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三、解答题
12.5条直线相交，若有n个交点，则n可能的取值是多少？请画图说明。
12.5条直线相交，若有n个交点，则n可能的取值是多少？请画图说明。
答案
12. n 取值可为 0,1,4,5,6,7,8,9,10.
其中 n 取不到 2 和 3.
画图说明如图(图形表示方法不唯一):
解析
【分析】
要解决5条直线交点个数的可能取值问题，可按以下思路思考：
第一步先确定交点的最值：①最少交点：当所有直线互相平行时，没有交点，交点数最小为0；②最多交点：当任意两条直线都相交，且没有三条及以上直线交于同一点时，交点数最多，第1条直线和其余4条相交产生4个交点，第2条和剩下的3条相交新增3个不重复的交点，以此类推，总交点数为4+3+2+1=10个。
第二步逐一验证0到10之间的整数是否能取到：首先1是可行的，即5条直线交于同一点；接下来分析2和3：若要得到2个交点，要么分为两组平行线，此时交点数为两组直线数量的乘积，5条直线分两组，乘积最小为1×4=4，无法得到2；要么存在多条直线共点的情况，也无法仅产生2个交点，同理3个交点也无法构造得到；剩余4到10的整数，都可以通过调整直线平行、共点的情况构造得到，最终即可得到所有可能的n值。
【解析】
解：我们先确定5条直线交点的取值范围：
1. 最少交点：当5条直线互相平行时，没有交点，此时$n=0$；
2. 最多交点：当任意两条直线相交，且没有三条及以上直线交于同一点时，第1条直线与其余4条相交得4个交点，第2条与剩下3条相交新增3个不重复交点，依次累加，总交点数为4+3+2+1=10，此时$n=10$；
接下来验证中间值：
$n=1$：5条直线共同经过同一个点，此时仅1个交点，可行；
验证$n=2$、$n=3$：若构造2个交点，若为两组平行线，交点数为两组直线数的乘积，5条直线拆分的乘积最小为$1×4=4$，无法得到2或3；若存在多线共点的情况，也无法仅产生2或3个交点，因此2、3无法取到；
$n=4$到$n=9$：可通过调整直线平行、部分直线共点的方式构造出对应交点数，均可行。
对应的构造图形参考如下：
【答案】
n 取值可为 0,1,4,5,6,7,8,9,10，其中 n 取不到 2 和 3。
画图说明如图(图形表示方法不唯一):
【知识点】
直线相交交点规律、平行线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题属于直线相交的探究类问题，需要从交点的最值入手，通过分类讨论、逐一验证的方式排除不可能的取值，对逻辑推理能力和空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决5条直线交点个数的可能取值问题，可按以下思路思考：
第一步先确定交点的最值：①最少交点：当所有直线互相平行时，没有交点，交点数最小为0；②最多交点：当任意两条直线都相交，且没有三条及以上直线交于同一点时，交点数最多，第1条直线和其余4条相交产生4个交点，第2条和剩下的3条相交新增3个不重复的交点，以此类推，总交点数为4+3+2+1=10个。
第二步逐一验证0到10之间的整数是否能取到：首先1是可行的，即5条直线交于同一点；接下来分析2和3：若要得到2个交点，要么分为两组平行线，此时交点数为两组直线数量的乘积，5条直线分两组，乘积最小为1×4=4，无法得到2；要么存在多条直线共点的情况，也无法仅产生2个交点，同理3个交点也无法构造得到；剩余4到10的整数，都可以通过调整直线平行、共点的情况构造得到，最终即可得到所有可能的n值。
【解析】
解：我们先确定5条直线交点的取值范围：
1. 最少交点：当5条直线互相平行时，没有交点，此时$n=0$；
2. 最多交点：当任意两条直线相交，且没有三条及以上直线交于同一点时，第1条直线与其余4条相交得4个交点，第2条与剩下3条相交新增3个不重复交点，依次累加，总交点数为4+3+2+1=10，此时$n=10$；
接下来验证中间值：
$n=1$：5条直线共同经过同一个点，此时仅1个交点，可行；
验证$n=2$、$n=3$：若构造2个交点，若为两组平行线，交点数为两组直线数的乘积，5条直线拆分的乘积最小为$1×4=4$，无法得到2或3；若存在多线共点的情况，也无法仅产生2或3个交点，因此2、3无法取到；
$n=4$到$n=9$：可通过调整直线平行、部分直线共点的方式构造出对应交点数，均可行。
对应的构造图形参考如下：
【答案】
n 取值可为 0,1,4,5,6,7,8,9,10，其中 n 取不到 2 和 3。
画图说明如图(图形表示方法不唯一):
【知识点】
直线相交交点规律、平行线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题属于直线相交的探究类问题，需要从交点的最值入手，通过分类讨论、逐一验证的方式排除不可能的取值，对逻辑推理能力和空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 救灾指挥部将救灾物资装入34个集装箱：4 t的集装箱3个，3 t的集装箱4个，2.5 t的集装箱5个，1.5 t的集装箱10个，1 t的集装箱12个，那么至少需要多少辆载重量5 t的汽车才能一次将这些救灾物品运走？提出你的运输方案.
