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19. 先化简,再求值:$(\dfrac{2x-3}{x-2}-1)÷\dfrac{x^2-2x+1}{x-2}$,然后再从 1,2,3 中选一个合适的数作为$x$并代入求值.
答案
19.解:原式=$\frac{2x−3−x+2}{x−2}·\frac{x−2}{(x−1)^2}$
=$\frac{x−1}{x−2}·\frac{x−2}{(x−1)^2}$
=$\frac{1}{x−1}$.(5分)
∵x−2≠0且x−1≠0,
∴x≠2且x≠1.(6分)
当x=3时,原式=$\frac{1}{2}$.(8分)
=$\frac{x−1}{x−2}·\frac{x−2}{(x−1)^2}$
=$\frac{1}{x−1}$.(5分)
∵x−2≠0且x−1≠0,
∴x≠2且x≠1.(6分)
当x=3时,原式=$\frac{1}{2}$.(8分)
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先计算括号内的分式减法，需将1转化为分母为$x-2$的分式，通分后合并分子；第二步，将除法运算转化为乘法运算，同时利用完全平方公式对$x^2-2x+1$因式分解；第三步，通过约分得到最简分式；第四步，根据分式有意义的条件（分母不为0）确定$x$的取值范围，从给定的1、2、3中选合适的数代入最简式计算结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{2x-3}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2}$（通分，将1转化为同分母分式）
$=\dfrac{2x-3-(x-2)}{x-2}$（合并分子）
$=\dfrac{2x-3-x+2}{x-2}$（去括号化简）
$=\dfrac{x-1}{x-2}$（化简分子）
$=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{x-2}{(x-1)^2}$（除法转乘法，对$x^2-2x+1$因式分解）
$=\dfrac{1}{x-1}$（约分）
因为分式分母不能为0，所以$x-2≠0$且$x-1≠0$，即$x≠2$且$x≠1$。
从1、2、3中选$x=3$代入，得：
原式$=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式化简求值的基础运算，重点考查通分、约分及分式有意义的条件，需注意所选$x$值不能使原分式分母为0，整体难度较低，是分式章节的典型基础题。
【难度系数】
0.5
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先计算括号内的分式减法，需将1转化为分母为$x-2$的分式，通分后合并分子；第二步，将除法运算转化为乘法运算，同时利用完全平方公式对$x^2-2x+1$因式分解；第三步，通过约分得到最简分式；第四步，根据分式有意义的条件（分母不为0）确定$x$的取值范围，从给定的1、2、3中选合适的数代入最简式计算结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{2x-3}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2}$（通分，将1转化为同分母分式）
$=\dfrac{2x-3-(x-2)}{x-2}$（合并分子）
$=\dfrac{2x-3-x+2}{x-2}$（去括号化简）
$=\dfrac{x-1}{x-2}$（化简分子）
$=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{x-2}{(x-1)^2}$（除法转乘法，对$x^2-2x+1$因式分解）
$=\dfrac{1}{x-1}$（约分）
因为分式分母不能为0，所以$x-2≠0$且$x-1≠0$，即$x≠2$且$x≠1$。
从1、2、3中选$x=3$代入，得：
原式$=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式化简求值的基础运算，重点考查通分、约分及分式有意义的条件，需注意所选$x$值不能使原分式分母为0，整体难度较低，是分式章节的典型基础题。
【难度系数】
0.5
20. 某学校开展了校园安全知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从1000名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分$ x $均为不小于60的整数)，并将测试成绩分为四个等第:基本合格$(60 ≤ x ＜ 70)$，合格$(70 ≤ x ＜ 80)$，良好$(80 ≤ x ＜ 90)$，优秀$(90 ≤ x ≤ 100)$，制作了如图统计图(部分信息未给出).
由图中给出的信息解答下列问题:
(1)求抽取学生的总人数，并补全频数直方图.
(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.
(3)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人?
由图中给出的信息解答下列问题:
(1)求抽取学生的总人数，并补全频数直方图.
(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.
(3)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人?
答案
20.解:(1)抽取学生的总人数为30÷15%=200(人).(2分)
合格的人数为200−30−80−40=50(人).
补全频数直方图如下.
(4分)(2)$\frac{80}{200}×360°=144°$.(6分)
(3)$\frac{40}{200}×1000=200$(人).(8分)
答:该校获得优秀的学生有200人.
解析
【分析】
要解决这三个问题，首先需利用“基本合格”的人数及其占比求出抽取学生的总人数；再根据总人数和已知的各等级人数计算“合格”的人数，补全频数直方图；接着用“良好”人数占总人数的比例乘以360°得到对应扇形圆心角；最后用“优秀”人数占样本的比例乘以全校总人数，估计全校获得优秀的学生数。
【解析】
(1) 已知基本合格的人数为30人，占抽取总人数的15%，因此抽取学生的总人数为：$30 ÷ 15\% = 200$（人）。
合格的人数为总人数减去基本合格、良好、优秀的人数，即：$200 - 30 - 80 - 40 = 50$（人），据此补全频数直方图。
(2) “良好”的人数为80人，对应扇形圆心角的度数为：$\frac{80}{200} × 360° = 144°$。
(3) 样本中优秀人数占比为$\frac{40}{200}$，估计全校获得优秀的学生数为：$\frac{40}{200} × 1000 = 200$（人）。
【答案】
20.解:(1)抽取学生的总人数为30÷15%=200(人).
合格的人数为200−30−80−40=50(人).
补全频数直方图如下.
(2)$\frac{80}{200}×360°=144°$.
(3)$\frac{40}{200}×1000=200$(人).
答:该校获得优秀的学生有200人.
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图表的信息进行关联计算，核心是利用样本估计总体，步骤清晰，属于基础统计应用题，考查学生对统计图表数据的处理能力。
【难度系数】
0.6
要解决这三个问题，首先需利用“基本合格”的人数及其占比求出抽取学生的总人数；再根据总人数和已知的各等级人数计算“合格”的人数，补全频数直方图；接着用“良好”人数占总人数的比例乘以360°得到对应扇形圆心角；最后用“优秀”人数占样本的比例乘以全校总人数，估计全校获得优秀的学生数。
【解析】
(1) 已知基本合格的人数为30人，占抽取总人数的15%，因此抽取学生的总人数为：$30 ÷ 15\% = 200$（人）。
合格的人数为总人数减去基本合格、良好、优秀的人数，即：$200 - 30 - 80 - 40 = 50$（人），据此补全频数直方图。
(2) “良好”的人数为80人，对应扇形圆心角的度数为：$\frac{80}{200} × 360° = 144°$。
(3) 样本中优秀人数占比为$\frac{40}{200}$，估计全校获得优秀的学生数为：$\frac{40}{200} × 1000 = 200$（人）。
【答案】
20.解:(1)抽取学生的总人数为30÷15%=200(人).
合格的人数为200−30−80−40=50(人).
补全频数直方图如下.
(2)$\frac{80}{200}×360°=144°$.
(3)$\frac{40}{200}×1000=200$(人).
答:该校获得优秀的学生有200人.
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图表的信息进行关联计算，核心是利用样本估计总体，步骤清晰，属于基础统计应用题，考查学生对统计图表数据的处理能力。
【难度系数】
0.6
