8. 如图, 在 $△ A B C$ 中, $A B=10 \sqrt{41} \mathrm{~cm}, B C=$ $40 \mathrm{~cm}, ∠ C=90°$, 点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A C$ 方向以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度向点 $C$ 运动, 同时另一点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿 $C B$ 方向以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度向点 $B$ 运动, 当其中一点到达终点时, 另一点也随之停止. 连接 $P Q$. 若 $t \mathrm{~s}$ 后, $△ P C Q$ 的面积为 $450 \mathrm{~cm}^2$, 则 $t$ 的值为
.

8. 10 解析: 因为 $AB=10\sqrt{41}$ cm, $BC=40$ cm, $∠ C=90°$, 所以 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=50$ cm. 因为 $50÷2=25$(s), $40÷3=\dfrac{40}{3}$(s), 所以 $0≤ t≤\dfrac{40}{3}$. 由题意,得 $AP=2t$ cm, $CQ=3t$ cm, 则 $PC=AC-AP=(50-2t)$cm, 所以 $S_{△ PCQ}=\dfrac{1}{2}PC· CQ=(-3t^2+75t)\mathrm{cm}^2$. 又 $S_{△ PCQ}=450\ \mathrm{cm}^2$, 所以 $-3t^2+75t=450$. 整理,得 $t^2-25t+150=0$,解得 $t_1=10,t_2=15$(不合题意,舍去). 故 $t$ 的值为 10.

9. 新趋势 推导探究 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发沿射线$AC$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,与此同时,点$Q$从点$C$出发沿$CB$方向以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,当点$Q$运动到点$B$时,点$P$也停止运动.连接$PQ$.在运动过程中,是否存在某一时刻,使得$△ PQC$的面积是$△ ABC$面积的$\dfrac{1}{6}$?若存在,求$t$的值;若不存在,请说明理由.

9. 因为$∠ ACB=90°$,$AB=10$ cm,$BC=8$ cm,所以$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=6$ cm,所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC=24\ \mathrm{cm}^2$. 由题意,得 $AP=2t$ cm,$CQ=t$ cm. 因为 $8÷1=8$(s),所以 $0≤ t≤8$. 分类讨论如下:① 当 $0≤ t≤3$ 时,点 $P$ 在线段 $AC$ 上,则 $CP=AC-AP=(6-2t)$ cm,所以 $S_{△ PQC}=\dfrac{1}{2}CP· CQ=(-t^2+3t)\mathrm{cm}^2$. 当 $S_{△ PQC}=\dfrac{1}{6}S_{△ ABC}$ 时,$-t^2+3t=\dfrac{1}{6}×24$. 整理,得 $t^2-3t+4=0$,该方程无解;② 当 $3＜ t≤8$ 时,点 $P$ 在线段 $AC$ 的延长线上,则 $CP=AP-AC=(2t-6)$ cm,所以 $S_{△ PQC}=\dfrac{1}{2}CP· CQ=(t^2-3t)\mathrm{cm}^2$. 当 $S_{△ PQC}=\dfrac{1}{6}S_{△ ABC}$ 时,$t^2-3t=\dfrac{1}{6}×24$. 整理,得 $t^2-3t-4=0$,解得 $t_1=4$,$t_2=-1$(不合题意,舍去). 综上所述,存在某一时刻,使得$△ PQC$ 的面积是$△ ABC$ 面积的 $\dfrac{1}{6}$,此时 $t$ 的值为 4.

10. 如图所示的六边形是由甲、乙两个矩形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成的，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和.若丙的腰长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的腰长为 （）


A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$4-2\sqrt{3}$

10. D 解析:设丁的腰长为 $x$ $(0＜ x＜ 2)$,则 $S_丁=\dfrac{1}{2}x^2$. 因为丙的腰长为 2,所以 $S_丙=\dfrac{1}{2}×2×2=2$, $S_甲=S_乙=2x$. 因为 $S_甲+S_乙=S_丙+S_丁$,所以 $2x+2x=2+\dfrac{1}{2}x^2$. 整理,得 $x^2-8x+4=0$,解得 $x_1=4-2\sqrt{3}$,$x_2=4+2\sqrt{3}$(不合题意,舍去). 故丁的腰长为 $4-2\sqrt{3}$.

11. 新素养 应用意识 如图,在边长为 24 cm 的正方形纸片 $ABCD$ 上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒($A$,$B$,$C$,$D$ 四个顶点恰好重合于上底面的正中心).已知点 $E,F$ 在边 $AB$ 上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设$AE=BF=x\ \mathrm{cm}.$
(1) 若折成的包装盒恰好是一个正方体,求这个包装盒的体积；
(2) 若某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)为 $384\ \mathrm{cm}^2$,求 $x$ 的值.

11. (1) 因为 $AE=BF=x$ cm,所以折成的正方体包装盒的棱长为$\sqrt{2}x$ cm,所以 $EF=2x$ cm,所以 $AB=AE+EF+BF=4x$ cm. 又 $AB=24$ cm,所以 $4x=24$,解得 $x=6$,则这个包装盒的棱长为 $6\sqrt{2}$ cm,所以这个包装盒的体积为 $(6\sqrt{2})^3=432\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^3)$.
(2) 设包装盒的底面边长为 $y$ cm,高为 $h$ cm,表面积(不含下底面)为 $S\ \mathrm{cm}^2$,则 $y=\sqrt{2}\ x$,$h=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(24-2x)=12\sqrt{2}-\sqrt{2}x$, 所以 $S=y^2+4yh=2x^2+4\sqrt{2}x(12\sqrt{2}-\sqrt{2}x)=-6x^2+96x$. 当 $S=384$ 时,$-6x^2+96x=384$. 整理,得 $x^2-16x+64=0$,解得 $x_1=x_2=8$.