答案
13. 为了用载重量 5 t 的汽车将救灾物品一次运走,我们应将不同规格的集装箱进行有效组合,即尽量使每一辆汽车都能装满. 由题设可知,物资总重 63.5 t,而$12＜63.5÷5＜13$,由此可知,要把救灾物品一次运走,需要的汽车不能少于 13 辆. 于是我们提出如下设计方案:A 类:每辆装 4 t 集装箱 1 个和 1 t 集装箱 1 个,安排 3 辆汽车;B 类:每辆装 3 t 集装箱 1 个和 1 t 集装箱 2 个,安排 4 辆汽车;C 类:每辆装 2.5 t 集装箱 2 个,安排 2 辆汽车;D 类:每辆装 2.5 t,1.5 t,1 t 集装箱各 1 个,安排 1 辆汽车;E 类:每辆装 1.5 t 集装箱 3 个,安排 3 辆汽车,而$3+4+2+1+3=13$(辆). 故至少需要 13 辆载重量 5 t 的汽车才能一次将这些救灾物品运走.
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步先确定运输车辆的最小下限，先计算所有救灾物资的总重量，用总重量除以每辆车的最大载重量5t，若结果不是整数，向上取整就是车辆数的理论最小值；第二步验证这个最小值是否能实现，需要结合现有不同规格集装箱的数量，合理搭配组合，尽量让每辆车的载重接近或达到5t，不浪费运力，同时不超过各规格集装箱的总数量，若能搭配成功，这个理论最小值就是最终答案。
【解析】
1. 计算物资总重量：
总重量 = $4×3 + 3×4 + 2.5×5 + 1.5×10 + 1×12 = 12 + 12 + 12.5 + 15 + 12 = 63.5$（t）
2. 确定车辆数下限：
每辆车最多运5t，12辆车最多可运$12×5=60$（t），$60t＜63.5t$，因此12辆车无法运完，至少需要13辆车。
3. 设计13辆车的运输方案（所有集装箱刚好用完）：
A类：每辆装1个4t集装箱+1个1t集装箱，总载重$4+1=5$t，安排3辆，用完3个4t集装箱，消耗3个1t集装箱；
B类：每辆装1个3t集装箱+2个1t集装箱，总载重$3+1×2=5$t，安排4辆，用完4个3t集装箱，消耗8个1t集装箱；
剩余1t集装箱：$12-3-8=1$个；
C类：每辆装2个2.5t集装箱，总载重$2.5×2=5$t，安排2辆，消耗4个2.5t集装箱；
剩余2.5t集装箱：$5-4=1$个；
D类：装1个2.5t集装箱+1个1.5t集装箱+1个1t集装箱，总载重$2.5+1.5+1=5$t，安排1辆，用完剩余的1个2.5t和1个1t集装箱，消耗1个1.5t集装箱；
剩余1.5t集装箱：$10-1=9$个；
E类：每辆装3个1.5t集装箱，总载重$1.5×3=4.5$t＜5t，安排3辆，用完9个1.5t集装箱。
总车辆数：$3+4+2+1+3=13$辆，可运完全部物资。
【答案】
至少需要13辆载重量5t的汽车才能一次将这些救灾物品运走。运输方案如下：A类：每辆装4t集装箱1个和1t集装箱1个，安排3辆；B类：每辆装3t集装箱1个和1t集装箱2个，安排4辆；C类：每辆装2.5t集装箱2个，安排2辆；D类：每辆装2.5t、1.5t、1t集装箱各1个，安排1辆；E类：每辆装1.5t集装箱3个，安排3辆。
【知识点】
方案优化设计，四则运算应用，统筹组合
【点评】
