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1. 如图所示，若一个弯形管道$ABCD$的拐角$∠ ABC=110^{\circ}$，要使管道$AB$与$CD$保持平行，则$∠ BCD$的大小为.
答案
因为AB与CD平行，∠ABC和∠BCD是同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，所以∠ABC + ∠BCD = 180°。
已知∠ABC = 110°，则∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - 110° = 70°。
70°
已知∠ABC = 110°，则∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - 110° = 70°。
70°
2. 如图所示，把一张长方形纸片$ABCD$沿$EF$折叠后，点$D$，$C$分别落在点$D'$，$C'$的位置上，$ED'$与$BC$交于点$G$.若$∠ EFG=56^{\circ}$，则$∠ AEG=$.
答案
∵四边形ABCD是长方形，∴AD//BC。
∵AD//BC，∠EFG=56°，∴∠DEF=∠EFG=56°（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质得∠D'EF=∠DEF=56°，∴∠DEG=∠DEF+∠D'EF=56°+56°=112°。
∵AD是直线，∴∠AEG+∠DEG=180°（平角定义），∴∠AEG=180°-112°=68°。
68°
∵AD//BC，∠EFG=56°，∴∠DEF=∠EFG=56°（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质得∠D'EF=∠DEF=56°，∴∠DEG=∠DEF+∠D'EF=56°+56°=112°。
∵AD是直线，∴∠AEG+∠DEG=180°（平角定义），∴∠AEG=180°-112°=68°。
68°
3. 提升题 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，其中一个角为$30^{\circ}$，则另一个角的度数为.
答案
答题空处：$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。
解题步骤：
根据相等定理或互补定理，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
设另一个角的度数为$x$，根据题目条件，可以列出方程：
若两角相等，则 $x = 30^{\circ}$；
若两角互补，则 $x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$，解得 $x = 150^{\circ}$。
所以，另一个角的度数为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。
解题步骤：
根据相等定理或互补定理，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
设另一个角的度数为$x$，根据题目条件，可以列出方程：
若两角相等，则 $x = 30^{\circ}$；
若两角互补，则 $x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$，解得 $x = 150^{\circ}$。
所以，另一个角的度数为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。
4. 如图所示，将直角三角尺放置在两条平行线$l_{1}$和$l_{2}$之间，直角三角尺的直角顶点在$l_{2}$上. 若$∠ 1=39^{\circ}$，则$∠ 2=$.
答案
过直角顶点作$l_{3}// l_{1}$，
因为$l_{1}// l_{2}$，
所以$l_{3}// l_{2}// l_{1}$，
根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，
所以$∠2 = ∠4$，$∠1 = ∠3=39^{\circ}$，
又因为$∠ 4+∠ 3 = 90^{\circ}$，
所以$∠ 4 = 90^{\circ}-∠3 = 90^{\circ}- 39^{\circ}=51^{\circ}$，
即$∠2 = 51^{\circ}$。
故答案为$51^{\circ}$。
因为$l_{1}// l_{2}$，
所以$l_{3}// l_{2}// l_{1}$，
根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，
所以$∠2 = ∠4$，$∠1 = ∠3=39^{\circ}$，
又因为$∠ 4+∠ 3 = 90^{\circ}$，
所以$∠ 4 = 90^{\circ}-∠3 = 90^{\circ}- 39^{\circ}=51^{\circ}$，
即$∠2 = 51^{\circ}$。
故答案为$51^{\circ}$。
5. 如图所示，$AD// BE$，$∠ 1=∠ 2$. 求证$∠ A=∠ E$.
答案
∵ $AD // BE$，
∴ $∠ A = ∠ EBC$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $DE // AC$（内错角相等，两直线平行）。
∴ $∠ E = ∠ EBC$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $∠ A = ∠ E$。
∴ $∠ A = ∠ EBC$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $DE // AC$（内错角相等，两直线平行）。
∴ $∠ E = ∠ EBC$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $∠ A = ∠ E$。
6. 提升题 完成下面的证明过程：
如图所示，已知$∠ A=112^{\circ}$，$∠ ABC=68^{\circ}$，$BD⊥ DC$于点$D$，$EF⊥ DC$于点$F$. 求证$∠ 1=∠ 2$.
证明：$\because ∠ A=112^{\circ}$，$∠ ABC=68^{\circ}$(已知)，
$\therefore ∠ A+∠ ABC=180^{\circ}$.
$\therefore AD// BC$().
$\therefore ∠ 1=∠ 3$().
$\because BD⊥ DC$，$EF⊥ DC$(已知)，
$\therefore BD// EF$().
$\therefore ∠ 2=$().
$\therefore ∠ 1=∠ 2$().
7.2.3 平行线的性质(二)
如图所示，已知$∠ A=112^{\circ}$，$∠ ABC=68^{\circ}$，$BD⊥ DC$于点$D$，$EF⊥ DC$于点$F$. 求证$∠ 1=∠ 2$.
证明：$\because ∠ A=112^{\circ}$，$∠ ABC=68^{\circ}$(已知)，
$\therefore ∠ A+∠ ABC=180^{\circ}$.
$\therefore AD// BC$().
$\therefore ∠ 1=∠ 3$().
$\because BD⊥ DC$，$EF⊥ DC$(已知)，
$\therefore BD// EF$().
$\therefore ∠ 2=$().
$\therefore ∠ 1=∠ 2$().
7.2.3 平行线的性质(二)
答案
证明：$\because ∠ A=112^{\circ}$，$∠ ABC=68^{\circ}$(已知)，
$\therefore ∠ A+∠ ABC=180^{\circ}$.
$\therefore AD// BC$(同旁内角互补，两直线平行).
$\therefore ∠ 1=∠ 3$(两直线平行，内错角相等).
$\because BD⊥ DC$，$EF⊥ DC$(已知)，
$\therefore BD// EF$(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
$\therefore ∠ 2=∠ 3$(两直线平行，同位角相等).
$\therefore ∠ 1=∠ 2$(等量代换).
$\therefore ∠ A+∠ ABC=180^{\circ}$.
$\therefore AD// BC$(同旁内角互补，两直线平行).
$\therefore ∠ 1=∠ 3$(两直线平行，内错角相等).
$\because BD⊥ DC$，$EF⊥ DC$(已知)，
$\therefore BD// EF$(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
$\therefore ∠ 2=∠ 3$(两直线平行，同位角相等).
$\therefore ∠ 1=∠ 2$(等量代换).
