1. (教材例题变式)已知反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过点 $(-3,-\dfrac{4}{3})$.
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)已知点 $A(-1,y_1)$、$B(-2,y_2)$、$C(3,y_3)$ 都在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,请直接写出$y_1$、$y_2$、$y_3$ 的大小关系.(用“$＜$”连接)

(1)把$(-3,-\dfrac{4}{3})$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$-\dfrac{4}{3}=\dfrac{k}{-3}$,解得$k=4$,$\therefore$这个反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$.(2)$\because$点$A(-1,y_1)$、$B(-2,y_2)$、$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上,$\therefore y_1=\dfrac{4}{-1}=-4$,$y_2=\dfrac{4}{-2}=-2$,$y_3=\dfrac{4}{3}$,$\therefore y_1＜y_2＜y_3$.

【分析】
要解决本题，分两步思考：第一步求反比例函数表达式，反比例函数仅含一个待定系数$k$，将已知点坐标代入表达式即可求出$k$，进而得到函数表达式；第二步比较三个点的函数值，可直接将各点横坐标代入已求出的表达式计算$y$值，再比较大小，该方法直观易懂。
【解析】
(1) 把点$(-3,-\dfrac{4}{3})$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$-\dfrac{4}{3}=\dfrac{k}{-3}$，
两边同乘$-3$，解得$k=4$，
因此这个反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
(2) 因为点$A(-1,y_1)$、$B(-2,y_2)$、$C(3,y_3)$都在$y=\dfrac{4}{x}$的图象上，分别代入计算：
$y_1=\dfrac{4}{-1}=-4$，
$y_2=\dfrac{4}{-2}=-2$，
$y_3=\dfrac{4}{3}$，
比较大小得：$-4 ＜ -2 ＜ \dfrac{4}{3}$，即$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{x}$；(2) $y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数的性质
【点评】
本题为教材例题变式题，考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰，步骤明确，属于学生易掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 点$A(2,y_{1})$、$B(3,y_{2})$在反比例函数$y=\dfrac{5}{x}$的图象上，则$y_{1}\_\_\_\_\_\_y_{2}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

$＞$ 解析:在反比例函数$y=\dfrac{5}{x}$中,$k=5＞0$,$\therefore$函数图象位于第一、三象限,且在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.$\because 2＜3$,$\therefore y_1＞y_2$.

【分析】要比较反比例函数上两点的函数值大小，需先确定反比例函数的k值，判断其图像所在象限及同一象限内y随x的变化规律，再根据两点横坐标的大小关系，结合增减性比较函数值。
【解析】对于反比例函数$y=\dfrac{5}{x}$，其中$k=5＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。已知点$A(2,y_1)$、$B(3,y_2)$的横坐标$2＞0$、$3＞0$，说明两点都在第一象限，符合“同一象限”的条件。又因为$2＜3$，根据第一象限内$y$随$x$增大而减小的性质，可得$y_1＞y_2$。
【答案】$＞$
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数的基本性质，属于基础题型，核心是掌握$k＞0$时反比例函数的增减性，判断点所在象限是解题的关键步骤，难度较低。
【难度系数】0.8

3. 若反比例函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$的图象位于第一、三象限，则$m$的值为。

4 解析:$\because$反比例函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$的图象位于第一、三象限,$\therefore |m|-5=-1$,且$m+2＞0$,$\therefore m=4$.

【分析】
要解决这个问题，需结合反比例函数的定义和性质分析：首先，反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k≠0$），因此函数中$x$的指数必须为$-1$，且系数不能为0；其次，反比例函数图象位于第一、三象限时，系数$k＞0$。据此可列出关于$m$的方程和不等式，求解后验证即可得到$m$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$需满足：
1. $x$的指数为$-1$，即$|m| - 5 = -1$，解得$|m|=4$，所以$m=4$或$m=-4$；
2. 系数不为0，即$m+2≠0$，得$m≠-2$；
又因为图象位于第一、三象限，所以系数$m+2＞0$，即$m＞-2$。
结合上述条件，$m=4$满足所有要求，$m=-4$不满足$m＞-2$，故舍去。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基础知识点，需牢记反比例函数的形式特征（指数为$-1$、系数不为0），以及图象象限与系数符号的对应关系，解题时需同时满足多个条件，避免漏解或错解，属于初中数学的常规基础题。
【难度系数】
0.7

4. 已知反比例函数$y=\dfrac{5m-2}{x}$的图象上有$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$两点，且当$x_1＜x_2＜0$时，$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是.