本题属于生活中的统筹优化类问题，解题关键是先通过总重量确定车辆数的理论下限，再通过合理搭配不同规格的货物验证下限的可行性，既考查基础运算能力，也考查统筹规划的逻辑思维，和生活实际结合紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.3
解题思路分两步走：第一步先确定运输车辆的最小下限，先计算所有救灾物资的总重量，用总重量除以每辆车的最大载重量5t，若结果不是整数，向上取整就是车辆数的理论最小值；第二步验证这个最小值是否能实现，需要结合现有不同规格集装箱的数量，合理搭配组合，尽量让每辆车的载重接近或达到5t，不浪费运力，同时不超过各规格集装箱的总数量，若能搭配成功，这个理论最小值就是最终答案。
【解析】
1. 计算物资总重量：
总重量 = $4×3 + 3×4 + 2.5×5 + 1.5×10 + 1×12 = 12 + 12 + 12.5 + 15 + 12 = 63.5$（t）
2. 确定车辆数下限：
每辆车最多运5t，12辆车最多可运$12×5=60$（t），$60t＜63.5t$，因此12辆车无法运完，至少需要13辆车。
3. 设计13辆车的运输方案（所有集装箱刚好用完）：
A类：每辆装1个4t集装箱+1个1t集装箱，总载重$4+1=5$t，安排3辆，用完3个4t集装箱，消耗3个1t集装箱；
B类：每辆装1个3t集装箱+2个1t集装箱，总载重$3+1×2=5$t，安排4辆，用完4个3t集装箱，消耗8个1t集装箱；
剩余1t集装箱：$12-3-8=1$个；
C类：每辆装2个2.5t集装箱，总载重$2.5×2=5$t，安排2辆，消耗4个2.5t集装箱；
剩余2.5t集装箱：$5-4=1$个；
D类：装1个2.5t集装箱+1个1.5t集装箱+1个1t集装箱，总载重$2.5+1.5+1=5$t，安排1辆，用完剩余的1个2.5t和1个1t集装箱，消耗1个1.5t集装箱；
剩余1.5t集装箱：$10-1=9$个；
E类：每辆装3个1.5t集装箱，总载重$1.5×3=4.5$t＜5t，安排3辆，用完9个1.5t集装箱。
总车辆数：$3+4+2+1+3=13$辆，可运完全部物资。
【答案】
至少需要13辆载重量5t的汽车才能一次将这些救灾物品运走。运输方案如下：A类：每辆装4t集装箱1个和1t集装箱1个，安排3辆；B类：每辆装3t集装箱1个和1t集装箱2个，安排4辆；C类：每辆装2.5t集装箱2个，安排2辆；D类：每辆装2.5t、1.5t、1t集装箱各1个，安排1辆；E类：每辆装1.5t集装箱3个，安排3辆。
【知识点】
方案优化设计，四则运算应用，统筹组合
【点评】
本题属于生活中的统筹优化类问题，解题关键是先通过总重量确定车辆数的理论下限，再通过合理搭配不同规格的货物验证下限的可行性，既考查基础运算能力，也考查统筹规划的逻辑思维，和生活实际结合紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.3
14. 已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余。求证：$∠ 3=\frac{1}{2}(∠ 1-∠ 2)$。
答案
14.$\because ∠1+∠2=180°$,①
$∠3+∠2=90°$,②
∴由①$-2×$②,得$∠1-2∠3-∠2=0$,
即$2∠3=∠1-∠2$.
$\therefore ∠3=\dfrac{1}{2}(∠1-∠2).$
$∠3+∠2=90°$,②
∴由①$-2×$②,得$∠1-2∠3-∠2=0$,
即$2∠3=∠1-∠2$.
