5. 如图,在平面直角坐标系中,$\mathrm{Rt}△ OAB$ 的一条边 $OA$ 在 $y$ 轴上,$OA=4,AB=3$,将 $\mathrm{Rt}△ OAB$ 向右平移,某一时刻,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$ 的图象恰好经过点 $A$ 和 $OB$ 的中点 $C$,则 $k$ 的值为（）

A.4
B.5
C.6
D.7

C 解析:$\because \mathrm{Rt}△ OAB$的一条边$OA$在$y$轴上,$OA=4$,$AB=3$,$\therefore A(0,4)$,$B(3,4)$,$\therefore OB$的中点$C$为$(\dfrac{3}{2},2)$.设$\mathrm{Rt}△ OAB$向右平移$a$个单位长度$(a＞0)$,则平移后点$A$、$C$的对应点分别为$A'(a,4)$、$C'(\dfrac{3}{2}+a,2)$.$\because$反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象恰好经过点$A'(a,4)$、$C'(\dfrac{3}{2}+a,2)$,$\therefore k=4a=2(\dfrac{3}{2}+a)$,解得$a=\dfrac{3}{2}$,$\therefore k=4×\dfrac{3}{2}=6$.

【分析】
要解决本题，需先确定Rt△OAB各顶点的原始坐标，再求出OB中点C的坐标；由于图形向右平移时，点的横坐标增加平移单位长度、纵坐标不变，因此可表示出平移后A、C的对应点坐标；最后利用反比例函数上的点满足横纵坐标乘积等于k，列方程求解平移距离，进而算出k的值。
【解析】
1. 确定原始点坐标：已知Rt△OAB中OA在y轴上，OA=4，AB=3，可得A点坐标为(0,4)，AB平行于x轴，故B点坐标为(3,4)。
2. 求OB中点C的坐标：根据中点坐标公式，OB的中点C的坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+4}{2})$，即$(\frac{3}{2},2)$。
3. 设平移距离：设Rt△OAB向右平移$a$个单位长度（$a＞0$），则平移后点A的对应点$A'$坐标为$(a,4)$，点C的对应点$C'$坐标为$(\frac{3}{2}+a,2)$。
4. 利用反比例函数性质：因为$A'$、$C'$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以$k=x·y$，即：
$k=4a$，且$k=2×(\frac{3}{2}+a)=3+2a$。
5. 解方程求$a$：联立得$4a=3+2a$，解得$a=\frac{3}{2}$。
6. 计算$k$：将$a=\frac{3}{2}$代入$k=4a$，得$k=4×\frac{3}{2}=6$。
【答案】C
【知识点】反比例函数、图形平移、中点坐标公式
【点评】本题结合图形平移与反比例函数性质，核心是利用平移后点的坐标变化规律和反比例函数的特征列方程，考查学生的综合应用能力，难度适中。
【难度系数】0.6

6. 如图,矩形 $ABCD$ 的边 $AD // x$ 轴,顶点 $A$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 $B$、$D$ 在反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$ 的图象上,则矩形 $ABCD$ 的面积为（）

A.$\dfrac{8}{3}$
B.$3$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.$4$

A 解析:设点$A$的坐标为$(m,\dfrac{6}{m})$.$\because AD// x$轴,且点$D$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$上,$\therefore D(\dfrac{m}{3},\dfrac{6}{m})$,$AB// y$轴.$\because$点$B$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$上,$\therefore B(m,\dfrac{2}{m})$,$\therefore S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AD· AB=(m-\dfrac{m}{3})(\dfrac{6}{m}-\dfrac{2}{m})=\dfrac{8}{3}$.

