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一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两个根$x_1$，$x_2$与其系数$a$，$b$，$c$有如下关系：$x_1 + x_2 =$
$-\frac{b}{a}$
，$x_1x_2 =$ $\frac{c}{a}$
。答案
1. $-\frac{b}{a}$
2. $\frac{c}{a}$
2. $\frac{c}{a}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，思考时可以从已学的一元二次方程求根公式入手推导：首先明确当判别式Δ=b²-4ac≥0时，方程有两个实数根，我们可以先用求根公式写出两个根的表达式，再分别计算两根之和、两根之积，化简后即可得到对应结果，也可以直接回忆韦达定理的结论作答。
【解析】
当一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根：
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}$
$=\frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
利用平方差公式化简分子：$(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2 = b^2-(b^2-4ac)=4ac$
因此$x_1x_2 = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程求根公式
3. 平方差公式
【点评】
本题属于基础概念题，是一元二次方程相关知识的核心基础内容，熟练掌握该结论可以大幅简化涉及两根和、积的相关计算，需要准确记忆公式，尤其注意两根之和的符号不要记错。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系，思考时可以从已学的一元二次方程求根公式入手推导：首先明确当判别式Δ=b²-4ac≥0时，方程有两个实数根，我们可以先用求根公式写出两个根的表达式，再分别计算两根之和、两根之积，化简后即可得到对应结果，也可以直接回忆韦达定理的结论作答。
【解析】
当一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根：
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}$
$=\frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
利用平方差公式化简分子：$(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2 = b^2-(b^2-4ac)=4ac$
因此$x_1x_2 = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程求根公式
3. 平方差公式
【点评】
本题属于基础概念题，是一元二次方程相关知识的核心基础内容，熟练掌握该结论可以大幅简化涉及两根和、积的相关计算，需要准确记忆公式，尤其注意两根之和的符号不要记错。
【难度系数】
0.9
例 若$ x_1 $，$ x_2 $是关于$ x $的方程$ x^2 + mx - 2m = 0 $的两个根，且$ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，则$ m $的值为 （
A. 2
B. -6
C. 2或-6
D. 6或-2
解析 因为$ x_1 $，$ x_2 $是关于$ x $的方程$ x^2 + mx - 2m = 0 $的两个根，所以$ \Delta = m^2 - 4 × (-2m) = m^2 + 8m ≥ 0 $，且$ x_1 + x_2 = -m $，$ x_1x_2 = -2m $。
所以$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $。
因为$ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，
所以$ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = m^2 + 4m = 12 $，
解得$ m = 2 $或$ m = -6 $，
当$ m = 2 $时，$ \Delta = m^2 + 8m = 2^2 + 8 × 2 = 20 ＞ 0 $，满足题意；
当$ m = -6 $时，$ \Delta = m^2 + 8m = (-6)^2 + 8 × (-6) = -12 ＜ 0 $，不满足题意。
所以$ m = 2 $。
答案 A
特别提醒
运用一元二次方程的根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即$ b^2 - 4ac ≥ 0 $。
规律总结
当一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个根$ x_1 $，$ x_2 $时，两根有以下常用结论：
（1）$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $；
（2）$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} $；
（3）$ (x_1 + a)(x_2 + a) = x_1x_2 + a(x_1 + x_2) + a^2 $；
（4）$ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} $。
A
）A. 2
B. -6
C. 2或-6
D. 6或-2
解析 因为$ x_1 $，$ x_2 $是关于$ x $的方程$ x^2 + mx - 2m = 0 $的两个根，所以$ \Delta = m^2 - 4 × (-2m) = m^2 + 8m ≥ 0 $，且$ x_1 + x_2 = -m $，$ x_1x_2 = -2m $。
所以$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $。
因为$ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，
所以$ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = m^2 + 4m = 12 $，
解得$ m = 2 $或$ m = -6 $，