$\therefore ∠3=\dfrac{1}{2}(∠1-∠2).$
解析
【分析】
解题时首先要把题目中“互补”“互余”的文字描述转化为数学等式：互补的两个角和为180°，互余的两个角和为90°，得到两个包含∠1、∠2、∠3的等式后，观察待证结论没有常数项，因此我们可以通过对等式做代数变形消去常数，再整理即可推出要证明的关系式。
【解析】
证明：
$\because ∠1$和$∠2$互补，根据补角的定义可得：$∠1+∠2=180°$ ①
$\because ∠3$和$∠2$互余，根据余角的定义可得：$∠3+∠2=90°$ ②
用①减去2倍的②，得：
$∠1+∠2 - 2×(∠3+∠2)=180° - 2×90°$
化简得：$∠1-2∠3-∠2=0$
移项得：$2∠3=∠1-∠2$
两边同时除以2，得：$∠3=\frac{1}{2}(∠1-∠2)$，原式得证。
【答案】
$\because ∠1+∠2=180°$,①
$∠3+∠2=90°$,②
$\therefore$由①$-2×$②,得$∠1-2∠3-∠2=0$,
即$2∠3=∠1-∠2$.
$\therefore ∠3=\dfrac{1}{2}(∠1-∠2).$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，等式的性质
【点评】
本题属于几何入门的基础证明题，将几何的角的关系和代数等式变形结合考查，只要熟练掌握余角、补角的基本概念，会对等式做简单变形就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要把题目中“互补”“互余”的文字描述转化为数学等式：互补的两个角和为180°，互余的两个角和为90°，得到两个包含∠1、∠2、∠3的等式后，观察待证结论没有常数项，因此我们可以通过对等式做代数变形消去常数，再整理即可推出要证明的关系式。
【解析】
证明：
$\because ∠1$和$∠2$互补，根据补角的定义可得：$∠1+∠2=180°$ ①
$\because ∠3$和$∠2$互余，根据余角的定义可得：$∠3+∠2=90°$ ②
用①减去2倍的②，得：
$∠1+∠2 - 2×(∠3+∠2)=180° - 2×90°$
化简得：$∠1-2∠3-∠2=0$
移项得：$2∠3=∠1-∠2$
两边同时除以2，得：$∠3=\frac{1}{2}(∠1-∠2)$，原式得证。
【答案】
$\because ∠1+∠2=180°$,①
$∠3+∠2=90°$,②
$\therefore$由①$-2×$②,得$∠1-2∠3-∠2=0$,
即$2∠3=∠1-∠2$.
$\therefore ∠3=\dfrac{1}{2}(∠1-∠2).$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，等式的性质
【点评】
本题属于几何入门的基础证明题，将几何的角的关系和代数等式变形结合考查，只要熟练掌握余角、补角的基本概念，会对等式做简单变形就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
15.（重庆市初中数学竞赛）某校七年级的新生男、女同学的比例为8：7，一年后收转学生40名，男、女同学的比例变为17：15.到九年级时，原校有转学走的，又有新转学来的，统计知净增人数为10人，此时男、女同学的比例变为7：6.问该校在七年级时招收的新生中，各招了男、女同学多少名？（注：该校七年级新生不超过1000人）
答案
15. 设七年级时共收新生 15a 人,八年级时学生总数为 32b 人,九年级时学生总数为 13c 人,其中 a,b,c 均为整数.
由题意,得$\begin{cases}15a+40=32b,①\\32b+10=13c.②\end{cases}$
由②,得$c=\dfrac{2(16b+5)}{13}$,
则$(16b+5)$是 13 的倍数.
令$16b=13k+8$,即$8(2b-1)=13k$,
则 k 是 8 的倍数,且为奇数倍.
当$k=8×1$时,$b=7$,代入①,得$32×7-40=184$,184 不是 15 的倍数,舍去;
当$k=8×3$时,$b=20$,代入①,得$32×20-40=600$,600 是 15 的倍数;
当$k=8×5$时,$b=33$,代入①,得$32×33-40=1016＞1000$,且 1016 不是 15 的倍数,舍去.
综上所述,该校在七年级时招收新生 600 人,其中男生$600×\dfrac{8}{15}=320$(名),女生$600-320=280$(名).
由题意,得$\begin{cases}15a+40=32b,①\\32b+10=13c.②\end{cases}$
由②,得$c=\dfrac{2(16b+5)}{13}$,
则$(16b+5)$是 13 的倍数.
令$16b=13k+8$,即$8(2b-1)=13k$,
则 k 是 8 的倍数,且为奇数倍.
当$k=8×1$时,$b=7$,代入①,得$32×7-40=184$,184 不是 15 的倍数,舍去;
当$k=8×3$时,$b=20$,代入①,得$32×20-40=600$,600 是 15 的倍数;
当$k=8×5$时,$b=33$,代入①,得$32×33-40=1016＞1000$,且 1016 不是 15 的倍数,舍去.
