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一、选择题
1.若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得同旁内角（
A.4对
B.8对
C.2对
D.16对
（第1题）
（第2题）
1.若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得同旁内角（
D
）.A.4对
B.8对
C.2对
D.16对
（第1题）（第2题）答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且在两条被截线内部的两个角互为同旁内角，每一组“两条直线被第三条直线所截”的三线结构中会产生2对同旁内角。我们可以用分类讨论的思路，按截线的不同分别统计所有符合条件的三线结构，最后累加所有结构对应的同旁内角对数即可，分类时要注意不重复、不遗漏。
【解析】
根据同旁内角的定义，每一组三线（两条被截线+一条截线）结构对应2对同旁内角，我们按截线分类统计：
1. 以AB为截线：与AB相交的直线有CD、EF、MN，从3条直线中任选2条作为被截线，共得3组三线结构，对应同旁内角：$3×2=6$对；
2. 以CD为截线：与CD相交的直线有AB、EF、MN，从3条直线中任选2条作为被截线，共得3组三线结构，对应同旁内角：$3×2=6$对；
3. 以EF为截线：与EF相交的直线有AB、CD，仅1组三线结构（AB、CD被EF所截），对应同旁内角：$1×2=2$对；
4. 以MN为截线：与MN相交的直线有AB、CD，仅1组三线结构（AB、CD被MN所截），对应同旁内角：$1×2=2$对；
总同旁内角对数为：$6+6+2+2=16$对。
【答案】
D
【知识点】
同旁内角的定义；三线八角；分类计数
【点评】
本题考查同旁内角的识别与计数，核心是掌握同旁内角的位置特征，通过按截线分类的方法计数能有效避免漏算或重复计算的问题。
【难度系数】
0.3
解题时首先要明确同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁、且在两条被截线内部的两个角互为同旁内角，每一组“两条直线被第三条直线所截”的三线结构中会产生2对同旁内角。我们可以用分类讨论的思路，按截线的不同分别统计所有符合条件的三线结构，最后累加所有结构对应的同旁内角对数即可，分类时要注意不重复、不遗漏。
【解析】
根据同旁内角的定义，每一组三线（两条被截线+一条截线）结构对应2对同旁内角，我们按截线分类统计：
1. 以AB为截线：与AB相交的直线有CD、EF、MN，从3条直线中任选2条作为被截线，共得3组三线结构，对应同旁内角：$3×2=6$对；
2. 以CD为截线：与CD相交的直线有AB、EF、MN，从3条直线中任选2条作为被截线，共得3组三线结构，对应同旁内角：$3×2=6$对；
3. 以EF为截线：与EF相交的直线有AB、CD，仅1组三线结构（AB、CD被EF所截），对应同旁内角：$1×2=2$对；
4. 以MN为截线：与MN相交的直线有AB、CD，仅1组三线结构（AB、CD被MN所截），对应同旁内角：$1×2=2$对；
总同旁内角对数为：$6+6+2+2=16$对。
【答案】
D
【知识点】
同旁内角的定义；三线八角；分类计数
【点评】
本题考查同旁内角的识别与计数，核心是掌握同旁内角的位置特征，通过按截线分类的方法计数能有效避免漏算或重复计算的问题。
【难度系数】
0.3
2.(北京市中学生数学竞赛)如图，$CD// BE$，则$∠ 2+∠ 3-∠ 1$等于(
A.$90°$
B.$120°$
C.$150°$
D.$180°$
D
).A.$90°$
B.$120°$
C.$150°$
D.$180°$
答案
2.D [解析]延长 DC 交 AB 于点 F. 由 CD//BE,得∠BFC=∠3. 则∠2−∠1=∠AFC=180°−∠BFC=180°−∠3. 所以∠2+∠3−∠1=180°. 故选 D.
