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18.东东和川川两人同时从A，B两地相向而行，川川骑自行车，东东步行，出发后30 min在$P_1$处相遇；然后川川和东东继续前进，川川到达A地后马上折回向B地骑行，从$P_1$起30 min后，川川又在$P_2$处追上东东，此后两人继续前进，川川从B地再返回A地的路上在$P_3$处与东东第三次相遇.求证：$P_1$，$P_2$，$P_3$是AB的四等分点.
答案
18. 东东从 A 到$P_1$用了 30 min,由$P_1$到$P_2$也用了 30 min,所以$AP_1=P_1P_2$. 因为川川从$P_1$到 A,再到$P_2$也用了 30 min,且$P_1A+AP_2=3AP_1$,所以川川的速度是东东的 3 倍,所以$BP_1=3AP_1$,即$BP_2+P_1P_2=3AP_1$,$BP_2=2AP_1=AP_2$,所以$P_2$为 AB 的中点. 又$P_2B+BP_3=3P_2P_3$,所以$P_3$为$P_2B$的中点. 综上,$P_1,P_2,P_3$为 AB 的四等分点.
解析
【分析】
解题时首先抓住“每次运动间隔均为30分钟”的核心条件，先分析东东的运动：匀速运动时相同时间走过的路程相等，可得到$AP_1=P_1P_2$；再分析川川在相同30分钟内的运动路程，对比东东的路程得到两人的速度比，再结合后续追及、相遇的路程关系，依次推导$P_2$、$P_3$的位置，最终验证三个点均为AB的四等分点。
【解析】
1. 分析东东的路程关系：东东从A到$P_1$用时30min，从$P_1$到$P_2$也用时30min，由于东东匀速步行，相同时间走过的路程相等，因此$AP_1=P_1P_2$。
2. 推导两人速度比：川川从$P_1$到A，再折返到$P_2$同样用时30min，这段时间川川走的路程为$P_1A+AP_2$。结合$AP_1=P_1P_2$，可得$AP_2=AP_1+P_1P_2=2AP_1$，因此川川走的总路程为$AP_1+2AP_1=3AP_1$。相同时间内川川的路程是东东的3倍，因此川川的速度是东东的3倍。
3. 推导$P_2$的位置：第一次相遇时两人均走了30min，因此川川走的$BP_1=3AP_1$。又因为$BP_1=BP_2+P_1P_2=BP_2+AP_1$，代入得$BP_2+AP_1=3AP_1$，即$BP_2=2AP_1$，而$AP_2=2AP_1$，因此$AP_2=BP_2$，$P_2$为AB的中点，总路程$AB=4AP_1$，即$AP_1=\frac{1}{4}AB$。
4. 推导$P_3$的位置：从$P_2$到第三次相遇于$P_3$时，两人运动时间相同，川川路程是东东的3倍，即$P_2B+BP_3=3P_2P_3$。又因为$P_2B=P_2P_3+P_3B$，代入得$P_2P_3+P_3B+BP_3=3P_2P_3$，整理得$P_2P_3=P_3B=\frac{1}{2}P_2B=\frac{1}{4}AB$。
综上$AP_1=P_1P_2=P_2P_3=P_3B=\frac{1}{4}AB$，因此$P_1,P_2,P_3$是AB的四等分点。
【答案】
$P_1,P_2,P_3$是AB的四等分点，得证。
【知识点】
行程相遇与追及、线段等分判定、路程速度时间关系
【点评】
本题将行程问题与线段等分证明相结合，解题关键是抓住相同运动时间的条件推导速度比，再通过线段和差关系逐步验证各点位置，逻辑递进清晰，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先抓住“每次运动间隔均为30分钟”的核心条件，先分析东东的运动：匀速运动时相同时间走过的路程相等，可得到$AP_1=P_1P_2$；再分析川川在相同30分钟内的运动路程，对比东东的路程得到两人的速度比，再结合后续追及、相遇的路程关系，依次推导$P_2$、$P_3$的位置，最终验证三个点均为AB的四等分点。
【解析】
1. 分析东东的路程关系：东东从A到$P_1$用时30min，从$P_1$到$P_2$也用时30min，由于东东匀速步行，相同时间走过的路程相等，因此$AP_1=P_1P_2$。
