1. (河南自主招生)如图(1),在长方形 $ABCD$ 中,动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A\to D\to C$ 方向运动到点$C$ 停止,动点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿 $C\to A$ 方向运动到点 $A$ 停止,若点 $P,Q$ 同时出发,点 $P$ 的速度为 $2\ \mathrm{cm/s}$,点 $Q$ 的速度为 $1\ \mathrm{cm/s}$,设运动时间为 $x\ \mathrm{s},AP-CQ=y\ \mathrm{cm},y$ 与 $x$ 的函数关系图象如图(2)所示,则 $AC$ 的长为().


A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$9\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$14\ \mathrm{cm}$

根据题意,结合函数图象可知，
当$0≤ x＜4$时,点 $P$ 在 $AD$ 上运动；
当 $x=4$ 时,点 $P$ 运动到点 $D$，
即 $AD=2×4=8(\mathrm{cm})$；
当 $4＜x＜7$ 时,点 $P$ 在 $DC$ 上运动；
当 $x=7$ 时,点 $P$ 运动到点 $C$，
即 $CD=2×7-8=6(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AD=8\ \mathrm{cm}$,$CD=6\ \mathrm{cm}$,则 $AC=10\ \mathrm{cm}$。故选 C。

2. 如图,将含$45^{\circ }$角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中,其中点$A(-2,0),B(0,$1),则直线 BC 的函数表达式为.

如图,过点 $C$ 作 $CD⊥ x$ 轴于点 $D$。
$\because ∠ CAB=90°$，
$\therefore ∠ DAC+∠ BAO=∠ BAO+∠ ABO=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ABO$。
在$△ AOB$ 和$△ CDA$ 中，
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CDA,\\∠ ABO=∠ CAD,\\AB=CA,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ CDA(\mathrm{AAS})$。
$\because A(-2,0),B(0,1),\therefore AD=BO=1,CD=AO=2$，
$\therefore OD=OA+AD=3,\therefore C(-3,2)$。
设直线 $BC$ 的函数表达式为 $y=kx+b$，
$\therefore\begin{cases}-3k+b=2,\\b=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{3},\\b=1,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $BC$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x+1$。

归纳总结 本题主要考查待定系数法及全等三角形的判定和性质,构造全等三角形求得点 $C$ 的坐标是解题的关键。

3. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 4,动点 $E$ 从点$A$ 出发,以每秒 2 个单位的速度沿 $A \to D \to A$运动,动点 $G$ 从点 $A$ 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 $A \to B$ 运动,当有一个点到达终点时,另一点随之也停止运动. 过点 $G$ 作 $FG ⊥ AB$交 $AC$ 于点 $F$. 设运动时间为 $t$ (单位: 秒).以 $FG$ 为一直角边向右作等腰直角三角形$FGH$,$△ FGH$ 与正方形 $ABCD$ 重叠部分的面积为 $S$.

(1) 当 $t=1.5$ 时,$S=$; 当 $t=3$ 时,$S=$.
(2) 在如图所示的网格坐标系中,设 $DE=y_1$,$AG=y_2$,画出 $y_1$ 与 $y_2$ 关于 $t$ 的函数图象.

(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是边长为 4 的正方形,$\therefore AB=AD=4,∠ CAB=45°$。
$\because △ FGH$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ FGH=90°,FG=GH,∠ GFH=∠ GHF=45°$,则 $AG=FG=GH=t$。当 $t=1.5$ 时,如图(1),重叠部分面积$S=S_{△ FGH}=\dfrac{1}{2}FG· GH=\dfrac{9}{8}$；

当 $t=3$ 时,如图(2)，
$\because AG=FG=GH=3,AB=4$，
$\therefore GB=AB-AG=1,BH=GH-GB=2$。
$\because ∠ PBH=90°,∠ H=45°,\therefore BH=BP=2$，
则重叠部分面积 $S=S_{\mathrm{梯形}PBGF}=\dfrac{1}{2}(PB+FG)· GB=\dfrac{1}{2}×(2+3)×1=\dfrac{5}{2}$。
(2)由题意知,点 $E$ 的运动路程为 $2t$，
如图(1),点 $E$ 从 $A$ 到 $D$,即 $0≤ t≤2$ 时,$DE=AD-AE=4-2t$,即 $y_1=4-2t$；
如图(2),点 $E$ 从点 $D$ 返回点 $A$,即 $2＜t≤4$ 时,$DE=2t-4$,即 $y_1=2t-4$，
$\therefore y_1=\begin{cases}4-2t(0≤ t≤2),\\2t-4(2＜t≤4);\end{cases}y_2=t(0≤ t≤4)$。
$\therefore y_1,y_2$ 关于 $t$ 的函数图象如图(3)所示：

4. 如图,把$\mathrm{Rt}△ ABC$放在平面直角坐标系内,其中$∠ CAB=90°$,$BC=10$,点$A,B$的坐标分别为$(2,0)$,$(8,0)$,将$△ ABC$沿$x$轴向右平移,当点$C$落在直线$y=x-5$上时,线段$BC$扫过的面积为().


A.80
B.88
C.96
D.100

$\because$ 点 $A,B$ 的坐标分别为$(2,0),(8,0)$，
$\therefore AB=6$。$\because ∠ CAB=90°,BC=10,\therefore CA=8$。
$\therefore$ 点 $C$ 的纵坐标为 8。
$\because$ 将$△ ABC$ 沿 $x$ 轴向右平移,当点 $C$ 落在直线 $y=x-5$ 上时,将 $y=8$ 代入,解得 $x=13$,即点 $C$ 向右平移了 $13-2=11$(个)单位长度，
$\therefore$ 线段 $BC$ 扫过的面积为 $11×8=88$。故选 B。

5. 数形结合思想 如图,在平面直角坐标系中,直线$AB$与$x$轴交于点$A(8,0)$,与$y$轴交于点$B(0,8)$,点$D$为$OA$延长线上一动点,以$BD$为直角边在其上方作等腰直角三角形$BDE$,连接$EA$.
(1)求证:$∠ EAD=∠ OAB$;
(2)求直线$EA$与$y$轴交点$F$的坐标.

精题详解

(1)如图(1),过点 $E$ 作 $EG⊥ x$ 轴于点 $G$。
$\because △ BDE$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ EGD=∠ DOB=∠ EDB=90°,ED=DB$，
$\therefore ∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°$，
$\therefore ∠1=∠3$。
在$△ EGD$ 和$△ DOB$ 中，$\begin{cases}∠ EGD=∠ DOB,\\∠1=∠3,\\ED=DB,\end{cases}$
$\therefore △ EGD≌△ DOB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore EG=DO,GD=OB$。
$\because A(8,0),B(0,8),\therefore OB=OA=8$，
$\therefore ∠ OAB=45°,GD=OA$，
$\therefore DO=DA+OA=DA+DG=AG$，
$\therefore EG=AG,\therefore ∠ EAG=∠ GEA=45°$，
$\therefore ∠ EAD=∠ OAB$。

(2)如图(2),延长 $EA$ 交 $y$ 轴于点 $F$。
$\because ∠ EAD=45°,\therefore ∠ OAF=45°$，
$\therefore OA=OF=8,\therefore$ 点 $F$ 的坐标为$(0,-8)$。
归纳总结 本题是一次函数综合题,主要考查了一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质,解本题的关键是作辅助线构造全等三角形。