解析
【分析】
本题要求∠2+∠3-∠1的度数，已知CD//BE，但三个角没有直接构成平行线间的三线八角关系，因此需要通过作辅助线建立角之间的联系。首先考虑延长DC交AB于点F，一方面可以利用平行线的性质将∠3转化为与之相等的同位角∠BFC，另一方面可以构造三角形外角，利用外角性质建立∠2、∠1和新生成的∠AFC的关系，再结合邻补角的性质进行等量代换，即可求出最终结果。
【解析】
解：延长DC交AB于点F。
∵ CD//BE，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠BFC = ∠3。
∵ ∠2是△AFC的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，
∴ ∠2 = ∠1 + ∠AFC，变形可得∠2 - ∠1 = ∠AFC。
又
∵ ∠AFC与∠BFC互为邻补角，
∴ ∠AFC = 180° - ∠BFC = 180° - ∠3。
将上式代入∠2 - ∠1 = ∠AFC，得∠2 - ∠1 = 180° - ∠3，
移项整理得：∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；邻补角的定义
【点评】
本题是平行线与三角形角的关系的综合应用题，解题的核心是合理构造辅助线，将分散的角通过平行线性质、外角性质进行转化，体现了几何学习中转化思想的应用，是角度计算类题目的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题要求∠2+∠3-∠1的度数，已知CD//BE，但三个角没有直接构成平行线间的三线八角关系，因此需要通过作辅助线建立角之间的联系。首先考虑延长DC交AB于点F，一方面可以利用平行线的性质将∠3转化为与之相等的同位角∠BFC，另一方面可以构造三角形外角，利用外角性质建立∠2、∠1和新生成的∠AFC的关系，再结合邻补角的性质进行等量代换，即可求出最终结果。
【解析】
解：延长DC交AB于点F。
∵ CD//BE，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠BFC = ∠3。
∵ ∠2是△AFC的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，
∴ ∠2 = ∠1 + ∠AFC，变形可得∠2 - ∠1 = ∠AFC。
又
∵ ∠AFC与∠BFC互为邻补角，
∴ ∠AFC = 180° - ∠BFC = 180° - ∠3。
将上式代入∠2 - ∠1 = ∠AFC，得∠2 - ∠1 = 180° - ∠3，
移项整理得：∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；邻补角的定义
【点评】
本题是平行线与三角形角的关系的综合应用题，解题的核心是合理构造辅助线，将分散的角通过平行线性质、外角性质进行转化，体现了几何学习中转化思想的应用，是角度计算类题目的典型考法。
【难度系数】
0.6
3.（“希望杯”全国数学邀请赛）如果$(a+b)^2 - (a - b)^2 = 4$，那么一定成立的是（
A.$a$是$b$的相反数
B.$a$是$-b$的相反数
C.$a$是$b$的倒数
D.$a$是$-b$的倒数
C
）。A.$a$是$b$的相反数
B.$a$是$-b$的相反数
C.$a$是$b$的倒数
D.$a$是$-b$的倒数
答案
3.C [解析]
∵$(a+b)^2-(a-b)^2=4$, 而$(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=4ab$,
∴$4ab=4$,则$ab=1$,故$a,b$互为倒数. 故选 C.
∵$(a+b)^2-(a-b)^2=4$, 而$(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=4ab$,
∴$4ab=4$,则$ab=1$,故$a,b$互为倒数. 故选 C.
解析
【分析】
拿到这道题，首先观察已知等式左边是两个完全平方的差，我们可以先利用完全平方公式分别将两个完全平方展开，再通过去括号、合并同类项对左边的式子进行化简，得到a和b的数量关系，最后结合相反数、倒数的定义判断选项即可。
【解析】
利用完全平方公式展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
将上述结果代入等式左边：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - (a - b)^2&=(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\\&=a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2\\&=4ab\end{aligned}$
结合已知条件$(a+b)^2 - (a - b)^2 = 4$，可得$4ab=4$，化简得$ab=1$。
根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，可知a是b的倒数。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，倒数的定义
【点评】