2. 推导两人速度比：川川从$P_1$到A，再折返到$P_2$同样用时30min，这段时间川川走的路程为$P_1A+AP_2$。结合$AP_1=P_1P_2$，可得$AP_2=AP_1+P_1P_2=2AP_1$，因此川川走的总路程为$AP_1+2AP_1=3AP_1$。相同时间内川川的路程是东东的3倍，因此川川的速度是东东的3倍。
3. 推导$P_2$的位置：第一次相遇时两人均走了30min，因此川川走的$BP_1=3AP_1$。又因为$BP_1=BP_2+P_1P_2=BP_2+AP_1$，代入得$BP_2+AP_1=3AP_1$，即$BP_2=2AP_1$，而$AP_2=2AP_1$，因此$AP_2=BP_2$，$P_2$为AB的中点，总路程$AB=4AP_1$，即$AP_1=\frac{1}{4}AB$。
4. 推导$P_3$的位置：从$P_2$到第三次相遇于$P_3$时，两人运动时间相同，川川路程是东东的3倍，即$P_2B+BP_3=3P_2P_3$。又因为$P_2B=P_2P_3+P_3B$，代入得$P_2P_3+P_3B+BP_3=3P_2P_3$，整理得$P_2P_3=P_3B=\frac{1}{2}P_2B=\frac{1}{4}AB$。
综上$AP_1=P_1P_2=P_2P_3=P_3B=\frac{1}{4}AB$，因此$P_1,P_2,P_3$是AB的四等分点。
【答案】
$P_1,P_2,P_3$是AB的四等分点，得证。
【知识点】
行程相遇与追及、线段等分判定、路程速度时间关系
【点评】
本题将行程问题与线段等分证明相结合，解题关键是抓住相同运动时间的条件推导速度比，再通过线段和差关系逐步验证各点位置，逻辑递进清晰，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
19.(全国初中数学竞赛)8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机).其中一辆小汽车在距火车站15 km的地方出现故障,此时,距停止检票的时间还有42 min.这时,唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60 km/h,人步行的平均速度是5 km/h.试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.
答案
19. 方案一:当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人下车步行,另一辆车内的 4 人到火车站后,此车立即返回接步行的 4 个人到火车站. 设乘出现故障汽车的 4 个人步行的距离为 x km.
依题意,得$\dfrac{x}{5}=\dfrac{15+15-x}{60}$,解得$x=\dfrac{30}{13}$.
因此,这 8 个人全部到达火车站所需时间为$\dfrac{30}{13}÷5+(15-\dfrac{30}{13})÷60=\dfrac{35}{52}(\mathrm{h})=40\dfrac{5}{13}(\mathrm{min})＜42(\mathrm{min})$.
故此方案可行.
方案二:当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人先下车步行,另一辆车将车内的 4 个人送到某地方后,让他们下车步行,此车再立即返回接因汽车出现故障而步行的另外 4 个人,使得两批人员最后同时到达车站.
易知此方案两批人员步行的距离相同. 如图所示,D 为乘无故障汽车人员下车地点,C 为乘有故障汽车人员再次上车地点.
因此,设$AC=DB=y$,
依题意,得$\dfrac{y}{5}=\dfrac{15-y+15-2y}{60}$,解得$y=2$.
因此,这 8 个人同时到达火车站所需时间为$\dfrac{2}{5}+\dfrac{15-2}{60}=\dfrac{37}{60}(\mathrm{h})=37(\mathrm{min})＜42(\mathrm{min})$. 故此方案也可行.
