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1. 抛物线$y=4x^2$，$y=-2x^2$，$y=-\frac{1}{5}x^2$的共同点是().
A.都关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都关于y轴对称，抛物线开口向下
C.抛物线的顶点都是原点，抛物线开口向下
D.都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
A.都关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都关于y轴对称，抛物线开口向下
C.抛物线的顶点都是原点，抛物线开口向下
D.都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆形如$y=ax^2(a\ne0)$的二次函数的基本性质：这类函数的对称轴是y轴，顶点为原点，开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。首先判断三个给定抛物线的共同特征，再逐一对比选项排除错误答案即可。
【解析】
对于形如$y=ax^2(a\ne0)$的二次函数，其固有性质为：对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$即原点，开口方向由$a$的符号决定：
1. 抛物线$y=4x^2$中$a=4＞0$，开口向上，关于y轴对称，顶点为原点；
2. 抛物线$y=-2x^2$中$a=-2＜0$，开口向下，关于y轴对称，顶点为原点；
3. 抛物线$y=-\frac{1}{5}x^2$中$a=-\frac{1}{5}＜0$，开口向下，关于y轴对称，顶点为原点。
因此三个抛物线的共同点是：都关于y轴对称，顶点都是原点，开口方向不一致。
逐一分析选项：
A选项，抛物线不关于x轴对称，且不是都开口向上，错误；
B选项，不是所有抛物线都开口向下，错误；
C选项，不是所有抛物线都开口向下，错误；
D选项描述符合共同特征，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数的对称轴、二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对最简二次函数图象性质的记忆和区分，解题时可结合性质用排除法快速锁定答案，需要注意区分$a$的符号对开口方向的影响。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆形如$y=ax^2(a\ne0)$的二次函数的基本性质：这类函数的对称轴是y轴，顶点为原点，开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。首先判断三个给定抛物线的共同特征，再逐一对比选项排除错误答案即可。
【解析】
对于形如$y=ax^2(a\ne0)$的二次函数，其固有性质为：对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$即原点，开口方向由$a$的符号决定：
1. 抛物线$y=4x^2$中$a=4＞0$，开口向上，关于y轴对称，顶点为原点；
2. 抛物线$y=-2x^2$中$a=-2＜0$，开口向下，关于y轴对称，顶点为原点；
3. 抛物线$y=-\frac{1}{5}x^2$中$a=-\frac{1}{5}＜0$，开口向下，关于y轴对称，顶点为原点。
因此三个抛物线的共同点是：都关于y轴对称，顶点都是原点，开口方向不一致。
逐一分析选项：
A选项，抛物线不关于x轴对称，且不是都开口向上，错误；
B选项，不是所有抛物线都开口向下，错误；
C选项，不是所有抛物线都开口向下，错误；
D选项描述符合共同特征，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数的对称轴、二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对最简二次函数图象性质的记忆和区分，解题时可结合性质用排除法快速锁定答案，需要注意区分$a$的符号对开口方向的影响。
【难度系数】
0.85
2. 二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=-ax$（$a≠0$）在同一平面直角坐标系中的图象可能是().