本题属于基础竞赛题型，核心考查完全平方公式的运算和倒数概念的理解，解题时需注意去括号的符号问题，正确化简得到a、b的乘积关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，首先观察已知等式左边是两个完全平方的差，我们可以先利用完全平方公式分别将两个完全平方展开，再通过去括号、合并同类项对左边的式子进行化简，得到a和b的数量关系，最后结合相反数、倒数的定义判断选项即可。
【解析】
利用完全平方公式展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
将上述结果代入等式左边：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - (a - b)^2&=(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\\&=a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2\\&=4ab\end{aligned}$
结合已知条件$(a+b)^2 - (a - b)^2 = 4$，可得$4ab=4$，化简得$ab=1$。
根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，可知a是b的倒数。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，倒数的定义
【点评】
本题属于基础竞赛题型，核心考查完全平方公式的运算和倒数概念的理解，解题时需注意去括号的符号问题，正确化简得到a、b的乘积关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.(全国初中数学联赛南昌市竞赛)直线a上有四个不同的点依次为点A,B,C,D,则到点A,B,C,D的距离之和最小的点(
A.可以是直线AD外的某一点
B.只是点B和点C
C.只是线段AD的中点
D.有无数个
D
).A.可以是直线AD外的某一点
B.只是点B和点C
C.只是线段AD的中点
D.有无数个
答案
4.D
解析
【分析】
要找到到A、B、C、D四点距离之和最小的点，我们可以将距离和拆分为两组分别分析：首先看点到A、D的距离和，再看点到B、C的距离和，结合“两点之间线段最短”的性质，分别找到两组距离和取最小值时的点的范围，再取两个范围的公共部分，就能得到距离和最小时的点的位置，最后结合选项判断即可。
【解析】
设所求的点为P，四点的距离和为$ PA + PB + PC + PD $，我们将其分组为$ (PA + PD) + (PB + PC) $：
1. 对于$ PA + PD $：根据两点之间线段最短，当点P在线段AD上时，$ PA + PD = AD $，为最小值；若P在直线AD外或线段AD外的直线上，都有$ PA + PD ＞ AD $。
2. 对于$ PB + PC $：同理，当点P在线段BC上时，$ PB + PC = BC $，为最小值；若P不在线段BC上，都有$ PB + PC ＞ BC $。
要让总距离和最小，需要同时满足上述两个条件，即点P在线段AD和线段BC的公共部分，也就是线段BC上。线段BC上有无数个点，因此满足条件的点有无数个。
逐一判断选项：
A. 直线AD外的点，$ PA + PD ＞ AD $，总距离和不是最小，错误；
B. 线段BC上的所有点都满足，不只是B和C点，错误；
C. 只有当AD中点在线段BC上时才满足，且不是只有中点，错误；
D. 线段BC上有无数个点，正确。
【答案】
D
【知识点】
两点之间线段最短；线段和最值问题
【点评】
本题解题的核心是将四个点的距离和合理分组，分别利用线段的性质求最小值，再通过找公共范围确定符合要求的点的位置，避免直接逐个点验证的误区。
【难度系数】
0.6
要找到到A、B、C、D四点距离之和最小的点，我们可以将距离和拆分为两组分别分析：首先看点到A、D的距离和，再看点到B、C的距离和，结合“两点之间线段最短”的性质，分别找到两组距离和取最小值时的点的范围，再取两个范围的公共部分，就能得到距离和最小时的点的位置，最后结合选项判断即可。
【解析】
设所求的点为P，四点的距离和为$ PA + PB + PC + PD $，我们将其分组为$ (PA + PD) + (PB + PC) $：
1. 对于$ PA + PD $：根据两点之间线段最短，当点P在线段AD上时，$ PA + PD = AD $，为最小值；若P在直线AD外或线段AD外的直线上，都有$ PA + PD ＞ AD $。
2. 对于$ PB + PC $：同理，当点P在线段BC上时，$ PB + PC = BC $，为最小值；若P不在线段BC上，都有$ PB + PC ＞ BC $。
要让总距离和最小，需要同时满足上述两个条件，即点P在线段AD和线段BC的公共部分，也就是线段BC上。线段BC上有无数个点，因此满足条件的点有无数个。
逐一判断选项：
A. 直线AD外的点，$ PA + PD ＞ AD $，总距离和不是最小，错误；
B. 线段BC上的所有点都满足，不只是B和C点，错误；
C. 只有当AD中点在线段BC上时才满足，且不是只有中点，错误；
D. 线段BC上有无数个点，正确。
【答案】
D
【知识点】
两点之间线段最短；线段和最值问题
【点评】