解析
【分析】
要解决本题，需设计两种合理的人员运送方案，利用行程问题中“路程=速度×时间”的关系找到等量关系列方程，计算总用时后和42min比较即可判断方案是否可行。
第一种方案思路：让无故障小汽车先送车上4人直达火车站，同时故障车上的4人先步行，车到火车站后立刻返回接步行的4人再送往火车站，此时步行的4人行走的时间，与小汽车从故障点出发送第一批人到火车站再返回接到第二批人的时间相等，据此列方程求解。
第二种方案思路：无故障小汽车先送第一批人到途中某点，让第一批人下车步行前往火车站，车立刻返回接正在步行的第二批人，最终两批人同时到达火车站，该方案下两批人步行的路程相等，根据第二批人步行的时间与小汽车送第一批人到下车点、再返回接第二批人的总时间相等列方程求解即可，计算时注意统一单位。
【解析】
方案一：
当小汽车出现故障时，乘故障车的4人先下车步行，另一辆车送4人到火车站后，立即返回接步行的4人再送往火车站。
设乘故障车的4人步行的距离为$x\ \mathrm{km}$，这部分人步行的时间和小汽车送第一批人到火车站再返回接他们的总时间相等，小汽车该段时间行驶的路程为$(15+15-x)\ \mathrm{km}$，列方程：
$\dfrac{x}{5}=\dfrac{15+15-x}{60}$
解得$x=\dfrac{30}{13}$。
8人全部到火车站的总时间为：
$\dfrac{30}{13}÷5+(15-\dfrac{30}{13})÷60=\dfrac{35}{52}\ \mathrm{h}=40\dfrac{5}{13}\ \mathrm{min}＜42\ \mathrm{min}$
因此该方案可行。
---
方案二：
当小汽车出现故障时，乘故障车的4人先步行，另一辆车将车内4人送到途中某点后让他们下车步行，车立即返回接步行的另外4人，最终两批人同时到达火车站，该方案下两批人员步行距离相同。
如图，D为无故障车送第一批人的下车点，C为第二批人上车点，设$AC=DB=y$：
第二批人步行$y\ \mathrm{km}$的时间，等于小汽车从故障点到D点再返回C点的总时间，小汽车该段行驶路程为$(15-y+15-2y)\ \mathrm{km}$，列方程：
$\dfrac{y}{5}=\dfrac{15-y+15-2y}{60}$
解得$y=2$。
8人全部到火车站的总时间为：
$\dfrac{2}{5}+\dfrac{15-2}{60}=\dfrac{37}{60}\ \mathrm{h}=37\ \mathrm{min}＜42\ \mathrm{min}$
因此该方案也可行。
【答案】
19. 方案一:当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人下车步行,另一辆车内的 4 人到火车站后,此车立即返回接步行的 4 个人到火车站. 设乘出现故障汽车的 4 个人步行的距离为$x\ \mathrm{km}$.
依题意,得$\dfrac{x}{5}=\dfrac{15+15-x}{60}$,解得$x=\dfrac{30}{13}$.
因此,这 8 个人全部到达火车站所需时间为$\dfrac{30}{13}÷5+(15-\dfrac{30}{13})÷60=\dfrac{35}{52}(\mathrm{h})=40\dfrac{5}{13}(\mathrm{min})＜42(\mathrm{min})$.
故此方案可行.
方案二:当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人先下车步行,另一辆车将车内的 4 个人送到某地方后,让他们下车步行,此车再立即返回接因汽车出现故障而步行的另外 4 个人,使得两批人员最后同时到达车站.
易知此方案两批人员步行的距离相同. 如图所示,D 为乘无故障汽车人员下车地点,C 为乘有故障汽车人员再次上车地点.
因此,设$AC=DB=y$,
依题意,得$\dfrac{y}{5}=\dfrac{15-y+15-2y}{60}$,解得$y=2$.
因此,这 8 个人同时到达火车站所需时间为$\dfrac{2}{5}+\dfrac{15-2}{60}=\dfrac{37}{60}(\mathrm{h})=37(\mathrm{min})＜42(\mathrm{min})$. 故此方案也可行.
