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7. JamesWebb太空望远镜探测到一个星系中的氢原子发射线($\mathrm{H}α$线)，其波长为$0.000000656\mathrm{m}$，将数据$0.000000656$用科学记数法表示为（
A.$6.56× 10^{7}$
B.$6.56× 10^{-7}$
C.$656× 10^{-7}$
D.$6.56× 10^{-6}$
B
）A.$6.56× 10^{7}$
B.$6.56× 10^{-7}$
C.$656× 10^{-7}$
D.$6.56× 10^{-6}$
答案
7.B
解析
【分析】要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示方法：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为负整数，$n$的绝对值等于原数中第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）。对于$0.000000656$，先确定$a$：将原数的小数点向右移动，直到得到1到10之间的数，即$6.56$；再确定$n$：小数点向右移动了7位，且原数绝对值小于1，所以$n=-7$，由此可得出结果，对应选项。
【解析】科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。当原数的绝对值小于1时，$n$是负整数，$n$的绝对值等于原数中第一个非零数字前所有零的个数。将$0.000000656$转化为科学记数法：把小数点向右移动7位得到$6.56$，因此$0.000000656 = 6.56×10^{-7}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】科学记数法（绝对值小于1的数）
【点评】本题考查科学记数法的基本应用，属于基础题型，核心是掌握绝对值小于1的数用科学记数法的表示规则，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8
【解析】科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。当原数的绝对值小于1时，$n$是负整数，$n$的绝对值等于原数中第一个非零数字前所有零的个数。将$0.000000656$转化为科学记数法：把小数点向右移动7位得到$6.56$，因此$0.000000656 = 6.56×10^{-7}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】科学记数法（绝对值小于1的数）
【点评】本题考查科学记数法的基本应用，属于基础题型，核心是掌握绝对值小于1的数用科学记数法的表示规则，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8
8. 关于 $ x $ 的方程 $\frac{3x - 1}{x + 1} - \frac{m}{x + 1} = 1$ 去分母解方程时产生增根，则 $ m $ 的值是
（
A.$-4$
B.$4$
C.$-1$
D.$2$
（
A
）A.$-4$
B.$4$
C.$-1$
D.$2$
答案
8.A
解析
【分析】
要解决这道题，需明确分式方程增根的概念：分式方程的增根是使原分式方程分母为0的根，去分母转化为整式方程后，增根是整式方程的解，但会使原分式方程无意义。解题步骤为：先确定增根，再将增根代入去分母后的整式方程，即可求出m的值。
【解析】
原方程为同分母分式方程，先合并分子得：$\frac{3x - 1 - m}{x + 1} = 1$。
去分母（两边同乘最简公分母$x + 1$，注意$x ≠ -1$），转化为整式方程：
$3x - 1 - m = x + 1$。
分式方程产生增根，则增根使原分母为0，即$x + 1 = 0$，得增根$x = -1$。
将$x = -1$代入整式方程：
$3×(-1) - 1 - m = (-1) + 1$，
计算得：$-4 - m = 0$，解得$m = -4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的定义，解题关键是先确定增根，再代入整式方程求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需明确分式方程增根的概念：分式方程的增根是使原分式方程分母为0的根，去分母转化为整式方程后，增根是整式方程的解，但会使原分式方程无意义。解题步骤为：先确定增根，再将增根代入去分母后的整式方程，即可求出m的值。
【解析】
原方程为同分母分式方程，先合并分子得：$\frac{3x - 1 - m}{x + 1} = 1$。
去分母（两边同乘最简公分母$x + 1$，注意$x ≠ -1$），转化为整式方程：
$3x - 1 - m = x + 1$。
分式方程产生增根，则增根使原分母为0，即$x + 1 = 0$，得增根$x = -1$。
将$x = -1$代入整式方程：
$3×(-1) - 1 - m = (-1) + 1$，
计算得：$-4 - m = 0$，解得$m = -4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的定义，解题关键是先确定增根，再代入整式方程求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 关于$x$的代数式$3x^2+mx-8$分解因式得$(x-2)(nx+4)$，则$n^m$的值为
（
A.$3$
B.$9$
C.$\dfrac{1}{9}$
D.$-2$
（
C
）A.$3$
B.$9$
C.$\dfrac{1}{9}$
D.$-2$
答案
9.C
解析
【分析】要解决本题，需利用多项式乘法法则将分解后的因式展开，根据“因式分解前后的多项式恒等，对应项系数相等”的性质，建立关于m、n的方程，求出m、n的值后，再代入计算$n^m$。具体步骤为：1. 展开$(x-2)(nx+4)$；2. 对比原式$3x^2+mx-8$，对应项系数相等，求出n和m；3. 计算$n^m$的值，选出正确选项。
【解析】先将分解后的因式展开：
$\begin{aligned}(x-2)(nx+4)&=x· nx + x·4 -2· nx -2×4\\&=nx^2 + (4 - 2n)x -8\end{aligned}$