A. B. C. D.
A. B. C. D.
答案
解：
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上；
一次函数$y=-ax$的斜率为$-a＜0$，且图象过原点，因此直线经过第二、四象限，排除直线过第一、三象限的选项A。
令$ax^2=-ax$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$，即两函数除原点外的另一个交点横坐标为$-1$，位于y轴左侧，选项A中另一交点在y轴右侧，也不符合要求。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下；
一次函数$y=-ax$的斜率为$-a＞0$，且图象过原点，因此直线经过第一、三象限，排除直线过第二、四象限的选项C。
将$x=-1$代入二次函数解析式，得两函数除原点外另一交点的纵坐标$y=a·(-1)^2=a＜0$，即该点位于第三象限，选项D中另一交点位于第二象限，不符合要求，排除D。
综上，答案为$\boldsymbol{B}$。
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上；
一次函数$y=-ax$的斜率为$-a＜0$，且图象过原点，因此直线经过第二、四象限，排除直线过第一、三象限的选项A。
令$ax^2=-ax$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$，即两函数除原点外的另一个交点横坐标为$-1$，位于y轴左侧，选项A中另一交点在y轴右侧，也不符合要求。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下；
一次函数$y=-ax$的斜率为$-a＞0$，且图象过原点，因此直线经过第一、三象限，排除直线过第二、四象限的选项C。
将$x=-1$代入二次函数解析式，得两函数除原点外另一交点的纵坐标$y=a·(-1)^2=a＜0$，即该点位于第三象限，选项D中另一交点位于第二象限，不符合要求，排除D。
综上，答案为$\boldsymbol{B}$。
解析
【分析】
解决这类同一坐标系下含相同参数的多个函数图象判断问题，核心思路是对参数分类讨论：首先分别明确不同参数取值范围下，二次函数的开口方向、一次函数经过的象限，先排除明显不符合的选项；再通过联立函数解析式求交点，验证剩余选项中交点位置是否符合要求，最终确定正确答案。
【解析】
分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的二次项系数为正，图象开口向上；
一次函数$y=-ax$的斜率为$-a＜0$，且图象恒过原点，因此直线经过第二、四象限，可排除直线过第一、三象限的选项A；
联立两个函数解析式$ax^2=-ax$，整理得$ax(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$，即两个函数除原点外的另一个交点横坐标为$-1$，位于y轴左侧，选项A的另一交点在y轴右侧，也不符合要求。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的二次项系数为负，图象开口向下；
一次函数$y=-ax$的斜率为$-a＞0$，且图象过原点，因此直线经过第一、三象限，可排除直线过第二、四象限的选项C；
由联立方程可知另一交点横坐标为$-1$，代入解析式得纵坐标$y=a×(-1)^2=a＜0$，即交点在第三象限，选项D的另一交点在第二象限，不符合要求，排除D。
综上，只有选项B符合所有条件。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；一次函数的图象性质；函数交点求解
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，需要熟练掌握两类函数的图象特征与参数的对应关系，结合分类讨论思想逐一排除错误选项，既考察对函数性质的掌握程度，也考察逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解决这类同一坐标系下含相同参数的多个函数图象判断问题，核心思路是对参数分类讨论：首先分别明确不同参数取值范围下，二次函数的开口方向、一次函数经过的象限，先排除明显不符合的选项；再通过联立函数解析式求交点，验证剩余选项中交点位置是否符合要求，最终确定正确答案。
【解析】
分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的二次项系数为正，图象开口向上；
一次函数$y=-ax$的斜率为$-a＜0$，且图象恒过原点，因此直线经过第二、四象限，可排除直线过第一、三象限的选项A；
联立两个函数解析式$ax^2=-ax$，整理得$ax(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$，即两个函数除原点外的另一个交点横坐标为$-1$，位于y轴左侧，选项A的另一交点在y轴右侧，也不符合要求。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的二次项系数为负，图象开口向下；
一次函数$y=-ax$的斜率为$-a＞0$，且图象过原点，因此直线经过第一、三象限，可排除直线过第二、四象限的选项C；
由联立方程可知另一交点横坐标为$-1$，代入解析式得纵坐标$y=a×(-1)^2=a＜0$，即交点在第三象限，选项D的另一交点在第二象限，不符合要求，排除D。
综上，只有选项B符合所有条件。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；一次函数的图象性质；函数交点求解
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，需要熟练掌握两类函数的图象特征与参数的对应关系，结合分类讨论思想逐一排除错误选项，既考察对函数性质的掌握程度，也考察逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
3. 下列判断正确的是().