综上所述,该校在七年级时招收新生 600 人,其中男生$600×\dfrac{8}{15}=320$(名),女生$600-320=280$(名).
解析
【分析】
首先观察题目中三个阶段的男女比例均为最简整数比，因此各阶段总人数分别是对应比例总和的整数倍：七年级男女比8:7，总人数为8+7=15的倍数；八年级男女比17:15，总人数为17+15=32的倍数；九年级男女比7:6，总人数为7+6=13的倍数。我们可以通过设份数的方式表示各阶段总人数，再根据人数变化的等量关系列出方程，结合整数整除的性质和七年级新生不超过1000人的限制条件，筛选出符合要求的整数解，最后计算男女各自的人数。
【解析】
设七年级时共收新生15a人，八年级学生总数为32b人，九年级学生总数为13c人，其中a、b、c均为正整数。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}15a + 40 = 32b \quad ①\\32b + 10 = 13c \quad ②\end{cases}$
整理②式得$c=\frac{32b + 10}{13}=\frac{2(16b + 5)}{13}$，因为c是整数，所以$16b + 5$必须是13的倍数，变形可得$8(2b-1)=13k$（k为正整数），由于8和13互质，因此$2b-1$是13的奇数倍，k是8的奇数倍。
接下来结合限制条件试值：
当k=8×1=8时，$2b-1=13$，解得$b=7$，代入①式得$15a=32×7 -40=184$，184不是15的倍数，舍去；
当k=8×3=24时，$2b-1=39$，解得$b=20$，代入①式得$15a=32×20 -40=600$，600是15的倍数，且600＜1000，符合要求；
当k=8×5=40时，$2b-1=65$，解得$b=33$，代入①式得$15a=32×33 -40=1016＞1000$，不符合七年级新生不超过1000人的条件，舍去。
因此七年级新生总人数为600人，男生人数为$600×\frac{8}{8+7}=320$名，女生人数为$600 - 320=280$名。
【答案】
招收男生320名，女生280名
【知识点】
比例的应用、整数的整除性、不定方程求解
【点评】
本题通过将比例关系转化为总人数的倍数特征，简化了未知数的设置，解题的核心是利用整除性质缩小未知数的取值范围，再结合题目给出的人数限制条件筛选出唯一符合要求的解，有效避免了盲目计算。
【难度系数】
0.3
首先观察题目中三个阶段的男女比例均为最简整数比，因此各阶段总人数分别是对应比例总和的整数倍：七年级男女比8:7，总人数为8+7=15的倍数；八年级男女比17:15，总人数为17+15=32的倍数；九年级男女比7:6，总人数为7+6=13的倍数。我们可以通过设份数的方式表示各阶段总人数，再根据人数变化的等量关系列出方程，结合整数整除的性质和七年级新生不超过1000人的限制条件，筛选出符合要求的整数解，最后计算男女各自的人数。
【解析】
设七年级时共收新生15a人，八年级学生总数为32b人，九年级学生总数为13c人，其中a、b、c均为正整数。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}15a + 40 = 32b \quad ①\\32b + 10 = 13c \quad ②\end{cases}$
整理②式得$c=\frac{32b + 10}{13}=\frac{2(16b + 5)}{13}$，因为c是整数，所以$16b + 5$必须是13的倍数，变形可得$8(2b-1)=13k$（k为正整数），由于8和13互质，因此$2b-1$是13的奇数倍，k是8的奇数倍。
接下来结合限制条件试值：
当k=8×1=8时，$2b-1=13$，解得$b=7$，代入①式得$15a=32×7 -40=184$，184不是15的倍数，舍去；
当k=8×3=24时，$2b-1=39$，解得$b=20$，代入①式得$15a=32×20 -40=600$，600是15的倍数，且600＜1000，符合要求；
当k=8×5=40时，$2b-1=65$，解得$b=33$，代入①式得$15a=32×33 -40=1016＞1000$，不符合七年级新生不超过1000人的条件，舍去。
因此七年级新生总人数为600人，男生人数为$600×\frac{8}{8+7}=320$名，女生人数为$600 - 320=280$名。
【答案】
招收男生320名，女生280名
【知识点】
比例的应用、整数的整除性、不定方程求解
【点评】
本题通过将比例关系转化为总人数的倍数特征，简化了未知数的设置，解题的核心是利用整除性质缩小未知数的取值范围，再结合题目给出的人数限制条件筛选出唯一符合要求的解，有效避免了盲目计算。
