你能将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？试着在图1-23中画一画. 图1-23

解：能。
取斜边AB的中点D，连接CD，线段CD即可将Rt△ABC分成两个等腰三角形。
证明：
∵ ∠ACB = 90°，D是AB的中点，
∴ CD = AD = BD（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴ △ACD为等腰三角形，△BCD为等腰三角形。

【分析】
要将直角三角形分割为两个等腰三角形，分割线需是从三角形某一顶点出发到对边的线段，优先考虑从直角顶点C出发向斜边AB作分割线。我们需要在AB上找到点D，使分割得到的△ACD和△BCD都满足两边相等。结合已学的直角三角形特殊性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，若取AB的中点D，连接CD，可得CD=AD=BD，刚好满足两个三角形均为等腰三角形的要求。
【解析】
解：可以将该直角三角形分成两个等腰三角形，分割方法如下：
取斜边AB的中点D，连接CD，线段CD即为所求的分割线。
证明：
∵ ∠ACB = 90°，D是AB的中点，
∴ CD = AD = BD（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴ △ACD中AD=CD，是等腰三角形；△BCD中BD=CD，是等腰三角形。
【答案】
能。取斜边AB的中点D，连接CD，线段CD即可将Rt△ABC分成两个等腰三角形。
证明：
∵ ∠ACB = 90°，D是AB的中点，
∴ CD = AD = BD（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴ △ACD为等腰三角形，△BCD为等腰三角形。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何应用类题目，核心考察特殊三角形性质的灵活运用，解题的关键是联想到直角三角形斜边中线的特殊性质找到分割点，通过练习可以强化对特殊三角形特征的认知，提升几何作图与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

例 如图1-24，$∠ BAC=∠ BDC=90°$，$O,P$分别是$BC,AD$的中点.求证:$OP⊥ AD$.

证明：
连接OA，OD。
∵ ∠BAC=90°，O是BC的中点，
∴ OA = $\frac{1}{2}$BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
同理，∵ ∠BDC=90°，O是BC的中点，
∴ OD = $\frac{1}{2}$BC。
∴ OA = OD，
∴ △OAD是等腰三角形。
又∵ P是AD的中点，
∴ OP⊥AD（等腰三角形底边上的中线垂直于底边，等腰三角形三线合一）。

【分析】
要证明OP⊥AD，已知P是AD的中点，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明△OAD是等腰三角形，即OA=OD。观察图形可知，△BAC和△BDC都是直角三角形，且公共斜边为BC，O是BC的中点，可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得到OA和OD均等于$\frac{1}{2}$BC，即可推出OA=OD，最后结合等腰三角形三线合一的性质证明垂直。
【解析】
证明：连接OA，OD。
∵ ∠BAC=90°，O是BC的中点，
∴ OA = $\frac{1}{2}$BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
同理，
∵ ∠BDC=90°，O是BC的中点，
∴ OD = $\frac{1}{2}$BC。
∴ OA = OD，即△OAD是等腰三角形。
又
∵ P是AD的中点，
∴ OP⊥AD（等腰三角形底边上的中线垂直于底边，即等腰三角形三线合一）。
【答案】
OP⊥AD
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是正确作出辅助线OA、OD，灵活运用直角三角形和等腰三角形的相关性质，需掌握“遇直角三角形斜边中点，连接斜边中线”的常用辅助线构造思路。
【难度系数】
0.7

1. 直角三角形斜边上的等于斜边的.
如图，∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°,D是AB 的中点，
∴ CD=$\frac{1}{2}$ = = .
（第1题）（第2题）

解：
中线
一半
AB
AD
BD

【分析】
这道题考查直角三角形斜边中线的相关性质，解题时首先回忆对应的定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。再结合题目给出的条件：D是Rt△ABC斜边AB的中点，可知CD是斜边AB上的中线，再结合中点的定义，AD、BD均为AB长度的一半，即可对应完成所有填空。
【解析】
首先明确直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，因此CD是斜边AB上的中线，根据定理可得$CD=\frac{1}{2}AB$；
又因为D是AB中点，根据中点定义可知$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，因此$CD=AD=BD$。
依次填入对应内容即可。
【答案】
中线；一半；AB；AD；BD
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接针对直角三角形斜边中线的性质设置考点，只需牢记定理内容即可快速作答，该性质是几何中求解线段长度关系、证明线段相等的常用定理，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$为中线。
（1）写出图中所有的等腰三角形：。
（2）已知$∠ A=30°$，图中与$AD$相等的线段有：。

(1) $△ ACD$，$△ BCD$
(2) $CD$，$BD$，$BC$

【分析】
（1）解决第一问首先回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此可得到AD、BD、CD三条线段的数量关系，再结合等腰三角形“有两边相等的三角形是等腰三角形”的判定条件，即可找出所有等腰三角形。
（2）解决第二问在第一问结论的基础上，再利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，推导BC与AB的数量关系，进而得到BC与AD的关系，即可找出所有和AD相等的线段。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得：$CD=\frac{1}{2}AB=AD=BD$。
根据等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，可知：
$AD=CD$，故$△ACD$是等腰三角形；$BD=CD$，故$△BCD$是等腰三角形。
（2）已知$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据含30°角的直角三角形的性质可得：$BC=\frac{1}{2}AB$。
又因为CD是AB的中线，所以$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，因此$BC=AD=BD=CD$，即与AD相等的线段有CD、BD、BC。
【答案】
(1) $△ ACD$，$△ BCD$
(2) $CD$，$BD$，$BC$
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查直角三角形的相关性质和等腰三角形的判定，熟练掌握对应性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8