本题解题的核心是将四个点的距离和合理分组，分别利用线段的性质求最小值，再通过找公共范围确定符合要求的点的位置，避免直接逐个点验证的误区。
【难度系数】
0.6
5.在数轴上,坐标是整数的点称为“整点”.设数轴的单位长度是1 cm,若在这条数轴上随意画出一条长为2 025 cm的线段AB,则线段AB盖住的整点至少有(
A.2 023个
B.2 024个
C.2 025个
D.2 026个
C
).A.2 023个
B.2 024个
C.2 025个
D.2 026个
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先从短长度的线段找规律，再推广到2025cm的情况。首先明确问题是求线段盖住的“至少”多少个整点，所以需要分两种情况讨论：线段端点刚好在整点上、端点不在整点上，对比两种情况的整点数量，取更小的那个就是答案。我们可以先举例验证：1cm的线段，若端点不在整点，比如从0.2到1.2，只盖住1这1个整点；若端点在整点，比如从0到1，盖住0、1共2个整点，可见短长度线段最少盖住的整点数量等于线段长度，同理可推广到2025cm的线段。
【解析】
我们分两种情况讨论线段AB盖住的整点数量：
1. 当线段AB的端点恰好落在整点上时：设起点为整数a，则终点为$a+2025$，也是整数，此时盖住的整点为$a,a+1,a+2,\dots,a+2025$，共$2025+1=2026$个。
2. 当线段AB的端点不落在整点上时：设起点位于整数$k$和$k+1$之间（即$k＜\mathrm{起点}＜k+1$），则终点为$\mathrm{起点}+2025$，可得$k+2025＜\mathrm{终点}＜k+2026$，此时盖住的整点为$k+1,k+2,\dots,k+2025$，共2025个。
对比两种情况，线段AB盖住的整点至少有2025个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的认识；分类讨论思想；整点概念
【点评】
这道题属于数轴中的规律探究类问题，解题关键是根据线段端点是否在整点分类讨论，注意题干要求的是“至少”的情况，避免误算成最多的整点数量，通过举短长度线段的实例能帮助快速找到规律，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先从短长度的线段找规律，再推广到2025cm的情况。首先明确问题是求线段盖住的“至少”多少个整点，所以需要分两种情况讨论：线段端点刚好在整点上、端点不在整点上，对比两种情况的整点数量，取更小的那个就是答案。我们可以先举例验证：1cm的线段，若端点不在整点，比如从0.2到1.2，只盖住1这1个整点；若端点在整点，比如从0到1，盖住0、1共2个整点，可见短长度线段最少盖住的整点数量等于线段长度，同理可推广到2025cm的线段。
【解析】
我们分两种情况讨论线段AB盖住的整点数量：
1. 当线段AB的端点恰好落在整点上时：设起点为整数a，则终点为$a+2025$，也是整数，此时盖住的整点为$a,a+1,a+2,\dots,a+2025$，共$2025+1=2026$个。
2. 当线段AB的端点不落在整点上时：设起点位于整数$k$和$k+1$之间（即$k＜\mathrm{起点}＜k+1$），则终点为$\mathrm{起点}+2025$，可得$k+2025＜\mathrm{终点}＜k+2026$，此时盖住的整点为$k+1,k+2,\dots,k+2025$，共2025个。
对比两种情况，线段AB盖住的整点至少有2025个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的认识；分类讨论思想；整点概念
【点评】
这道题属于数轴中的规律探究类问题，解题关键是根据线段端点是否在整点分类讨论，注意题干要求的是“至少”的情况，避免误算成最多的整点数量，通过举短长度线段的实例能帮助快速找到规律，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
6. 平面上有5个点，其中恰有3点共线，则过每两点作直线，一共可以作
8
条直线。答案
6.8
解析
【分析】
解题思路：首先明确“两点确定一条直线”的基本性质，可通过两种思路求解：①排除法：先计算5个点无三点共线时的总直线数，再减去3点共线时多算的直线数；②分类计数法：按直线所经过的点的来源分类计算，再求和，注意不要重复或漏算。
排除法逻辑：无三点共线时，每点可和其余4个点连线，每条线会被两个点各算1次，除以2可得总条数；3点共线时，这3个点原本能连3条线，实际只能算1条，减去多算的部分就是实际结果。
分类法逻辑：分三类计数，第一类是共线3点所在的直线，第二类是共线点和非共线点的连线，第三类是非共线点之间的连线，三类相加即可。
【解析】
方法一：排除法
1. 若5个点没有任意3点共线，每两点确定1条直线：每个点可与其余4个点连线，共$5×4=20$次，每条直线被重复计算2次，因此总条数为$20÷2=10$条。
2. 已知有3个点共线，这3个点若不共线可连3条直线，实际仅能算1条，多计算了$3-1=2$条。
3. 实际直线总数：$10-2=8$条。
方法二：分类计数法
1. 共线的3个点确定1条直线；
2. 从共线的3个点中任取1个，与剩下的2个不共线的点分别连线，共$3×2=6$条直线，无重复；
3. 剩下的2个不共线的点之间确定1条直线；
4. 总直线数：$1+6+1=8$条。