【难度系数】
0.3
16. 传统文化 中国结 如图是一个在$19×16$的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积。
答案
16. 图略.$S_{\mathrm{阴影}}=2×16×2=64.$
解析
【分析】
首先观察图形的对称性，可判断该“中国结”是轴对称图形，沿着过最上端圆形中心、最下端十字吊坠中心的竖直直线对折，直线两侧的部分可完全重合，这条直线就是对称轴。求阴影面积时，直接拆分计算每个零散阴影的面积较为繁琐，可利用轴对称的性质，结合割补法将零散的阴影拼接为规则图形，再结合点阵的间距参数计算面积即可。
【解析】
1. 画对称轴：过图形最上方圆形的中心与最下方十字形端点的竖直直线即为该图形的对称轴，画图略。
2. 计算阴影面积：已知点阵每行、每列的间距都为1，结合轴对称性质用割补法拼接阴影后，可列式计算面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=2×16×2=64$
【答案】
对称轴为过图形上下两端中心的竖直直线（图略），阴影部分面积为$\boxed{64}$
【知识点】
轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题结合中国传统的中国结元素出题，既考查了轴对称图形的识别和相关性质，也考查了网格中不规则图形面积的计算方法，解题核心是利用转化思想将不规则阴影转化为规则图形计算，有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
首先观察图形的对称性，可判断该“中国结”是轴对称图形，沿着过最上端圆形中心、最下端十字吊坠中心的竖直直线对折，直线两侧的部分可完全重合，这条直线就是对称轴。求阴影面积时，直接拆分计算每个零散阴影的面积较为繁琐，可利用轴对称的性质，结合割补法将零散的阴影拼接为规则图形，再结合点阵的间距参数计算面积即可。
【解析】
1. 画对称轴：过图形最上方圆形的中心与最下方十字形端点的竖直直线即为该图形的对称轴，画图略。
2. 计算阴影面积：已知点阵每行、每列的间距都为1，结合轴对称性质用割补法拼接阴影后，可列式计算面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=2×16×2=64$
【答案】
对称轴为过图形上下两端中心的竖直直线（图略），阴影部分面积为$\boxed{64}$
【知识点】
轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题结合中国传统的中国结元素出题，既考查了轴对称图形的识别和相关性质，也考查了网格中不规则图形面积的计算方法，解题核心是利用转化思想将不规则阴影转化为规则图形计算，有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
17.某一出租车的车费起点2 km是5元，往后每增加1 km车费增加2元.现从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元.如果从甲地到乙地先步行800 m，然后乘车也是35元.
则从甲、乙两地中点到乙地需支付车费多少元？
则从甲、乙两地中点到乙地需支付车费多少元？
答案
17. 设甲、乙两地距离 x km,需车费 y 元,n 为增加 1 km 的次数,则$y=5+2n$. ①
因为$y=35$元,则$35=5+2n$,解得$n=15$.
依题意,得$2+14＜x≤2+15$,
即$16＜x≤17$.
又乘车$(x-0.8)\mathrm{km}$所用车费也是 35 元,则$16＜x-0.8≤17$,即$16.8＜x≤17.8$.
所以$16.8＜x≤17$,则$8.4＜\dfrac{x}{2}≤8.5$.
因为$8.4-2=6.4＜7$,$8.5-2=6.5＜7$,
所以$n=7$代入①,得$y=19$. 故从甲、乙两地中点到乙地需支付车费 19 元.
因为$y=35$元,则$35=5+2n$,解得$n=15$.
依题意,得$2+14＜x≤2+15$,
即$16＜x≤17$.
又乘车$(x-0.8)\mathrm{km}$所用车费也是 35 元,则$16＜x-0.8≤17$,即$16.8＜x≤17.8$.
所以$16.8＜x≤17$,则$8.4＜\dfrac{x}{2}≤8.5$.
因为$8.4-2=6.4＜7$,$8.5-2=6.5＜7$,
所以$n=7$代入①,得$y=19$. 故从甲、乙两地中点到乙地需支付车费 19 元.