【分析】
要解决这个问题，我们结合反比例函数上点的坐标特征和矩形的性质来计算面积。首先设点A的坐标，利用AD平行x轴得到点D的纵坐标，结合D在反比例函数上求出D的横坐标；再利用AB平行y轴得到点B的横坐标，结合B在反比例函数上求出B的纵坐标；最后根据矩形的长和宽计算面积。
【解析】
设点A的坐标为$(m, \dfrac{6}{m})$（$m＞0$）。
因为$AD // x$轴，所以点D的纵坐标与点A相同，为$\dfrac{6}{m}$。
又点D在$y=\dfrac{2}{x}$上，将$y=\dfrac{6}{m}$代入得：$\dfrac{6}{m}=\dfrac{2}{x}$，解得$x=\dfrac{m}{3}$，即$D(\dfrac{m}{3}, \dfrac{6}{m})$。
因为矩形ABCD中$AB // y$轴，所以点B的横坐标与点A相同，为$m$。
又点B在$y=\dfrac{2}{x}$上，将$x=m$代入得：$y=\dfrac{2}{m}$，即$B(m, \dfrac{2}{m})$。
矩形的长$AD = m - \dfrac{m}{3} = \dfrac{2m}{3}$，宽$AB = \dfrac{6}{m} - \dfrac{2}{m} = \dfrac{4}{m}$。
因此矩形面积为：$AD × AB = \dfrac{2m}{3} × \dfrac{4}{m} = \dfrac{8}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质、矩形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与矩形的性质，通过设点坐标简化计算，关键是利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，快速求出各顶点坐标，进而求解面积，属于中等难度的函数几何综合题。
【难度系数】
0.6

7. 若点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$都在$y=\dfrac{6}{x}$的图象上，且$x_{1}x_{2}=-2$，则$y_{1}y_{2}$的值为.

-18 解析:$\because$点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$都在$y=\dfrac{6}{x}$的图象上,$\therefore x_1y_1=x_2y_2=6$,$\therefore x_1y_1· x_2y_2=36$.又$\because x_1x_2=-2$,$\therefore y_1y_2=-18$.

【分析】
要解决本题，需利用反比例函数图象上点的坐标特征：若点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则该点的横纵坐标乘积等于比例系数$k$。先根据函数解析式得出$x_1y_1$和$x_2y_2$的值，再通过等式变形结合已知的$x_1x_2$，即可求出$y_1y_2$。
【解析】
解：因为点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$都在$y=\frac{6}{x}$的图象上，根据反比例函数的性质，可得：
$x_1y_1 = 6$，$x_2y_2 = 6$
将两式相乘，得：
$x_1y_1 · x_2y_2 = 6 × 6 = 36$
整理得：$x_1x_2 · y_1y_2 = 36$
已知$x_1x_2 = -2$，代入上式：
$-2 · y_1y_2 = 36$
两边同时除以$-2$，解得：
$y_1y_2 = -18$
【答案】
-18
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，核心是利用“点在反比例函数图象上，横纵坐标乘积等于比例系数”这一性质，通过简单代数变形即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$AOBC$的边$OB$在$x$轴正半轴上,点$A$的坐标为$(3,4)$,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$C$,则$k=$.

32 解析:$\because$点$A$的坐标为$(3,4)$,$\therefore OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\because$菱形$AOBC$的边$OB$在$x$轴正半轴上,$\therefore AC=OA=5$,$AC// x$轴,$\therefore C(8,4)$.$\because$反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$C$,$\therefore k=8×4=32$.

【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质和反比例函数的特点。首先根据点A的坐标求出OA的长度，再利用菱形对边平行且相等的性质确定点C的坐标，最后将点C坐标代入反比例函数解析式计算k的值。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知点A坐标为$(3,4)$，根据两点间距离公式，$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 确定点C的坐标：因为四边形$AOBC$是菱形，所以$AC=OA=5$，且$AC// x$轴，因此点C的纵坐标与点A相同，为4；点C的横坐标为A的横坐标加上AC的长度，即$3+5=8$，故点C坐标为$(8,4)$。
3. 计算k的值：由于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点C，将$C(8,4)$代入解析式，得$k=8×4=32$。
【答案】
32
【知识点】
菱形的性质；反比例函数解析式
【点评】
本题将菱形的性质与反比例函数相结合，核心是利用菱形对边平行且相等的特征求出点C的坐标，进而求解k值，属于基础题型，注重对基础知识的应用。
【难度系数】
0.6

