6. 如图，在$△ ABC$中，$CD$是边$AB$上的中线，且$CD=\frac{1}{2}AB$. $△ ABC$是直角三角形吗？请说明理由.

解：$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
∵ $CD$是边$AB$上的中线，
∴ $AD = BD = \frac{1}{2}AB$。
又∵ $CD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $AD = CD$，$BD = CD$。
∴ $∠ A = ∠ ACD$，$∠ B = ∠ BCD$。
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
又∵ $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD$，
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ A + ∠ B = 180°$，
即 $2(∠ A + ∠ B) = 180°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ ACB = 180° - (∠ A + ∠ B) = 90°$。
∴ $△ ABC$是直角三角形。

【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是证明该三角形存在90°的内角。首先利用中线的性质得到AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，结合已知CD=$\frac{1}{2}$AB，可推出AD=CD、BD=CD，得到两个等腰三角形；再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，得到∠A=∠ACD，∠B=∠BCD；最后结合三角形内角和为180°，将∠ACB拆分为∠ACD与∠BCD的和，通过等量代换推导得出∠ACB=90°，即可完成判定。
【解析】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ CD是边AB上的中线，
∴ $AD = BD = \frac{1}{2}AB$。
又
∵ $CD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $AD = CD$，$BD = CD$。
∴ $∠ A = ∠ ACD$，$∠ B = ∠ BCD$。
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
又
∵ $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD$，
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ A + ∠ B = 180°$，
即 $2(∠ A + ∠ B) = 180°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ ACB = 180° - (∠ A + ∠ B) = 90°$。
∴ $△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是将已知的线段等量关系转化为角的等量关系，结合三角形内角和定理完成直角的推导，本题推导得出的结论也可作为直角三角形的判定定理使用，要注意理解记忆。
【难度系数】
0.7

7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$是斜边$AB$上的一点，且$CD=\frac{1}{2}AB$. $CD$是$AB$边上的中线吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例.

解：CD是AB边上的中线，理由如下：
取AB的中点E，连接CE。
∵ ∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴ $CE = AE = BE = \frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵ $CD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $CE = CD$，
∴ $∠CDE = ∠CED$。
∵ $CE = AE$，
∴ $∠A = ∠ACE$，
由三角形外角性质得：$∠CED = ∠A + ∠ACE = 2∠A$，
∴ $∠CDE = 2∠A$。
同理可得：$∠CDB = 2∠B$。
∵ 点D在AB上，
∴ $∠CDE + ∠CDB = 180°$，
代入得：$2∠A + 2∠B = 180°$，即$∠A + ∠B = 90°$，符合$∠ACB=90°$的已知条件。
由$∠CDE = 2∠A$，且$∠CDE = ∠A + ∠ACD$，得$∠A + ∠ACD = 2∠A$，
∴ $∠ACD = ∠A$，
∴ $AD = CD$。
同理可得：$BD = CD$。
∴ $AD = BD = CD = \frac{1}{2}AB$，即D是AB的中点，
∴ CD是AB边上的中线。