解析
【分析】
解决本题首先要明确出租车分段计费规则：起步2公里收5元，超过2公里后每增加1公里加收2元，不足1公里按1公里计费。第一步先根据总车费35元，算出超出起步价的费用对应的超出公里数，得到总路程的初步范围；第二步结合“步行800米后乘车仍付35元”的条件，得到步行后剩余路程的计费范围，进一步缩小甲乙两地总路程的取值区间；最后算出两地中点到乙地的路程范围，按计费规则计算车费即可。
【解析】
设甲、乙两地距离为$ x $ km，对应车费为$ y $元，超出2公里后增加1 km的次数为$ n $，则车费计算公式为：
$ y=5+2n $ ①
已知总车费$ y=35 $元，代入①得：
$ 35=5+2n $，解得$ n=15 $。
根据计费规则，当$ n=15 $时，总路程满足：
$ 2+14 ＜ x ≤ 2+15 $，即$ 16 ＜ x ≤ 17 $
又因为步行800m（即0.8km）后乘车仍付35元，说明乘车路程$ (x-0.8) $km同样对应$ n=15 $，因此：
$ 16 ＜ x-0.8 ≤ 17 $，解得$ 16.8 ＜ x ≤ 17.8 $
取两个不等式的交集，得甲乙两地总路程范围：$ 16.8 ＜ x ≤ 17 $
那么甲乙两地中点到乙地的距离为$ \frac{x}{2} $，即：
$ 8.4 ＜ \frac{x}{2} ≤ 8.5 $
计算超出起步2公里的距离：$ 8.4-2=6.4 \mathrm{km} $，$ 8.5-2=6.5 \mathrm{km} $，两个值均大于6km、小于7km，按计费规则超出部分按7km计算，即$ n=7 $。
代入①得：$ y=5+2×7=19 $。
【答案】
19元
【知识点】
1.分段计费问题 2.一元一次不等式的应用 3.实际问题取值分析
【点评】
这道题属于分段计费的实际应用问题，解题核心是理解车费与路程的对应关系：相同车费对应的路程是左开右闭的区间，需要通过两个车费相同的条件缩小总路程的范围，再结合计费的“进一规则”计算最终车费，很好地考查了学生将实际问题转化为数学不等式的能力。
【难度系数】
0.3
解决本题首先要明确出租车分段计费规则：起步2公里收5元，超过2公里后每增加1公里加收2元，不足1公里按1公里计费。第一步先根据总车费35元，算出超出起步价的费用对应的超出公里数，得到总路程的初步范围；第二步结合“步行800米后乘车仍付35元”的条件，得到步行后剩余路程的计费范围，进一步缩小甲乙两地总路程的取值区间；最后算出两地中点到乙地的路程范围，按计费规则计算车费即可。
【解析】
设甲、乙两地距离为$ x $ km，对应车费为$ y $元，超出2公里后增加1 km的次数为$ n $，则车费计算公式为：
$ y=5+2n $ ①
已知总车费$ y=35 $元，代入①得：
$ 35=5+2n $，解得$ n=15 $。
根据计费规则，当$ n=15 $时，总路程满足：
$ 2+14 ＜ x ≤ 2+15 $，即$ 16 ＜ x ≤ 17 $
又因为步行800m（即0.8km）后乘车仍付35元，说明乘车路程$ (x-0.8) $km同样对应$ n=15 $，因此：
$ 16 ＜ x-0.8 ≤ 17 $，解得$ 16.8 ＜ x ≤ 17.8 $
取两个不等式的交集，得甲乙两地总路程范围：$ 16.8 ＜ x ≤ 17 $
那么甲乙两地中点到乙地的距离为$ \frac{x}{2} $，即：
$ 8.4 ＜ \frac{x}{2} ≤ 8.5 $
计算超出起步2公里的距离：$ 8.4-2=6.4 \mathrm{km} $，$ 8.5-2=6.5 \mathrm{km} $，两个值均大于6km、小于7km，按计费规则超出部分按7km计算，即$ n=7 $。
代入①得：$ y=5+2×7=19 $。
【答案】
19元
【知识点】
1.分段计费问题 2.一元一次不等式的应用 3.实际问题取值分析
【点评】
这道题属于分段计费的实际应用问题，解题核心是理解车费与路程的对应关系：相同车费对应的路程是左开右闭的区间，需要通过两个车费相同的条件缩小总路程的范围，再结合计费的“进一规则”计算最终车费，很好地考查了学生将实际问题转化为数学不等式的能力。
【难度系数】
0.3