A.抛物线 $y=ax^2(a≠0)$ 的开口向上,抛物线 $y=-ax^2$ 的开口向下
B.抛物线 $y=ax^2(a≠0)$,当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大
C.抛物线 $y=2x^2$ 与 $y=-2x^2$ 的顶点、对称轴、开口方向完全相同
D.抛物线 $y=ax^2(a≠0)$ 与 $y=-ax^2$ 关于 $x$ 轴对称
① $y=x^2$
②
A.抛物线 $y=ax^2(a≠0)$ 的开口向上,抛物线 $y=-ax^2$ 的开口向下
B.抛物线 $y=ax^2(a≠0)$,当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大
C.抛物线 $y=2x^2$ 与 $y=-2x^2$ 的顶点、对称轴、开口方向完全相同
D.抛物线 $y=ax^2(a≠0)$ 与 $y=-ax^2$ 关于 $x$ 轴对称
① $y=x^2$
②
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图像与性质，解题思路如下：首先明确$y=ax^2$的核心性质：开口方向由$a$的符号决定，未给定$a$正负时不能默认$a$为正数；增减性需结合开口方向和自变量区间判断；仅二次项系数互为相反数的两个二次函数，图像关于$x$轴对称。接下来逐一验证每个选项的正误即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：当$a＜0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，$y=-ax^2$开口向上，因此未明确$a$的符号时无法直接判定开口方向，A错误。
选项B：当$a＞0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴为$y$轴，$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，仅当$a＜0$时该结论成立，因此B错误。
选项C：$y=2x^2$开口向上，$y=-2x^2$开口向下，二者开口方向不同，C错误。
选项D：对任意相同的自变量$x$，$y=ax^2$与$y=-ax^2$的函数值互为相反数，对应点关于$x$轴对称，因此整个抛物线关于$x$轴对称，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；函数图像的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，易错点是容易默认参数$a$为正数，忽略$a$的符号不确定时需要分类讨论的情况，掌握$y=ax^2$的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图像与性质，解题思路如下：首先明确$y=ax^2$的核心性质：开口方向由$a$的符号决定，未给定$a$正负时不能默认$a$为正数；增减性需结合开口方向和自变量区间判断；仅二次项系数互为相反数的两个二次函数，图像关于$x$轴对称。接下来逐一验证每个选项的正误即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：当$a＜0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，$y=-ax^2$开口向上，因此未明确$a$的符号时无法直接判定开口方向，A错误。
选项B：当$a＞0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴为$y$轴，$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，仅当$a＜0$时该结论成立，因此B错误。
选项C：$y=2x^2$开口向上，$y=-2x^2$开口向下，二者开口方向不同，C错误。
选项D：对任意相同的自变量$x$，$y=ax^2$与$y=-ax^2$的函数值互为相反数，对应点关于$x$轴对称，因此整个抛物线关于$x$轴对称，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；函数图像的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，易错点是容易默认参数$a$为正数，忽略$a$的符号不确定时需要分类讨论的情况，掌握$y=ax^2$的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象经过点 $ A(1, 3) $，$ B(-1, m) $，则 $ m = $ 。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：① 先利用点A在二次函数图象上的特性，代入点坐标求出参数a的值，确定二次函数的完整解析式，再将点B的横坐标代入解析式即可求出m的值；② 也可利用二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称的性质，横坐标互为相反数的两个点纵坐标相等，直接得到m的取值。
【解析】
方法一：代入求值法
∵ 二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(1, 3)$
∴ 将$x=1$，$y=3$代入解析式得：$3 = a×1^2$，解得$a=3$
∴ 二次函数的解析式为$y=3x^2$
又
∵ 点$B(-1, m)$在该函数图象上
∴ 将$x=-1$代入解析式得：$m=3×(-1)^2=3×1=3$
方法二：对称性法
二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴，关于y轴对称的点纵坐标相等
点$A(1, 3)$和点$B(-1, m)$横坐标互为相反数，两点关于y轴对称
∴ $m=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过先求解析式再代入求值的常规方法求解，也可以利用二次函数的对称性快速得到结果，熟练掌握二次函数的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题可从两个思路入手：① 先利用点A在二次函数图象上的特性，代入点坐标求出参数a的值，确定二次函数的完整解析式，再将点B的横坐标代入解析式即可求出m的值；② 也可利用二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称的性质，横坐标互为相反数的两个点纵坐标相等，直接得到m的取值。
【解析】
方法一：代入求值法
∵ 二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(1, 3)$
∴ 将$x=1$，$y=3$代入解析式得：$3 = a×1^2$，解得$a=3$
∴ 二次函数的解析式为$y=3x^2$
又
∵ 点$B(-1, m)$在该函数图象上
∴ 将$x=-1$代入解析式得：$m=3×(-1)^2=3×1=3$
方法二：对称性法
二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴，关于y轴对称的点纵坐标相等
