13.规定:不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”。若抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过 $(0,3),(1,2)$。
(1)求抛物线的表达式。
(2)求抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的“亲近距离”。
(3)如图,在求抛物线 $y=x^2-2x+3$ 与直线 $y=x-1$ 的“亲近距离”的过程中,有人提出:过抛物线的顶点向 $x$ 轴作垂线与直线 $y=x-1$ 相交,则“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离,你同意他的看法吗?请说明理由。

(1) 分别把(0,3),(1,2)代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases} c=3, \\ 1+b+c=2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2, \\ c=3。 \end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=x^2-2x+3$。
(2)
∵$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
∴抛物线的顶点坐标为(1,2)。
∴抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴的“亲近距离”为2。
(3) 不同意他的看法。
理由:如图,设$P(t,t^2-2t+3)$为抛物线$y=x^2-2x+3$上的任意一点,过点P作PQ//y轴交直线$y=x-1$于点Q,则Q$(t,t-1)$。
∴$PQ=t^2-2t+3-(t-1)=t^2-3t+4=(t-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$。
∴当$t=\frac{3}{2}$时,PQ的值最小,为$\frac{7}{4}$。
∵抛物线的顶点坐标为(1,2),
∴不同意他的看法。