因为$3x^2 + mx -8=(x-2)(nx+4)$，所以两个多项式对应项的系数相等：
$x^2$项系数：$n=3$；
$x$项系数：$4 - 2n = m$；
将$n=3$代入$4 - 2n = m$，得$m=4 - 2×3= -2$；
因此$n^m=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式、代数式求值
【点评】本题考查多项式乘法与因式分解的恒等关系，通过对应项系数相等建立方程求解参数，是初中代数的基础题型，注重对基本运算和概念的应用。
【难度系数】0.6
【解析】先将分解后的因式展开：
$\begin{aligned}(x-2)(nx+4)&=x· nx + x·4 -2· nx -2×4\\&=nx^2 + (4 - 2n)x -8\end{aligned}$
因为$3x^2 + mx -8=(x-2)(nx+4)$，所以两个多项式对应项的系数相等：
$x^2$项系数：$n=3$；
$x$项系数：$4 - 2n = m$；
将$n=3$代入$4 - 2n = m$，得$m=4 - 2×3= -2$；
因此$n^m=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式、代数式求值
【点评】本题考查多项式乘法与因式分解的恒等关系，通过对应项系数相等建立方程求解参数，是初中代数的基础题型，注重对基本运算和概念的应用。
【难度系数】0.6
10. 欧拉曾经提出过一道问题:两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖,两人的鸡蛋个数不同,卖得的钱却相同,于是甲农妇对乙农妇说:"如果我有你的鸡蛋个数,我的单价不变,可以卖得 15 个铜板."乙农妇回答道:"如果我有你的鸡蛋个数,我的单价不变,我就只能卖得$\frac{20}{3}$个铜板."问两人各有多少个鸡蛋? 设甲农妇有$x$个鸡蛋,则根据题意可以列出方程 （
A.$\frac{15x}{100-x}=\frac{20(100-x)}{3x}$
B.$\frac{15}{100-x}=\frac{20}{3x}$
C.$\frac{20x}{3(100-x)}=\frac{15(100-x)}{x}$
D.$\frac{15x}{100-x}=\frac{3x}{20(100-x)}$
A
）A.$\frac{15x}{100-x}=\frac{20(100-x)}{3x}$
B.$\frac{15}{100-x}=\frac{20}{3x}$
C.$\frac{20x}{3(100-x)}=\frac{15(100-x)}{x}$
D.$\frac{15x}{100-x}=\frac{3x}{20(100-x)}$
答案
10.A 【解析】设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有(100−x)个鸡蛋，根据题意，得：$\frac{15}{100−x}·x=\frac{\frac{20}{3}}{x}·(100−x)$，整理得$\frac{15x}{100−x}=\frac{20(100−x)}{3x}$。故选:A。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确总鸡蛋数为100个，设甲有$x$个，则乙有$(100-x)$个。核心是利用“两人卖得的钱相同”这一等量关系，结合“总价=单价×数量”推导单价表达式，进而列出方程。具体思路：1. 确定甲、乙的鸡蛋数量；2. 根据两人的描述，分别求出甲、乙的鸡蛋单价（单价=总价÷对应数量）；3. 利用“原来两人卖得钱相同”，即甲原总钱=乙原总钱，代入单价和数量整理得到方程。
【解析】
设甲农妇有$x$个鸡蛋，则乙农妇有$(100 - x)$个鸡蛋。
根据题意，甲农妇的鸡蛋单价为：若拥有乙的鸡蛋可卖15铜板，因此单价$=\frac{15}{100 - x}$；
乙农妇的鸡蛋单价为：若拥有甲的鸡蛋可卖$\frac{20}{3}$铜板，因此单价$=\frac{\frac{20}{3}}{x}=\frac{20}{3x}$。
由于两人原来卖得的钱相同，根据“总钱数=单价×数量”，可得：
甲原总钱数 = 乙原总钱数，即$\frac{15}{100 - x} · x = \frac{20}{3x} · (100 - x)$，
整理后为$\frac{15x}{100 - x} = \frac{20(100 - x)}{3x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题是结合实际生活的分式方程应用题，关键在于准确表示出甲、乙的鸡蛋单价，利用“总钱数相等”的等量关系列方程，需注意单价与对应数量的匹配，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确总鸡蛋数为100个，设甲有$x$个，则乙有$(100-x)$个。核心是利用“两人卖得的钱相同”这一等量关系，结合“总价=单价×数量”推导单价表达式，进而列出方程。具体思路：1. 确定甲、乙的鸡蛋数量；2. 根据两人的描述，分别求出甲、乙的鸡蛋单价（单价=总价÷对应数量）；3. 利用“原来两人卖得钱相同”，即甲原总钱=乙原总钱，代入单价和数量整理得到方程。
【解析】
设甲农妇有$x$个鸡蛋，则乙农妇有$(100 - x)$个鸡蛋。
根据题意，甲农妇的鸡蛋单价为：若拥有乙的鸡蛋可卖15铜板，因此单价$=\frac{15}{100 - x}$；
乙农妇的鸡蛋单价为：若拥有甲的鸡蛋可卖$\frac{20}{3}$铜板，因此单价$=\frac{\frac{20}{3}}{x}=\frac{20}{3x}$。
由于两人原来卖得的钱相同，根据“总钱数=单价×数量”，可得：
甲原总钱数 = 乙原总钱数，即$\frac{15}{100 - x} · x = \frac{20}{3x} · (100 - x)$，
整理后为$\frac{15x}{100 - x} = \frac{20(100 - x)}{3x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题是结合实际生活的分式方程应用题，关键在于准确表示出甲、乙的鸡蛋单价，利用“总钱数相等”的等量关系列方程，需注意单价与对应数量的匹配，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