【答案】
8
【知识点】
两点确定一条直线；分类计数思想
【点评】
本题是几何计数类基础题，核心是掌握两点确定一条直线的性质，解题时要注意三点共线的特殊情况，避免重复计数，用排除法或分类讨论法都能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确“两点确定一条直线”的基本性质，可通过两种思路求解：①排除法：先计算5个点无三点共线时的总直线数，再减去3点共线时多算的直线数；②分类计数法：按直线所经过的点的来源分类计算，再求和，注意不要重复或漏算。
排除法逻辑：无三点共线时，每点可和其余4个点连线，每条线会被两个点各算1次，除以2可得总条数；3点共线时，这3个点原本能连3条线，实际只能算1条，减去多算的部分就是实际结果。
分类法逻辑：分三类计数，第一类是共线3点所在的直线，第二类是共线点和非共线点的连线，第三类是非共线点之间的连线，三类相加即可。
【解析】
方法一：排除法
1. 若5个点没有任意3点共线，每两点确定1条直线：每个点可与其余4个点连线，共$5×4=20$次，每条直线被重复计算2次，因此总条数为$20÷2=10$条。
2. 已知有3个点共线，这3个点若不共线可连3条直线，实际仅能算1条，多计算了$3-1=2$条。
3. 实际直线总数：$10-2=8$条。
方法二：分类计数法
1. 共线的3个点确定1条直线；
2. 从共线的3个点中任取1个，与剩下的2个不共线的点分别连线，共$3×2=6$条直线，无重复；
3. 剩下的2个不共线的点之间确定1条直线；
4. 总直线数：$1+6+1=8$条。
【答案】
8
【知识点】
两点确定一条直线；分类计数思想
【点评】
本题是几何计数类基础题，核心是掌握两点确定一条直线的性质，解题时要注意三点共线的特殊情况，避免重复计数，用排除法或分类讨论法都能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
7.（我爱数学夏令营竞赛）若$\begin{cases}7a - 3b + 3c = 0, \\a - 4b - 3c = 0,\end{cases}$ $c≠0$，则$\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} =$ ______ 。
答案
7.$\frac{7}{9}$ [解析]由$\begin{cases}7a-3b=-3c,\\a-4b=3c,\end{cases}$得$\begin{cases}a=-\dfrac{21}{25}c,\\b=-\dfrac{24}{25}c.\end{cases}$
∴$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab}=\dfrac{7}{9}.$
∴$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab}=\dfrac{7}{9}.$
解析
【分析】
已知条件给出两个含a、b、c的三元一次方程，未知数个数比方程个数多1，无法直接求出三个未知数的具体值。结合$c≠0$的条件，我们可以把c当作常数，将方程组变形为关于a、b的二元一次方程组，求解得到用c表示的a、b的表达式，再代入所求分式，c会在约分后消去，即可算出最终结果。
【解析】
先对原方程组移项，将含c的项移到等号右侧，得到关于a、b的二元一次方程组：
$\begin{cases}7a - 3b = -3c&① \\a - 4b = 3c&② \end{cases}$
用代入消元法求解：由②得 $a = 4b + 3c$ ③，将③代入①：
$7(4b + 3c) - 3b = -3c$
展开计算得：$28b + 21c - 3b = -3c$
合并同类项得：$25b = -24c$
解得：$b = -\dfrac{24}{25}c$
将$b = -\dfrac{24}{25}c$代入③得：
$a = 4×(-\dfrac{24}{25}c) + 3c = -\dfrac{96}{25}c + \dfrac{75}{25}c = -\dfrac{21}{25}c$
将$a = -\dfrac{21}{25}c$、$b = -\dfrac{24}{25}c$代入$\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{ab}$：
分子：$a^2 + b^2 - c^2 = (-\dfrac{21}{25}c)^2 + (-\dfrac{24}{25}c)^2 - c^2 = \dfrac{441c^2}{625} + \dfrac{576c^2}{625} - \dfrac{625c^2}{625} = \dfrac{392c^2}{625}$
分母：$ab = (-\dfrac{21}{25}c)×(-\dfrac{24}{25}c) = \dfrac{504c^2}{625}$
所以原式$= \dfrac{\dfrac{392c^2}{625}}{\dfrac{504c^2}{625}} = \dfrac{392}{504} = \dfrac{7}{9}$
【答案】
$\dfrac{7}{9}$
【知识点】
二元一次方程组解法，代数式求值，分式约分
【点评】
本题是方程组与分式运算的综合题型，解题核心是在未知数个数多于方程个数时，将其中一个非零未知数作为参数表示其余未知数，代入目标式消参即可得到结果，解题时需要注意符号处理和约分的准确性。