9. 如图,正方形$OABC$的面积为9,$O$为坐标原点,点$A$在$x$轴上,点$C$在$y$轴上,点$B$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,$P(m,n)$是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上的任意一点,过点$P$分别作$x$轴、$y$轴的垂线,垂足分别为$E$、$F$,并设矩形$OEPF$和正方形$OABC$不重合的部分(图中阴影部分)的面积为$S$.
(1)求点$B$的坐标和$k$的值.
(2)当$S=\dfrac{9}{2}$时,求点$P$的坐标.

(1)$\because$正方形$OABC$的面积为9,$\therefore OA=OC=3$,$\therefore$点$B$的坐标为$(3,3)$.将$B(3,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=9$.
(2)$\because$点$P$在反比例函数$y=\dfrac{9}{x}$的图象上,$\therefore$设点$P$的坐标为$(t,\dfrac{9}{t})$.
当$t＞3$时,如题图,点$H$的坐标为$(3,\dfrac{9}{t})$,$\because S=\dfrac{9}{2}$,$\therefore (t-3)·\dfrac{9}{t}=\dfrac{9}{2}$,解得$t=6$,$\therefore P(6,\dfrac{3}{2})$;
当$t＜3$时,如图,点$H$的坐标为$(t,3)$,$\because S=\dfrac{9}{2}$,$\therefore t(\dfrac{9}{t}-3)=\dfrac{9}{2}$,解得$t=\dfrac{3}{2}$,$\therefore P(\dfrac{3}{2},6)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$或$(\dfrac{3}{2},6)$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用正方形面积求边长，进而得到点B坐标，再代入反比例函数求k；第(2)问需分两种情况讨论点P的位置（在B右侧或左侧），根据不重合部分面积S的表达式列方程求解点P坐标，核心是利用反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值，结合矩形面积公式计算S。
【解析】
(1) 已知正方形OABC的面积为9，根据正方形面积公式，边长为$\sqrt{9}=3$。
因为O为原点，A在x轴，C在y轴，所以点B的坐标为$(3,3)$。
将$B(3,3)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=3×3=9$。
(2) 因为点$P(m,n)$在反比例函数$y=\dfrac{9}{x}$上，所以$n=\dfrac{9}{m}$，即$mn=9$。
分两种情况讨论：
① 当$m＞3$时，不重合部分的面积为长$(m-3)$、宽$\dfrac{9}{m}$的矩形面积，即$S=(m-3)·\dfrac{9}{m}$。
已知$S=\dfrac{9}{2}$，则$(m-3)·\dfrac{9}{m}=\dfrac{9}{2}$，
两边同乘$2m$得：$2(m-3)×9=9m$，化简得$2(m-3)=m$，解得$m=6$，则$n=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$，故$P(6,\dfrac{3}{2})$。
② 当$m＜3$时，不重合部分的面积为长$m$、宽$(\dfrac{9}{m}-3)$的矩形面积，即$S=m·(\dfrac{9}{m}-3)$。
已知$S=\dfrac{9}{2}$，则$m·(\dfrac{9}{m}-3)=\dfrac{9}{2}$，化简得$9-3m=\dfrac{9}{2}$，解得$m=\dfrac{3}{2}$，则$n=\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=6$，故$P(\dfrac{3}{2},6)$。
综上，点P的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$或$(\dfrac{3}{2},6)$。
【答案】
(1) 点B的坐标为$(3,3)$，$k=9$；(2) 点P的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$或$(\dfrac{3}{2},6)$
【知识点】
反比例函数、正方形性质、矩形面积
【点评】
本题结合正方形与反比例函数，考查反比例函数的基本性质及分类讨论思想，需根据点P的位置分情况计算不重合部分面积，是反比例函数应用的典型题型，能较好地考查学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5