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1. 如图所示，$CD// AB$，点$F$在$AB$上，$EF⊥ GF$，垂足为$F$. 若$∠ 1=48^{\circ}$，则$∠ 2$的度数为.
答案
解：过点F作FH//CD，
因为CD//AB，所以FH//AB，
所以∠1=∠EFH=48°（两直线平行，内错角相等），
因为EF⊥GF，所以∠EFG=90°，
所以∠HFG=∠EFG - ∠EFH=90° - 48°=42°，
因为FH//AB，所以∠2=∠HFG=42°（两直线平行，内错角相等）。
故∠2的度数为42°。
因为CD//AB，所以FH//AB，
所以∠1=∠EFH=48°（两直线平行，内错角相等），
因为EF⊥GF，所以∠EFG=90°，
所以∠HFG=∠EFG - ∠EFH=90° - 48°=42°，
因为FH//AB，所以∠2=∠HFG=42°（两直线平行，内错角相等）。
故∠2的度数为42°。
2. 如图所示，某工件要求$AB// ED$，若质检员小李量得$∠ ABC=146^{\circ}$，$∠ BCD=60^{\circ}$，$∠ EDC=154^{\circ}$，则此工件(填“合格”或“不合格”).
答案
过点C作CF//AB。
∵AB//CF，∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠ABC=146°，∴∠BCF=180°-146°=34°。
∵∠BCD=60°，∴∠FCD=∠BCD-∠BCF=60°-34°=26°。
∵∠EDC=154°，∴∠EDC+∠FCD=154°+26°=180°。
∴CF//ED（同旁内角互补，两直线平行）。
∵AB//CF，CF//ED，∴AB//ED（平行于同一直线的两直线平行）。
合格
∵AB//CF，∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠ABC=146°，∴∠BCF=180°-146°=34°。
∵∠BCD=60°，∴∠FCD=∠BCD-∠BCF=60°-34°=26°。
∵∠EDC=154°，∴∠EDC+∠FCD=154°+26°=180°。
∴CF//ED（同旁内角互补，两直线平行）。
∵AB//CF，CF//ED，∴AB//ED（平行于同一直线的两直线平行）。
合格
3. 提升题 如图所示，如果$AB// DE$，$∠ ABC=75^{\circ}$，$∠ CDE=145^{\circ}$，那么$∠ BCD$的度数为.
答案
过点C作CF//AB。
∵AB//DE，∴CF//DE（平行于同一直线的两直线平行）。
∵AB//CF，∴∠BCF=∠ABC=75°（两直线平行，内错角相等）。
∵CF//DE，∴∠CDE+∠FCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠CDE=145°，∴∠FCD=180°-145°=35°。
∴∠BCD=∠BCF-∠FCD=75°-35°=40°。
40°
∵AB//DE，∴CF//DE（平行于同一直线的两直线平行）。
∵AB//CF，∴∠BCF=∠ABC=75°（两直线平行，内错角相等）。
∵CF//DE，∴∠CDE+∠FCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠CDE=145°，∴∠FCD=180°-145°=35°。
∴∠BCD=∠BCF-∠FCD=75°-35°=40°。
40°
4. 如图所示，若$AB// EF$，$∠ C=90^{\circ}$，则$α$，$β$，$\gamma$的关系是.
答案
过点C作CG//AB，过点D作DH//EF。
∵AB//EF，∴CG//DH//AB//EF。
在点B处：AB//CG，∠ABC=α，
∴∠BCG=180°-α（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠C=90°，即∠BCD=90°，
∴∠GCD=∠BCG-∠BCD=180°-α-90°=90°-α。
在点C处：CG//DH，∠GCD=90°-α，
∴∠CDH=∠GCD=90°-α（两直线平行，内错角相等）。
在点D处：DH//EF，∠DEF=γ，
∴∠HDE=γ（两直线平行，内错角相等）。
∵∠CDE=β=∠CDH+∠HDE，
∴β=90°-α+γ，即α+β-γ=90°。
α+β-γ=90°
∵AB//EF，∴CG//DH//AB//EF。
在点B处：AB//CG，∠ABC=α，
∴∠BCG=180°-α（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠C=90°，即∠BCD=90°，
∴∠GCD=∠BCG-∠BCD=180°-α-90°=90°-α。
在点C处：CG//DH，∠GCD=90°-α，
∴∠CDH=∠GCD=90°-α（两直线平行，内错角相等）。
在点D处：DH//EF，∠DEF=γ，
∴∠HDE=γ（两直线平行，内错角相等）。
∵∠CDE=β=∠CDH+∠HDE，
∴β=90°-α+γ，即α+β-γ=90°。
α+β-γ=90°
5. 一种躺椅及其结构示意图如图所示.扶手$AB$与底座$CD$都平行于地面$EF$，前支架$OE$与后支架$OF$分别与$CD$交于点$G$和点$D$，$AB$与$DM$交于点$N$，$∠ AOE=∠ BNM$.