【难度系数】
0.6
已知条件给出两个含a、b、c的三元一次方程，未知数个数比方程个数多1，无法直接求出三个未知数的具体值。结合$c≠0$的条件，我们可以把c当作常数，将方程组变形为关于a、b的二元一次方程组，求解得到用c表示的a、b的表达式，再代入所求分式，c会在约分后消去，即可算出最终结果。
【解析】
先对原方程组移项，将含c的项移到等号右侧，得到关于a、b的二元一次方程组：
$\begin{cases}7a - 3b = -3c&① \\a - 4b = 3c&② \end{cases}$
用代入消元法求解：由②得 $a = 4b + 3c$ ③，将③代入①：
$7(4b + 3c) - 3b = -3c$
展开计算得：$28b + 21c - 3b = -3c$
合并同类项得：$25b = -24c$
解得：$b = -\dfrac{24}{25}c$
将$b = -\dfrac{24}{25}c$代入③得：
$a = 4×(-\dfrac{24}{25}c) + 3c = -\dfrac{96}{25}c + \dfrac{75}{25}c = -\dfrac{21}{25}c$
将$a = -\dfrac{21}{25}c$、$b = -\dfrac{24}{25}c$代入$\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{ab}$：
分子：$a^2 + b^2 - c^2 = (-\dfrac{21}{25}c)^2 + (-\dfrac{24}{25}c)^2 - c^2 = \dfrac{441c^2}{625} + \dfrac{576c^2}{625} - \dfrac{625c^2}{625} = \dfrac{392c^2}{625}$
分母：$ab = (-\dfrac{21}{25}c)×(-\dfrac{24}{25}c) = \dfrac{504c^2}{625}$
所以原式$= \dfrac{\dfrac{392c^2}{625}}{\dfrac{504c^2}{625}} = \dfrac{392}{504} = \dfrac{7}{9}$
【答案】
$\dfrac{7}{9}$
【知识点】
二元一次方程组解法，代数式求值，分式约分
【点评】
本题是方程组与分式运算的综合题型，解题核心是在未知数个数多于方程个数时，将其中一个非零未知数作为参数表示其余未知数，代入目标式消参即可得到结果，解题时需要注意符号处理和约分的准确性。
【难度系数】
0.6
8.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是
$\dfrac{1}{4}$
。答案
8.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质思考：正方形是中心对称图形，对角线交点O是它的对称中心，过O的直线EF两侧的对应部分全等。我们可以先证明△AOE和△COF全等，将下方阴影三角形的面积等量替换为△AOE的面积，这样阴影部分的总面积就转化为△AOD的面积，而正方形对角线会把正方形分成4个面积相等的三角形，直接计算△AOD的面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为1，
∴$S_{正方形ABCD}=1×1=1$。
∵正方形对角线AC、BD交于点O，
∴$OA=OC$，$AD// BC$，$∠ OAE=∠ OCF$，
又
∵$∠ AOE=∠ COF$（对顶角相等），
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
∴阴影部分面积$=S_{△ EOD}+S_{△ COF}=S_{△ EOD}+S_{△ AOE}=S_{△ AOD}$。
∵正方形对角线将正方形分为4个面积相等的三角形，
∴$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形，面积转化
【点评】
本题通过全等三角形实现阴影部分面积的等量代换，将不规则的阴影面积转化为规则的三角形面积求解，是几何面积计算中常用的割补转化思路，解题的关键是利用正方形的中心对称性找到全等三角形。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形的性质思考：正方形是中心对称图形，对角线交点O是它的对称中心，过O的直线EF两侧的对应部分全等。我们可以先证明△AOE和△COF全等，将下方阴影三角形的面积等量替换为△AOE的面积，这样阴影部分的总面积就转化为△AOD的面积，而正方形对角线会把正方形分成4个面积相等的三角形，直接计算△AOD的面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为1，
∴$S_{正方形ABCD}=1×1=1$。
∵正方形对角线AC、BD交于点O，
∴$OA=OC$，$AD// BC$，$∠ OAE=∠ OCF$，
又
∵$∠ AOE=∠ COF$（对顶角相等），
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
∴阴影部分面积$=S_{△ EOD}+S_{△ COF}=S_{△ EOD}+S_{△ AOE}=S_{△ AOD}$。