$m＜\dfrac{2}{5}$ 解析:$\because$反比例函数$y=\dfrac{5m-2}{x}$的图象上有$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$两点,且当$x_1＜x_2＜0$时,$y_1＜y_2$,$\therefore 5m-2＜0$,$\therefore m＜\dfrac{2}{5}$.

【分析】首先回忆反比例函数的增减性：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。题目中$x_1＜x_2＜0$，说明两点都在第三象限，此时$y_1＜y_2$，即$x$增大时$y$也增大，因此反比例函数的比例系数$k=5m-2$需小于0，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
1. 判断比例系数的符号：已知当$x_1＜x_2＜0$时，$y_1＜y_2$，说明在$x＜0$的象限内，$y$随$x$的增大而增大，因此反比例函数的比例系数满足$5m-2＜0$。
2. 解不等式：对$5m-2＜0$移项得$5m＜2$，两边同时除以5，解得$m＜\frac{2}{5}$。
【答案】$m＜\dfrac{2}{5}$
【知识点】反比例函数的性质、一元一次不等式的解法
【点评】本题考查反比例函数的增减性，核心是根据自变量与函数值的变化关系判断比例系数的符号，进而解不等式，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数在各象限的增减规律。
【难度系数】0.6

5. 已知反比例函数 $y=\dfrac{1-2m}{x}$ 的图象经过点 $(-1,4)$.
(1)试确定 $m$ 的值.
(2)该反比例函数的图象经过哪些象限?
(3)若 $A(-1,y_1)、B(-4,y_2)、C(1,y_3)$ 是该函数图象上的点,试比较 $y_1、y_2、y_3$ 的大小.
(4)直接回答点 $D(2,-2)、E(-\dfrac{1}{4},16)$ 是否在这个函数的图象上.

(1)$\because$反比例函数$y=\dfrac{1-2m}{x}$的图象经过点$(-1,4)$,$\therefore 4=\dfrac{1-2m}{-1}$,$\therefore m=\dfrac{5}{2}$.(2)$\because 1-2m=-4＜0$,$\therefore$该反比例函数的图象位于第二、四象限.(3)由(2)知,反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{4}{x}$.$\because A(-1,y_1)$、$B(-4,y_2)$、$C(1,y_3)$是该函数图象上的点,$\therefore y_1=4$,$y_2=1$,$y_3=-4$,$\therefore y_1＞y_2＞y_3$.(4)当$x=2$时,$y=\dfrac{-4}{2}=-2$,当$x=-\dfrac{1}{4}$时,$y=\dfrac{-4}{-\dfrac{1}{4}}=16$,$\therefore$点$D(2,-2)$、$E(-\dfrac{1}{4},16)$在这个函数的图象上.

【分析】
1. 对于(1)，利用反比例函数图像上的点满足函数解析式，将已知点坐标代入即可求解m的值；
2. 对于(2)，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质：$k＞0$时图像在一、三象限，$k＜0$时在二、四象限，计算比例系数$k=1-2m$的正负，确定图像所在象限；
3. 对于(3)，先由前两问确定函数解析式，再将三个点的横坐标分别代入解析式求出对应函数值，最后比较大小；
4. 对于(4)，判断点是否在函数图像上，只需将点的横、纵坐标代入解析式，验证等式是否成立即可。
【解析】
(1) 因为反比例函数$y=\dfrac{1-2m}{x}$的图象经过点$(-1,4)$，将$x=-1$，$y=4$代入解析式得：
$4=\dfrac{1-2m}{-1}$，
解得$1-2m=-4$，即$m=\dfrac{5}{2}$。
(2) 由(1)得反比例函数的比例系数$k=1-2m=1-2×\dfrac{5}{2}=-4＜0$，根据反比例函数性质，该函数图象位于第二、四象限。
(3) 由(1)知函数解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$，分别代入三点横坐标求函数值：
$y_1=-\dfrac{4}{-1}=4$，$y_2=-\dfrac{4}{-4}=1$，$y_3=-\dfrac{4}{1}=-4$，故$y_1＞y_2＞y_3$。
(4) 验证点是否在函数图象上：
当$x=2$时，$y=-\dfrac{4}{2}=-2$，与点D纵坐标相等，故D在图象上；
当$x=-\dfrac{1}{4}$时，$y=-\dfrac{4}{-\dfrac{1}{4}}=16$，与点E纵坐标相等，故E在图象上。
【答案】
(1)$m=\dfrac{5}{2}$；(2)第二、四象限；(3)$y_1＞y_2＞y_3$；(4)点D、E都在这个函数的图象上
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题为反比例函数基础题型，涵盖待定系数法、图像象限判断、函数值比较、点的位置判断等核心知识点，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.6