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；方案设计
【点评】
本题属于生活中的行程方案优化问题，解题核心是抓住不同方案中时间相等的等量关系建立方程，计算时要注意单位的统一，通过总用时和限制时间的对比判断方案是否可行，有效考查了逻辑分析能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需设计两种合理的人员运送方案，利用行程问题中“路程=速度×时间”的关系找到等量关系列方程，计算总用时后和42min比较即可判断方案是否可行。
第一种方案思路：让无故障小汽车先送车上4人直达火车站，同时故障车上的4人先步行，车到火车站后立刻返回接步行的4人再送往火车站，此时步行的4人行走的时间，与小汽车从故障点出发送第一批人到火车站再返回接到第二批人的时间相等，据此列方程求解。
第二种方案思路：无故障小汽车先送第一批人到途中某点，让第一批人下车步行前往火车站，车立刻返回接正在步行的第二批人，最终两批人同时到达火车站，该方案下两批人步行的路程相等，根据第二批人步行的时间与小汽车送第一批人到下车点、再返回接第二批人的总时间相等列方程求解即可，计算时注意统一单位。
【解析】
方案一：
当小汽车出现故障时，乘故障车的4人先下车步行，另一辆车送4人到火车站后，立即返回接步行的4人再送往火车站。
设乘故障车的4人步行的距离为$x\ \mathrm{km}$，这部分人步行的时间和小汽车送第一批人到火车站再返回接他们的总时间相等，小汽车该段时间行驶的路程为$(15+15-x)\ \mathrm{km}$，列方程：
$\dfrac{x}{5}=\dfrac{15+15-x}{60}$
解得$x=\dfrac{30}{13}$。
8人全部到火车站的总时间为：
$\dfrac{30}{13}÷5+(15-\dfrac{30}{13})÷60=\dfrac{35}{52}\ \mathrm{h}=40\dfrac{5}{13}\ \mathrm{min}＜42\ \mathrm{min}$
因此该方案可行。
---
方案二：
当小汽车出现故障时，乘故障车的4人先步行，另一辆车将车内4人送到途中某点后让他们下车步行，车立即返回接步行的另外4人，最终两批人同时到达火车站，该方案下两批人员步行距离相同。
如图，D为无故障车送第一批人的下车点，C为第二批人上车点，设$AC=DB=y$：
第二批人步行$y\ \mathrm{km}$的时间，等于小汽车从故障点到D点再返回C点的总时间，小汽车该段行驶路程为$(15-y+15-2y)\ \mathrm{km}$，列方程：
$\dfrac{y}{5}=\dfrac{15-y+15-2y}{60}$
解得$y=2$。
8人全部到火车站的总时间为：
$\dfrac{2}{5}+\dfrac{15-2}{60}=\dfrac{37}{60}\ \mathrm{h}=37\ \mathrm{min}＜42\ \mathrm{min}$
因此该方案也可行。
【答案】
19. 方案一:当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人下车步行,另一辆车内的 4 人到火车站后,此车立即返回接步行的 4 个人到火车站. 设乘出现故障汽车的 4 个人步行的距离为$x\ \mathrm{km}$.
依题意,得$\dfrac{x}{5}=\dfrac{15+15-x}{60}$,解得$x=\dfrac{30}{13}$.
因此,这 8 个人全部到达火车站所需时间为$\dfrac{30}{13}÷5+(15-\dfrac{30}{13})÷60=\dfrac{35}{52}(\mathrm{h})=40\dfrac{5}{13}(\mathrm{min})＜42(\mathrm{min})$.
故此方案可行.
方案二:当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人先下车步行,另一辆车将车内的 4 个人送到某地方后,让他们下车步行,此车再立即返回接因汽车出现故障而步行的另外 4 个人,使得两批人员最后同时到达车站.
易知此方案两批人员步行的距离相同. 如图所示,D 为乘无故障汽车人员下车地点,C 为乘有故障汽车人员再次上车地点.
因此,设$AC=DB=y$,
依题意,得$\dfrac{y}{5}=\dfrac{15-y+15-2y}{60}$,解得$y=2$.
因此,这 8 个人同时到达火车站所需时间为$\dfrac{2}{5}+\dfrac{15-2}{60}=\dfrac{37}{60}(\mathrm{h})=37(\mathrm{min})＜42(\mathrm{min})$. 故此方案也可行.