∵正方形对角线将正方形分为4个面积相等的三角形，
∴$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形，面积转化
【点评】
本题通过全等三角形实现阴影部分面积的等量代换，将不规则的阴影面积转化为规则的三角形面积求解，是几何面积计算中常用的割补转化思路，解题的关键是利用正方形的中心对称性找到全等三角形。
【难度系数】
0.7
9.如图是一个正方体的平面展开图,若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等,则$z+y-x$的值为
-3
.答案
9.-3
解析
【分析】首先需要明确正方体展开图相对面的判断规律：同列或同行间隔一个面的两个面是相对面。先找到三组相对面，再根据“相对面的代数式值相等”列出方程，先求解只有x的方程得到x的值，再依次求出y、z的值，最后代入$z+y-x$计算结果即可。
【解析】第一步：判断相对面，列方程
① 面$3x+2$和面$5-6x$是相对面，可得：
$3x+2=5-6x$
移项合并同类项：$9x=3$，解得$x=\frac{1}{3}$。
② 面$x+y$和面$4x-3$是相对面，可得：
$x+y=4x-3$
将$x=\frac{1}{3}$代入：$\frac{1}{3}+y=4×\frac{1}{3}-3$
计算得：$\frac{1}{3}+y=-\frac{5}{3}$，解得$y=-2$。
③ 面$z-1$和面$7x+2y$是相对面，可得：
$z-1=7x+2y$
将$x=\frac{1}{3}、y=-2$代入：$z-1=7×\frac{1}{3}+2×(-2)$
计算得：$z-1=-\frac{5}{3}$，解得$z=-\frac{2}{3}$。
第二步：计算$z+y-x$
将$x=\frac{1}{3}、y=-2、z=-\frac{2}{3}$代入：
$z+y-x=-\frac{2}{3}+(-2)-\frac{1}{3}=-1-2=-3$
【答案】-3
【知识点】正方体展开图相对面判断、解一元一次方程、代数式求值
【点评】本题的易错点是找错正方体展开图的相对面，牢记相对面不相邻、间隔分布的规律就能正确列方程求解，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】0.65
【解析】第一步：判断相对面，列方程
① 面$3x+2$和面$5-6x$是相对面，可得：
$3x+2=5-6x$
移项合并同类项：$9x=3$，解得$x=\frac{1}{3}$。
② 面$x+y$和面$4x-3$是相对面，可得：
$x+y=4x-3$
将$x=\frac{1}{3}$代入：$\frac{1}{3}+y=4×\frac{1}{3}-3$
计算得：$\frac{1}{3}+y=-\frac{5}{3}$，解得$y=-2$。
③ 面$z-1$和面$7x+2y$是相对面，可得：
$z-1=7x+2y$
将$x=\frac{1}{3}、y=-2$代入：$z-1=7×\frac{1}{3}+2×(-2)$
计算得：$z-1=-\frac{5}{3}$，解得$z=-\frac{2}{3}$。
第二步：计算$z+y-x$
将$x=\frac{1}{3}、y=-2、z=-\frac{2}{3}$代入：
$z+y-x=-\frac{2}{3}+(-2)-\frac{1}{3}=-1-2=-3$
【答案】-3
【知识点】正方体展开图相对面判断、解一元一次方程、代数式求值
【点评】本题的易错点是找错正方体展开图的相对面，牢记相对面不相邻、间隔分布的规律就能正确列方程求解，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】0.65
10.（第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛）如图所示的立体图形由10个棱长为1的正方体木块搭成，这个立体图形的表面积为
34
。答案
10.34
解析
【分析】
要求棱长为1的正方体拼成的立体图形的表面积，我们可以采用视图法：每个小正方形面的面积为1，立体图形的表面积等于所有露在外面的面的面积之和，也就是六个方向（上、下、前、后、左、右）能看到的小正方形的总个数。其中相对的两个方向看到的小正方形数量相等，因此只需数出上、前、左三个方向的面数，分别乘2后求和即可，能避免重复或漏数。
【解析】
每个小正方体单个面的面积：$1×1=1$
1. 上下方向：从上面观察可看到6个小正方形，上下两面总面数为$6×2=12$；
2. 前后方向：从前面观察可看到5个小正方形，前后两面总面数为$5×2=10$；
3. 左右方向：从左面观察可看到6个小正方形，左右两面总面数为$6×2=12$；
总表面积为所有外露面的面积之和：$(12+10+12)×1=34$
【答案】
34
【知识点】
组合体表面积计算；三视图应用
【点评】
本题是组合体表面积的典型题型，解题核心是掌握视图法计数外露面的技巧，需要认真观察立体结构，避免数错不同方向的面数，能很好地锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.6
要求棱长为1的正方体拼成的立体图形的表面积，我们可以采用视图法：每个小正方形面的面积为1，立体图形的表面积等于所有露在外面的面的面积之和，也就是六个方向（上、下、前、后、左、右）能看到的小正方形的总个数。其中相对的两个方向看到的小正方形数量相等，因此只需数出上、前、左三个方向的面数，分别乘2后求和即可，能避免重复或漏数。