(1)求证$OE// DM$；
(2)若$OE$平分$∠ AOF$，$∠ ODC=30^{\circ}$，求扶手$AB$与靠背$DM$的夹角$∠ AND$的度数.
(1)求证$OE// DM$；
(2)若$OE$平分$∠ AOF$，$∠ ODC=30^{\circ}$，求扶手$AB$与靠背$DM$的夹角$∠ AND$的度数.
答案
（1）证明：∵∠BNM＝∠AND，
∠AOE=∠BNM，∴∠AOE＝∠AND，
∴OE//DM.
(2)解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB//CD，∴∠BOD=∠ODC=30°。
∵∠AOF+∠BOD=180°，
∴∠AOF=150°。
∵OE平分∠AOF，
∴∠AOE=∠EOF=1/2∠AOF=75°。
由（1）知∠AOE=∠AND，∴∠AND=75°。
∠AOE=∠BNM，∴∠AOE＝∠AND，
∴OE//DM.
(2)解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB//CD，∴∠BOD=∠ODC=30°。
∵∠AOF+∠BOD=180°，
∴∠AOF=150°。
∵OE平分∠AOF，
∴∠AOE=∠EOF=1/2∠AOF=75°。
由（1）知∠AOE=∠AND，∴∠AND=75°。
解析
(1)证明：
∵AB//EF，CD//EF，
∴AB//CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。
∵AB//CD，OE交AB于O，交CD于G，
∴∠AOE=∠OGD（两直线平行，同位角相等）。
∵∠AOE=∠BNM（已知），
∴∠OGD=∠BNM（等量代换）。
∵AB//CD，DM交AB于N，交CD于D，
∴∠BNM=∠GDN（两直线平行，同位角相等）。
∴∠OGD=∠GDN（等量代换）。
∴OE//DM（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
∵AB//CD，OF交AB于O，交CD于D，∠ODC=30°，
∴∠AOF=∠ODC=30°（两直线平行，同位角相等）。
∵OE平分∠AOF，
∴∠AOE=1/2∠AOF=15°。
∵OE//DM，AB交OE于O，交DM于N，
∴∠AND=∠AOE=15°（两直线平行，同位角相等）。
∵AB//EF，CD//EF，
∴AB//CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。
∵AB//CD，OE交AB于O，交CD于G，
∴∠AOE=∠OGD（两直线平行，同位角相等）。
∵∠AOE=∠BNM（已知），
∴∠OGD=∠BNM（等量代换）。
∵AB//CD，DM交AB于N，交CD于D，
∴∠BNM=∠GDN（两直线平行，同位角相等）。
∴∠OGD=∠GDN（等量代换）。
∴OE//DM（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：
∵AB//CD，OF交AB于O，交CD于D，∠ODC=30°，
∴∠AOF=∠ODC=30°（两直线平行，同位角相等）。
∵OE平分∠AOF，
∴∠AOE=1/2∠AOF=15°。
∵OE//DM，AB交OE于O，交DM于N，
∴∠AND=∠AOE=15°（两直线平行，同位角相等）。
6. 提升题 一盏可调节台灯及其示意图如图所示. 固定支撑杆$AO$垂直于底座$MN$于点$O$，$AB$与$BC$是分别可绕点$A$和点$B$旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点$C$旋转调节光线角度. 在调节过程中，最外侧光线$CD$和$CE$组成的$∠ DCE$的大小始终保持不变. 现调节台灯，使外侧光线$CD// MN$，$CE// BA$.若$∠ BAO=158^{\circ}$，求$∠ DCE$的度数.
答案
解：
∵AO⊥MN，∴∠AON=90°．
∵∠BAO=158°，∠BAO=∠BA N + ∠NAO，∠NAO=∠AON=90°，
∴∠BAN=∠BAO - ∠NAO=158° - 90°=68°，即BA与MN的夹角为68°．
∵CD//MN，CE//BA，
∴∠DCE=∠BAN=68°（两直线平行，同位角相等）．
答：∠DCE的度数为68°．
∵AO⊥MN，∴∠AON=90°．
∵∠BAO=158°，∠BAO=∠BA N + ∠NAO，∠NAO=∠AON=90°，
∴∠BAN=∠BAO - ∠NAO=158° - 90°=68°，即BA与MN的夹角为68°．
∵CD//MN，CE//BA，
∴∠DCE=∠BAN=68°（两直线平行，同位角相等）．
答：∠DCE的度数为68°．
