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3. 如图，用一副三角板拼成四边形ABCD，E是BD的中点. 试比较点E到点A，C的距离，并说明理由.
答案
解：$AE ＞ CE$，理由如下：
连接$AE$、$CE$。
$\because ∠ BCD = 90°$，$E$是$BD$的中点，
$\therefore CE = \dfrac{1}{2}BD = BE$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
$\because ∠ ABE = 90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE$是斜边，
$\therefore AE ＞ BE$（直角三角形中斜边大于任意一条直角边），
$\therefore AE ＞ CE$。
连接$AE$、$CE$。
$\because ∠ BCD = 90°$，$E$是$BD$的中点，
$\therefore CE = \dfrac{1}{2}BD = BE$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
$\because ∠ ABE = 90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE$是斜边，
$\therefore AE ＞ BE$（直角三角形中斜边大于任意一条直角边），
$\therefore AE ＞ CE$。
解析
【分析】
要比较点E到A、C的距离，本质是比较线段AE和CE的长度，解题思路如下：首先作辅助线连接AE、CE，构造出需比较的两条线段；观察Rt△BCD，已知E是斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可推出CE=BE；再观察Rt△ABE，AE是该直角三角形的斜边，根据直角三角形斜边大于任意直角边的性质，可得AE＞BE；最后通过等量代换即可得出AE和CE的大小关系。
【解析】
连接$AE$、$CE$。
$\because ∠ BCD = 90°$，$E$是$BD$的中点，
$\therefore CE = \dfrac{1}{2}BD = BE$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
$\because ∠ ABE = 90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE$是斜边，
$\therefore AE ＞ BE$（直角三角形中斜边大于任意一条直角边），
$\therefore AE ＞ CE$。
【答案】
$AE ＞ CE$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；直角三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查直角三角形相关性质的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用直角三角形的性质完成等量代换，进而比较出线段的长度大小。
【难度系数】
0.7
要比较点E到A、C的距离，本质是比较线段AE和CE的长度，解题思路如下：首先作辅助线连接AE、CE，构造出需比较的两条线段；观察Rt△BCD，已知E是斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可推出CE=BE；再观察Rt△ABE，AE是该直角三角形的斜边，根据直角三角形斜边大于任意直角边的性质，可得AE＞BE；最后通过等量代换即可得出AE和CE的大小关系。
【解析】
连接$AE$、$CE$。
$\because ∠ BCD = 90°$，$E$是$BD$的中点，
$\therefore CE = \dfrac{1}{2}BD = BE$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
$\because ∠ ABE = 90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE$是斜边，
$\therefore AE ＞ BE$（直角三角形中斜边大于任意一条直角边），
$\therefore AE ＞ CE$。
【答案】
$AE ＞ CE$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；直角三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查直角三角形相关性质的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用直角三角形的性质完成等量代换，进而比较出线段的长度大小。
【难度系数】
0.7
4. 证明:在直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于$30°$.
已知:如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=\frac{1}{2}AB$.
求证:$∠ B=30°$.
已知:如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=\frac{1}{2}AB$.
求证:$∠ B=30°$.
答案
证明：
取AB的中点D，连接CD。
∵ ∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
又∵ AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴ AC=AD=CD，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ ∠A=60°。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。
取AB的中点D，连接CD。
∵ ∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
又∵ AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴ AC=AD=CD，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ ∠A=60°。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。
解析
【分析】
要证明∠B=30°，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=$\frac{1}{2}$AB，我们可利用直角三角形斜边中线的性质构造辅助线：取AB中点D，连接CD，可得CD=$\frac{1}{2}$AB，结合已知的AC=$\frac{1}{2}$AB，可推出△ACD三边相等，即为等边三角形，得到∠A=60°，再根据直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠B的度数。
【解析】
证明：取AB的中点D，连接CD。
∵ ∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
又
∵ AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴ AC=AD=CD，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ ∠A=60°。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。
【答案】
∠B=30°，得证
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等边三角形的判定，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质，通过作斜边中线的辅助线将已知的边的数量关系转化为特殊三角形的判定条件，进而推导出角的度数，该辅助线作法在直角三角形相关证明题中较为常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要证明∠B=30°，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=$\frac{1}{2}$AB，我们可利用直角三角形斜边中线的性质构造辅助线：取AB中点D，连接CD，可得CD=$\frac{1}{2}$AB，结合已知的AC=$\frac{1}{2}$AB，可推出△ACD三边相等，即为等边三角形，得到∠A=60°，再根据直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠B的度数。
【解析】
证明：取AB的中点D，连接CD。
∵ ∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
又
∵ AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴ AC=AD=CD，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ ∠A=60°。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。
【答案】
∠B=30°，得证
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等边三角形的判定，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质，通过作斜边中线的辅助线将已知的边的数量关系转化为特殊三角形的判定条件，进而推导出角的度数，该辅助线作法在直角三角形相关证明题中较为常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点.求证:∠EBD=∠EDB. 
(第5题)
(第5题)答案
证明：
∵ ∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵ ∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∴ BE = DE，
∴ ∠EBD = ∠EDB（等边对等角）。
∵ ∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵ ∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∴ BE = DE，
∴ ∠EBD = ∠EDB（等边对等角）。
解析
【分析】
要证明∠EBD=∠EDB，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，先证明这两个角所在的△EBD中BE=DE。观察已知条件，∠ABC=∠ADC=90°，说明△ABC和△ADC都是直角三角形，且E是两个三角形公共斜边AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可分别推出BE、DE都等于AC的$\frac{1}{2}$，由此得到BE=DE，即可进一步推导出角相等。
【解析】
证明：
∵ ∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵ ∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∴ BE = DE，
∴ ∠EBD = ∠EDB（等边对等角）。
【答案】
∠EBD=∠EDB
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形等边对等角
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查直角三角形和等腰三角形的基础性质，解题突破口是利用直角三角形公共斜边的中点得到两条线段相等，进而转化为角相等，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明∠EBD=∠EDB，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，先证明这两个角所在的△EBD中BE=DE。观察已知条件，∠ABC=∠ADC=90°，说明△ABC和△ADC都是直角三角形，且E是两个三角形公共斜边AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可分别推出BE、DE都等于AC的$\frac{1}{2}$，由此得到BE=DE，即可进一步推导出角相等。
【解析】
证明：
∵ ∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵ ∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∴ BE = DE，
∴ ∠EBD = ∠EDB（等边对等角）。
【答案】
∠EBD=∠EDB
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形等边对等角
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查直角三角形和等腰三角形的基础性质，解题突破口是利用直角三角形公共斜边的中点得到两条线段相等，进而转化为角相等，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