【解析】
每个小正方体单个面的面积：$1×1=1$
1. 上下方向：从上面观察可看到6个小正方形，上下两面总面数为$6×2=12$；
2. 前后方向：从前面观察可看到5个小正方形，前后两面总面数为$5×2=10$；
3. 左右方向：从左面观察可看到6个小正方形，左右两面总面数为$6×2=12$；
总表面积为所有外露面的面积之和：$(12+10+12)×1=34$
【答案】
34
【知识点】
组合体表面积计算；三视图应用
【点评】
本题是组合体表面积的典型题型，解题核心是掌握视图法计数外露面的技巧，需要认真观察立体结构，避免数错不同方向的面数，能很好地锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.6
11.如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F是边上的两点，AE=3 cm，AF=4 cm，在正方形的边界上再选一点P，使得△EFP的面积尽可能大，这个面积最大为
22
cm².答案
11.22 [解析]P与C重合时,△EFP 面积最大,此时$S_{△ EFP}=8×8-(8×4÷2+8×5÷2+4×3÷2)=22(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确△EFP的边EF长度是固定的，根据三角形面积公式，当底固定时，高越大，面积越大，因此只需找到正方形边界上到直线EF距离最远的点P即可。观察正方形的四个顶点，可知顶点C到EF的距离最远，因此点P与C重合时△EFP的面积最大。接下来用割补法计算面积：用正方形的总面积减去△EFP外的三个小三角形的面积，就能得到△EFP的最大面积。
【解析】
解：当点P与点C重合时，△EFP的面积最大。
已知正方形ABCD边长为8cm，AE=3cm，AF=4cm，因此：
$EB = AB - AE = 8 - 3 = 5\mathrm{cm}$，$DF = AD - AF = 8 - 4 = 4\mathrm{cm}$
根据割补法，此时△EFP的面积等于正方形面积减去周围三个小三角形的面积：
1. 正方形ABCD的面积：$S_{正方形}=8×8=64\mathrm{cm}^2$
2. $△ AEF$的面积：$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}× AE× AF=\frac{1}{2}×3×4=6\mathrm{cm}^2$
3. $△ EBC$的面积：$S_{△ EBC}=\frac{1}{2}× EB× BC=\frac{1}{2}×5×8=20\mathrm{cm}^2$
4. $△ DFC$的面积：$S_{△ DFC}=\frac{1}{2}× DF× DC=\frac{1}{2}×4×8=16\mathrm{cm}^2$
因此$△ EFP$的最大面积为：
$S_{△ EFP}=64-6-20-16=22\mathrm{cm}^2$
【答案】
22
【知识点】
三角形面积计算，正方形的性质，割补法求面积
【点评】
本题的解题关键是先根据“定底求最大面积即找最大高”的思路确定点P的位置，再利用割补法计算面积，兼顾了几何观察能力和面积计算能力的考察。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先明确△EFP的边EF长度是固定的，根据三角形面积公式，当底固定时，高越大，面积越大，因此只需找到正方形边界上到直线EF距离最远的点P即可。观察正方形的四个顶点，可知顶点C到EF的距离最远，因此点P与C重合时△EFP的面积最大。接下来用割补法计算面积：用正方形的总面积减去△EFP外的三个小三角形的面积，就能得到△EFP的最大面积。
【解析】
解：当点P与点C重合时，△EFP的面积最大。
已知正方形ABCD边长为8cm，AE=3cm，AF=4cm，因此：
$EB = AB - AE = 8 - 3 = 5\mathrm{cm}$，$DF = AD - AF = 8 - 4 = 4\mathrm{cm}$
根据割补法，此时△EFP的面积等于正方形面积减去周围三个小三角形的面积：
1. 正方形ABCD的面积：$S_{正方形}=8×8=64\mathrm{cm}^2$
2. $△ AEF$的面积：$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}× AE× AF=\frac{1}{2}×3×4=6\mathrm{cm}^2$
3. $△ EBC$的面积：$S_{△ EBC}=\frac{1}{2}× EB× BC=\frac{1}{2}×5×8=20\mathrm{cm}^2$
4. $△ DFC$的面积：$S_{△ DFC}=\frac{1}{2}× DF× DC=\frac{1}{2}×4×8=16\mathrm{cm}^2$
因此$△ EFP$的最大面积为：
$S_{△ EFP}=64-6-20-16=22\mathrm{cm}^2$
【答案】
22
【知识点】
三角形面积计算，正方形的性质，割补法求面积
【点评】
本题的解题关键是先根据“定底求最大面积即找最大高”的思路确定点P的位置，再利用割补法计算面积，兼顾了几何观察能力和面积计算能力的考察。
【难度系数】
0.5
