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21. 如图,在$6×6$的方格纸中,每个小方格的边长为1.已知点 D 和$△ ABC$的顶点都在格点上.平移$△ ABC$,使点 A 落在点 D,点 B 的对应点是点 E.
(1)画出平移后的$△ DEF$.
(2)连接 AD,AF,求$△ ADF$的面积.
(1)画出平移后的$△ DEF$.
(2)连接 AD,AF,求$△ ADF$的面积.
答案
21.解:(1)(3分)
(2)$S_{△ ADF}=3×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×6$
$=18-4-3-3$
$=8.$(6分)
解析
【分析】
本题分为两步：一是平移△ABC得到△DEF，需利用平移的性质（对应点连线平行且相等）确定对应点位置；二是求△ADF的面积，采用割补法，将△ADF置于矩形中，用矩形面积减去周围直角三角形的面积，简化计算。
【解析】
(1) 根据平移的性质，点A到点D的平移方向为向右4个单位、向上2个单位，据此将点B、C按相同方式平移，得到对应点E、F，连接DE、EF、FD，即可画出平移后的△DEF。
(2) 用割补法计算△ADF的面积：构造长为6、宽为3的矩形，其面积为$3×6=18$；减去周围三个直角三角形的面积，分别为$\frac{1}{2}×2×4=4$、$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×1×6=3$，因此$S_{△ADF}=18-4-3-3=8$。
【答案】
(1)；(2) 8
【知识点】
图形的平移、三角形面积计算、割补法
【点评】
本题考查平移作图和三角形面积的计算，平移作图的核心是确定对应点，割补法是求不规则图形面积的常用方法，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
本题分为两步：一是平移△ABC得到△DEF，需利用平移的性质（对应点连线平行且相等）确定对应点位置；二是求△ADF的面积，采用割补法，将△ADF置于矩形中，用矩形面积减去周围直角三角形的面积，简化计算。
【解析】
(1) 根据平移的性质，点A到点D的平移方向为向右4个单位、向上2个单位，据此将点B、C按相同方式平移，得到对应点E、F，连接DE、EF、FD，即可画出平移后的△DEF。
(2) 用割补法计算△ADF的面积：构造长为6、宽为3的矩形，其面积为$3×6=18$；减去周围三个直角三角形的面积，分别为$\frac{1}{2}×2×4=4$、$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×1×6=3$，因此$S_{△ADF}=18-4-3-3=8$。
【答案】
(1)
；(2) 8【知识点】
图形的平移、三角形面积计算、割补法
【点评】
本题考查平移作图和三角形面积的计算，平移作图的核心是确定对应点，割补法是求不规则图形面积的常用方法，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
22. 如图,已知在三角形 ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,$DE // BC$,连结 DC,点 F 在 DC 上,$∠ DEF = ∠ B$.
(1)求证:$EF // AB$.
(2)若 DE 平分$∠ ADC$,$∠ BDC = 2∠ B$,求$∠ EFC$的度数.
(第 22 题)
(1)求证:$EF // AB$.
(2)若 DE 平分$∠ ADC$,$∠ BDC = 2∠ B$,求$∠ EFC$的度数.
(第 22 题)
答案
22.(1)证明:$\because DE// BC,$
$\therefore ∠ ADE=∠ B.$(1分)
$\because ∠ DEF=∠ B,$
$\therefore ∠ ADE=∠ DEF,$(2分)
$\therefore EF// AB.$(3分)
(2)解:$\because DE$ 平分 $∠ ADC,$
$\therefore ∠ ADE=∠ EDF.$
$\because ∠ ADE=∠ B,$
$\therefore ∠ ADE=∠ DCB=∠ B.$(4分)
$\because ∠ BDC=2∠ B,$
$\therefore ∠ B+∠ DCB+∠ BDC=4∠ B=180°,$
$\therefore ∠ B=45°.$(5分)
$\because EF// AB,$
$\therefore ∠ EFC=∠ ADC=2∠ B=90°.$(6分)
$\therefore ∠ ADE=∠ B.$(1分)
$\because ∠ DEF=∠ B,$
$\therefore ∠ ADE=∠ DEF,$(2分)
$\therefore EF// AB.$(3分)
(2)解:$\because DE$ 平分 $∠ ADC,$
$\therefore ∠ ADE=∠ EDF.$
$\because ∠ ADE=∠ B,$
$\therefore ∠ ADE=∠ DCB=∠ B.$(4分)
$\because ∠ BDC=2∠ B,$
$\therefore ∠ B+∠ DCB+∠ BDC=4∠ B=180°,$
$\therefore ∠ B=45°.$(5分)
$\because EF// AB,$
$\therefore ∠ EFC=∠ ADC=2∠ B=90°.$(6分)
解析
【分析】
解决本题需分两步：第(1)问要证EF//AB，利用平行线的性质得∠ADE=∠B，结合已知∠DEF=∠B，通过等量代换得到内错角相等，进而判定EF//AB；第(2)问需结合角平分线定义、平行线性质、三角形内角和定理，先求出∠B的度数，再利用EF//AB的性质推导∠EFC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠B（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠DEF = ∠B，
∴ ∠ADE = ∠DEF（等量代换），
∴ EF//AB（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠EDC（角平分线定义）。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠B（两直线平行，同位角相等），且∠EDC = ∠DCB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DCB = ∠B。
在△BDC中，∠BDC + ∠B + ∠DCB = 180°，又
∵ ∠BDC = 2∠B，
∴ ∠B + 2∠B + ∠B = 4∠B = 180°，
解得∠B = 45°。
∵ EF//AB，
∴ ∠EFC = ∠ADC（两直线平行，同位角相等），
而∠ADC = 180° - ∠BDC = 180° - 2×45° = 90°，
∴ ∠EFC = 90°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠EFC的度数为90°。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查初中几何核心知识点，需熟练运用平行线的性质与判定、角平分线定义及三角形内角和定理，逻辑推导清晰，是典型的中等难度几何题，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6
解决本题需分两步：第(1)问要证EF//AB，利用平行线的性质得∠ADE=∠B，结合已知∠DEF=∠B，通过等量代换得到内错角相等，进而判定EF//AB；第(2)问需结合角平分线定义、平行线性质、三角形内角和定理，先求出∠B的度数，再利用EF//AB的性质推导∠EFC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠B（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠DEF = ∠B，
∴ ∠ADE = ∠DEF（等量代换），
∴ EF//AB（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠EDC（角平分线定义）。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠B（两直线平行，同位角相等），且∠EDC = ∠DCB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DCB = ∠B。
在△BDC中，∠BDC + ∠B + ∠DCB = 180°，又
∵ ∠BDC = 2∠B，
∴ ∠B + 2∠B + ∠B = 4∠B = 180°，
解得∠B = 45°。
∵ EF//AB，
∴ ∠EFC = ∠ADC（两直线平行，同位角相等），
而∠ADC = 180° - ∠BDC = 180° - 2×45° = 90°，
∴ ∠EFC = 90°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠EFC的度数为90°。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查初中几何核心知识点，需熟练运用平行线的性质与判定、角平分线定义及三角形内角和定理，逻辑推导清晰，是典型的中等难度几何题，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6