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；方案设计
【点评】
本题属于生活中的行程方案优化问题，解题核心是抓住不同方案中时间相等的等量关系建立方程，计算时要注意单位的统一，通过总用时和限制时间的对比判断方案是否可行，有效考查了逻辑分析能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.3
20.[全国初中数学竞赛(海南赛区)]某单位欲购买A，B两种电器.根据预算,共需资金15 750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2 300元;购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2 050元.
(1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元?
(2)若该单位购买A种电器不超过5件,则可购买B种电器至少多少件?
(3)为节省开支,该单位只购买A,B两种电器共6件,并知道获政府补贴资金不少于700元,自己出资金不超过4 000元,其中政府对A,B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案.
(1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元?
(2)若该单位购买A种电器不超过5件,则可购买B种电器至少多少件?
(3)为节省开支,该单位只购买A,B两种电器共6件,并知道获政府补贴资金不少于700元,自己出资金不超过4 000元,其中政府对A,B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案.
答案
20. (1)设购买一件 A 种电器和一件 B 种电器所需的资金分别为 a 元和 b 元.
由题意,得$\begin{cases}a+2b=2\ 300,\\2a+b=2\ 050,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=600,\\b=850.\end{cases}$
故购买一件 A 种电器和一件 B 种电器所需的资金分别为 600 元和 850 元.
(2)设该单位购买 A,B 两种电器分别为 m 件和 n 件,则$600m+850n=15\ 750$,
即$m=-\dfrac{17}{12}n+\dfrac{105}{4}$.
因为 A 种电器不超过 5 件,所以$-\dfrac{17}{12}n+\dfrac{105}{4}≤5$.
所以$n≥15$,即可购买 B 种电器至少 15 件.
(3)设购买 A 种电器 x 件,则购买 B 种电器为$(6-x)$件.
由题意,得
$\begin{cases}(600-100)x+(850-150)(6-x)≤4\ 000,\\100x+150(6-x)≥700,\end{cases}$
解得$1≤x≤4$.
因为 x 取整数,所以$x=1,2,3,4$. 即共有 4 种购买方案.
由题意,得$\begin{cases}a+2b=2\ 300,\\2a+b=2\ 050,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=600,\\b=850.\end{cases}$
故购买一件 A 种电器和一件 B 种电器所需的资金分别为 600 元和 850 元.
(2)设该单位购买 A,B 两种电器分别为 m 件和 n 件,则$600m+850n=15\ 750$,
即$m=-\dfrac{17}{12}n+\dfrac{105}{4}$.
因为 A 种电器不超过 5 件,所以$-\dfrac{17}{12}n+\dfrac{105}{4}≤5$.
所以$n≥15$,即可购买 B 种电器至少 15 件.
(3)设购买 A 种电器 x 件,则购买 B 种电器为$(6-x)$件.
由题意,得
$\begin{cases}(600-100)x+(850-150)(6-x)≤4\ 000,\\100x+150(6-x)≥700,\end{cases}$
解得$1≤x≤4$.
因为 x 取整数,所以$x=1,2,3,4$. 即共有 4 种购买方案.