当$ m = 2 $时，$ \Delta = m^2 + 8m = 2^2 + 8 × 2 = 20 ＞ 0 $，满足题意；
当$ m = -6 $时，$ \Delta = m^2 + 8m = (-6)^2 + 8 × (-6) = -12 ＜ 0 $，不满足题意。
所以$ m = 2 $。
答案 A
特别提醒
运用一元二次方程的根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即$ b^2 - 4ac ≥ 0 $。
规律总结
当一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个根$ x_1 $，$ x_2 $时，两根有以下常用结论：
（1）$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $；
（2）$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} $；
（3）$ (x_1 + a)(x_2 + a) = x_1x_2 + a(x_1 + x_2) + a^2 $；
（4）$ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} $。
答案
答案 A
解析 因为$ x_1 $，$ x_2 $是关于$ x $的方程$ x^2 + mx - 2m = 0 $的两个根，所以$ \Delta = m^2 - 4 × (-2m) = m^2 + 8m ≥ 0 $，且$ x_1 + x_2 = -m $，$ x_1x_2 = -2m $。
所以$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $。
因为$ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，
所以$ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = m^2 + 4m = 12 $，
解得$ m = 2 $或$ m = -6 $，
当$ m = 2 $时，$ \Delta = m^2 + 8m = 2^2 + 8 × 2 = 20 ＞ 0 $，满足题意；
当$ m = -6 $时，$ \Delta = m^2 + 8m = (-6)^2 + 8 × (-6) = -12 ＜ 0 $，不满足题意。
所以$ m = 2 $。
特别提醒
运用一元二次方程的根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即$ b^2 - 4ac ≥ 0 $。
规律总结
当一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个根$ x_1 $，$ x_2 $时，两根有以下常用结论：
（1）$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $；
（2）$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} $；
（3）$ (x_1 + a)(x_2 + a) = x_1x_2 + a(x_1 + x_2) + a^2 $；
（4）$ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} $。
解析 因为$ x_1 $，$ x_2 $是关于$ x $的方程$ x^2 + mx - 2m = 0 $的两个根，所以$ \Delta = m^2 - 4 × (-2m) = m^2 + 8m ≥ 0 $，且$ x_1 + x_2 = -m $，$ x_1x_2 = -2m $。
所以$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $。
因为$ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，
所以$ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = m^2 + 4m = 12 $，
解得$ m = 2 $或$ m = -6 $，
当$ m = 2 $时，$ \Delta = m^2 + 8m = 2^2 + 8 × 2 = 20 ＞ 0 $，满足题意；
当$ m = -6 $时，$ \Delta = m^2 + 8m = (-6)^2 + 8 × (-6) = -12 ＜ 0 $，不满足题意。
所以$ m = 2 $。
特别提醒
运用一元二次方程的根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即$ b^2 - 4ac ≥ 0 $。
规律总结
当一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个根$ x_1 $，$ x_2 $时，两根有以下常用结论：
（1）$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $；
（2）$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} $；
（3）$ (x_1 + a)(x_2 + a) = x_1x_2 + a(x_1 + x_2) + a^2 $；
（4）$ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} $。
解析
【分析】
拿到这道题可按以下逻辑思考：首先题目给出一元二次方程有两个根，且已知两根平方和的值，求参数m。① 方程有两个实根的前提是根的判别式Δ≥0，这是使用根与系数关系的必要条件；② 利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积关于m的表达式；③ 借助完全平方公式，将x₁²+x₂²变形为用两根和、两根积表示的形式，代入已知条件得到关于m的方程，求解m的可能值；④ 将得到的m值代回判别式检验，舍去使方程无实根的取值，最终得到正确结果。
【解析】
因为$x_1$，$x_2$是关于$x$的方程$x^2 + mx - 2m = 0$的两个根，
所以判别式$\Delta = m^2 - 4 × 1 × (-2m) = m^2 + 8m ≥ 0$，
根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -2m$。
由完全平方公式变形得：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
已知$x_1^2 + x_2^2 = 12$，代入得：
$(-m)^2 - 2×(-2m) = 12$，
整理得$m^2 + 4m - 12 = 0$，
