和$△HBF$中,$\begin{cases} ∠GEF=∠HFB, \\ ∠EGF=∠FHB, \\ FG=BH, \end{cases}$$\therefore △GFE≌△HBF(\mathrm{AAS})$,$\therefore GE=HF$.
∵ $∠CAB=45°$,$∠AHF=90°$,$\therefore ∠HFA=45°$,$\therefore AH=HF$. 设$AH=HF=x$,则$GE=x$.
∵ $AB=8$,$\therefore BH=AB-AH=8-x$.
∵ $CG=BH$,$\therefore CE+GE=BH$,$\therefore 2+x=8-x$,$\therefore x=3$,$\therefore AH=HF=3$,$\therefore AF=\sqrt{AH^2+HF^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$. 故答案为$3\sqrt{2}$.
【解析】如题图,过点 F 作直线$FG⊥CD$于点 G,交 AB 于点 H,则$∠EGF=∠FHB=90°$,$\therefore ∠GEF+∠GFE=90°$.
∵ $∠BFE=90°$,$\therefore ∠GFE+∠HFB=90°$,$\therefore ∠GEF=∠HFB$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore ∠BCD=∠ABC=90°$,$∠ACD=∠CAB=45°$,$\therefore$ 四边形 BCGH 是矩形,$\therefore CG=BH$.
∵ $∠GCA=45°$,$∠CGF=90°$,$\therefore ∠GFC=45°$,$\therefore CG=FG$,$\therefore FG=BH$. 在$△GFE$和$△HBF$中,$\begin{cases} ∠GEF=∠HFB, \\ ∠EGF=∠FHB, \\ FG=BH, \end{cases}$$\therefore △GFE≌△HBF(\mathrm{AAS})$,$\therefore GE=HF$.
∵ $∠CAB=45°$,$∠AHF=90°$,$\therefore ∠HFA=45°$,$\therefore AH=HF$. 设$AH=HF=x$,则$GE=x$.
∵ $AB=8$,$\therefore BH=AB-AH=8-x$.
∵ $CG=BH$,$\therefore CE+GE=BH$,$\therefore 2+x=8-x$,$\therefore x=3$,$\therefore AH=HF=3$,$\therefore AF=\sqrt{AH^2+HF^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$. 故答案为$3\sqrt{2}$.
解析
【分析】本题是正方形背景下的线段长度求解问题，已知∠BFE为直角，可通过作辅助线构造直角三角形，结合正方形的45°角性质，证明三角形全等，再利用方程思想建立边的等量关系，最终用勾股定理计算AF的长度。具体思路：过F作FG⊥CD于G，交AB于H，将图形分割为矩形和等腰直角三角形，通过角的等量关系证明△GFE≌△HBF，得到边的对应关系，设未知数后根据边的关系列方程求解，最后用勾股定理算出AF。
【解析】如图，过点F作直线FG⊥CD于点G，交AB于点H，则∠EGF=∠FHB=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°。
∵∠BFE=90°，
∴∠GFE+∠HFB=90°，
∴∠GEF=∠HFB。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ABC=90°，∠ACD=∠CAB=45°，
∴四边形BCGH是矩形，
∴CG=BH。
∵∠GCA=45°，∠CGF=90°，
∴∠GFC=45°，
∴CG=FG，
∴FG=BH。
在△GFE和△HBF中，
$\begin{cases} ∠GEF=∠HFB, \\∠EGF=∠FHB, \\FG=BH, \end{cases}$
∴△GFE≌△HBF（AAS），
∴GE=HF。
∵∠CAB=45°，∠AHF=90°，
∴∠HFA=45°，
∴AH=HF。
设AH=HF=x，则GE=x。
∵AB=8，
∴BH=AB - AH=8 - x。
∵CG=BH，且CG=CE + GE，CE=2，
∴2 + x=8 - x，解得x=3。
∴AH=HF=3，在Rt△AHF中，AF=$\sqrt{AH^2 + HF^2}$=$\sqrt{3^2 + 3^2}$=3$\sqrt{2}$。
【答案】$3\sqrt{2}$
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，关键在于通过作辅助线构造全等三角形，利用方程思想简化计算，对学生的几何逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】0.5
【解析】如图，过点F作直线FG⊥CD于点G，交AB于点H，则∠EGF=∠FHB=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°。
∵∠BFE=90°，
∴∠GFE+∠HFB=90°，
∴∠GEF=∠HFB。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ABC=90°，∠ACD=∠CAB=45°，
∴四边形BCGH是矩形，
∴CG=BH。
∵∠GCA=45°，∠CGF=90°，
∴∠GFC=45°，
∴CG=FG，
∴FG=BH。
在△GFE和△HBF中，
$\begin{cases} ∠GEF=∠HFB, \\∠EGF=∠FHB, \\FG=BH, \end{cases}$
∴△GFE≌△HBF（AAS），
∴GE=HF。
∵∠CAB=45°，∠AHF=90°，
∴∠HFA=45°，
∴AH=HF。
设AH=HF=x，则GE=x。
∵AB=8，
∴BH=AB - AH=8 - x。
∵CG=BH，且CG=CE + GE，CE=2，
∴2 + x=8 - x，解得x=3。
∴AH=HF=3，在Rt△AHF中，AF=$\sqrt{AH^2 + HF^2}$=$\sqrt{3^2 + 3^2}$=3$\sqrt{2}$。
【答案】$3\sqrt{2}$
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，关键在于通过作辅助线构造全等三角形，利用方程思想简化计算，对学生的几何逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】0.5