解析
【分析】
(1) 第一问求两种电器的单价，题干给出两组购买组合的总费用，存在两个明确的等量关系，我们可设两个未知数列二元一次方程组，求解即可得到单价。
(2) 第二问已知总预算固定，且A种电器购买数量不超过5件，先根据总预算列出A、B购买数量的等量关系式，将A的数量用B的数量表示，再代入A数量的不等关系解不等式，结合购买数量为正整数的要求，即可得到B的最小购买量。
(3) 第三问已知总购买数量为6件，同时给出补贴最低标准和自付资金最高标准两个限制条件，设A的购买数量为x，B的数量即可用$(6-x)$表示，分别根据两个限制条件列不等式组成不等式组，求出x的取值范围，再结合x为非负整数的实际意义，统计符合条件的x的个数，就是购买方案的数量。
【解析】
(1) 设购买一件A种电器所需资金为a元，购买一件B种电器所需资金为b元。
由题意得：
$\begin{cases}a+2b=2300\\2a+b=2050\end{cases}$
解方程组：将第二个方程乘2得$4a+2b=4100$，减去第一个方程得$3a=1800$，解得$a=600$，将$a=600$代入$a+2b=2300$，解得$b=850$。
(2) 设该单位购买A种电器m件，购买B种电器n件。
根据总预算为15750元可得：$600m+850n=15750$，整理得$m=-\dfrac{17}{12}n+\dfrac{105}{4}$。
已知A种电器不超过5件，即$m≤5$，代入得：
$-\dfrac{17}{12}n+\dfrac{105}{4}≤5$
去分母得$-17n+315≤60$，移项化简得$n≥15$。
(3) 设购买A种电器x件，则购买B种电器$(6-x)$件。
由题意得不等式组：
$\begin{cases}(600-100)x+(850-150)(6-x)≤4000\\100x+150(6-x)≥700\end{cases}$
解第一个不等式：$500x+4200-700x≤4000$，化简得$x≥1$；
解第二个不等式：$100x+900-150x≥700$，化简得$x≤4$。
所以不等式组的解集为$1≤ x≤4$，x为整数，因此x可取1、2、3、4，共4种取值。
【答案】
(1) 购买一件A种电器需600元，购买一件B种电器需850元；
(2) 可购买B种电器至少15件；
(3) 共有4种购买方案。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的实际应用题型，重点考查学生提取题干中等量关系、不等关系的能力，解题时需注意购买数量为正整数的实际要求，第三问的方案设计需要结合解集筛选符合条件的整数解，是竞赛中常见的基础应用型考题。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问求两种电器的单价，题干给出两组购买组合的总费用，存在两个明确的等量关系，我们可设两个未知数列二元一次方程组，求解即可得到单价。
(2) 第二问已知总预算固定，且A种电器购买数量不超过5件，先根据总预算列出A、B购买数量的等量关系式，将A的数量用B的数量表示，再代入A数量的不等关系解不等式，结合购买数量为正整数的要求，即可得到B的最小购买量。
(3) 第三问已知总购买数量为6件，同时给出补贴最低标准和自付资金最高标准两个限制条件，设A的购买数量为x，B的数量即可用$(6-x)$表示，分别根据两个限制条件列不等式组成不等式组，求出x的取值范围，再结合x为非负整数的实际意义，统计符合条件的x的个数，就是购买方案的数量。
【解析】
(1) 设购买一件A种电器所需资金为a元，购买一件B种电器所需资金为b元。
由题意得：
$\begin{cases}a+2b=2300\\2a+b=2050\end{cases}$
解方程组：将第二个方程乘2得$4a+2b=4100$，减去第一个方程得$3a=1800$，解得$a=600$，将$a=600$代入$a+2b=2300$，解得$b=850$。
(2) 设该单位购买A种电器m件，购买B种电器n件。
根据总预算为15750元可得：$600m+850n=15750$，整理得$m=-\dfrac{17}{12}n+\dfrac{105}{4}$。
已知A种电器不超过5件，即$m≤5$，代入得：
$-\dfrac{17}{12}n+\dfrac{105}{4}≤5$
去分母得$-17n+315≤60$，移项化简得$n≥15$。
(3) 设购买A种电器x件，则购买B种电器$(6-x)$件。
由题意得不等式组：
$\begin{cases}(600-100)x+(850-150)(6-x)≤4000\\100x+150(6-x)≥700\end{cases}$
解第一个不等式：$500x+4200-700x≤4000$，化简得$x≥1$；
解第二个不等式：$100x+900-150x≥700$，化简得$x≤4$。
所以不等式组的解集为$1≤ x≤4$，x为整数，因此x可取1、2、3、4，共4种取值。
【答案】
(1) 购买一件A种电器需600元，购买一件B种电器需850元；
(2) 可购买B种电器至少15件；
(3) 共有4种购买方案。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的实际应用题型，重点考查学生提取题干中等量关系、不等关系的能力，解题时需注意购买数量为正整数的实际要求，第三问的方案设计需要结合解集筛选符合条件的整数解，是竞赛中常见的基础应用型考题。
【难度系数】
0.6