因式分解得$(m+6)(m-2)=0$，
解得$m = 2$或$m = -6$。
回代判别式检验：
当$m = 2$时，$\Delta = 2^2 + 8 × 2 = 20 ＞ 0$，符合题意；
当$m = -6$时，$\Delta = (-6)^2 + 8 × (-6) = -12 ＜ 0$，方程无实根，舍去。
综上，$m = 2$。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，易错点是求出m的两个取值后，忽略根与系数关系的适用前提是方程有实数根，未做判别式检验误选C。解题时要牢记使用韦达定理前需保证Δ≥0，求出参数后要回代验证。
【难度系数】
0.6
拿到这道题可按以下逻辑思考：首先题目给出一元二次方程有两个根，且已知两根平方和的值，求参数m。① 方程有两个实根的前提是根的判别式Δ≥0，这是使用根与系数关系的必要条件；② 利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积关于m的表达式；③ 借助完全平方公式，将x₁²+x₂²变形为用两根和、两根积表示的形式，代入已知条件得到关于m的方程，求解m的可能值；④ 将得到的m值代回判别式检验，舍去使方程无实根的取值，最终得到正确结果。
【解析】
因为$x_1$，$x_2$是关于$x$的方程$x^2 + mx - 2m = 0$的两个根，
所以判别式$\Delta = m^2 - 4 × 1 × (-2m) = m^2 + 8m ≥ 0$，
根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -2m$。
由完全平方公式变形得：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
已知$x_1^2 + x_2^2 = 12$，代入得：
$(-m)^2 - 2×(-2m) = 12$，
整理得$m^2 + 4m - 12 = 0$，
因式分解得$(m+6)(m-2)=0$，
解得$m = 2$或$m = -6$。
回代判别式检验：
当$m = 2$时，$\Delta = 2^2 + 8 × 2 = 20 ＞ 0$，符合题意；
当$m = -6$时，$\Delta = (-6)^2 + 8 × (-6) = -12 ＜ 0$，方程无实根，舍去。
综上，$m = 2$。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，易错点是求出m的两个取值后，忽略根与系数关系的适用前提是方程有实数根，未做判别式检验误选C。解题时要牢记使用韦达定理前需保证Δ≥0，求出参数后要回代验证。
【难度系数】
0.6
1. 如果关于$x$的方程$x^2 - 3x + a = 0$的一个解为2，那么另一个解是（
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
1. C
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根的基础题，有两种常见解题思路：思路1：根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，求出参数a的值，再解出完整方程的两个根即可得到答案；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$x^2+bx+c=0$形式的方程，两根之和等于$-b$，直接通过已知根计算另一个根，该方法无需计算参数，解题更快捷。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，其中$x_1=2$。
对于一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$，由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3$
将$x_1=2$代入得：$2 + x_2 = 3$，解得$x_2=1$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程得：$2^2 - 3×2 + a = 0$
计算得：$4 - 6 + a = 0$，解得$a=2$。
则原方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x-1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=1$，即另一个解为1。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用类基础题，两种解题方法都要求熟练掌握，其中利用根与系数的关系可以省略求参数的步骤，有效提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
本题是已知一元二次方程的一个根求另一个根的基础题，有两种常见解题思路：思路1：根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，求出参数a的值，再解出完整方程的两个根即可得到答案；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$x^2+bx+c=0$形式的方程，两根之和等于$-b$，直接通过已知根计算另一个根，该方法无需计算参数，解题更快捷。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，其中$x_1=2$。
对于一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$，由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3$
将$x_1=2$代入得：$2 + x_2 = 3$，解得$x_2=1$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程得：$2^2 - 3×2 + a = 0$
计算得：$4 - 6 + a = 0$，解得$a=2$。
则原方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x-1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=1$，即另一个解为1。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用类基础题，两种解题方法都要求熟练掌握，其中利用根与系数的关系可以省略求参数的步骤，有效提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