点$A(1, 3)$和点$B(-1, m)$横坐标互为相反数，两点关于y轴对称
∴ $m=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过先求解析式再代入求值的常规方法求解，也可以利用二次函数的对称性快速得到结果，熟练掌握二次函数的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
5. 右图是下列四个函数① $ y=ax^2 $，② $ y=bx^2 $，③ $ y=cx^2 $，④ $ y=dx^2 $ 在同一平面直角坐标系内的图象。根据图象，判断 $ a, b, c, d $ 的大小为 ＞ ＞ ＞ 。（第5题）
答案
解：
根据二次函数$y=kx^2$的图象性质：
1. 开口向上的二次函数二次项系数为正，开口向下的二次函数二次项系数为负：
函数①②图象开口向上，得$a＞0$，$b＞0$；
函数③④图象开口向下，得$c＜0$，$d＜0$。
2. 二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越窄：
开口向上的两条抛物线中，①比②更窄，因此$a＞b＞0$；
开口向下的两条抛物线中，③比④更窄，因此$|c|＞|d|$，可得$0＞d＞c$。
综上可得大小关系为：$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}＞\boldsymbol{d}＞\boldsymbol{c}$。
根据二次函数$y=kx^2$的图象性质：
1. 开口向上的二次函数二次项系数为正，开口向下的二次函数二次项系数为负：
函数①②图象开口向上，得$a＞0$，$b＞0$；
函数③④图象开口向下，得$c＜0$，$d＜0$。
2. 二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越窄：
开口向上的两条抛物线中，①比②更窄，因此$a＞b＞0$；
开口向下的两条抛物线中，③比④更窄，因此$|c|＞|d|$，可得$0＞d＞c$。
综上可得大小关系为：$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}＞\boldsymbol{d}＞\boldsymbol{c}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=kx^2$的图象与系数$k$的关系：第一步先通过开口方向判断系数正负，开口向上则系数为正，开口向下则系数为负，正数一定大于负数，因此可先将四个系数分为正、负两组；第二步对同组的系数，根据“二次项系数绝对值越大，抛物线开口越窄”的规律，分别比较正数组、负数组内的大小，最后整合得到四个系数的完整大小关系。
【解析】
解：根据二次函数$y=kx^2$的图象性质解题：
1. 判断系数正负
抛物线开口向上时，二次项系数为正；开口向下时，二次项系数为负。
由图象可知函数①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；函数③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$，可得$a、b$均大于$d、c$。
2. 同号系数比较大小
二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越窄。
开口向上的抛物线中，①比②更窄，因此$|a|＞|b|$，结合$a、b$均为正，得$a＞b＞0$；
开口向下的抛物线中，③比④更窄，因此$|c|＞|d|$，结合$c、d$均为负，负数的绝对值越大数值越小，得$0＞d＞c$。
综上可得四个系数的大小关系。
【答案】
$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}＞\boldsymbol{d}＞\boldsymbol{c}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数与开口方向的关系
3. 二次项系数与开口大小的关系
【点评】
本题考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，解题核心是掌握开口方向、开口宽窄与系数的对应规律，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=kx^2$的图象与系数$k$的关系：第一步先通过开口方向判断系数正负，开口向上则系数为正，开口向下则系数为负，正数一定大于负数，因此可先将四个系数分为正、负两组；第二步对同组的系数，根据“二次项系数绝对值越大，抛物线开口越窄”的规律，分别比较正数组、负数组内的大小，最后整合得到四个系数的完整大小关系。
【解析】
解：根据二次函数$y=kx^2$的图象性质解题：
1. 判断系数正负
抛物线开口向上时，二次项系数为正；开口向下时，二次项系数为负。
由图象可知函数①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；函数③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$，可得$a、b$均大于$d、c$。
2. 同号系数比较大小
二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越窄。
开口向上的抛物线中，①比②更窄，因此$|a|＞|b|$，结合$a、b$均为正，得$a＞b＞0$；
开口向下的抛物线中，③比④更窄，因此$|c|＞|d|$，结合$c、d$均为负，负数的绝对值越大数值越小，得$0＞d＞c$。
综上可得四个系数的大小关系。
【答案】
$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}＞\boldsymbol{d}＞\boldsymbol{c}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数与开口方向的关系
3. 二次项系数与开口大小的关系
【点评】
本题考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，解题核心是掌握开口方向、开口宽窄与系数的对应规律，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$\odot O$ 的半径为 2，$C_1$ 是函数 $y = 2x^2$ 的图象，$C_2$ 是函数 $y = -2x^2$ 的图象，则图中阴影部分的面积为 。
答案
$\boldsymbol{2π}$
解析
【分析】
首先观察图形特征：函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象开口方向相反、形状完全相同，关于x轴对称；同时$\odot O$也关于x轴对称。我们可以利用对称性用割补法求解：把x轴下方的阴影部分沿x轴翻折，刚好能填补x轴上方抛物线$C_1$下方的空白区域，最终所有阴影部分可拼成一个半圆，只需计算半圆的面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，且$\odot O$也关于x轴对称，
$\therefore$ 利用割补法，将x轴下方的阴影部分对称到x轴上方的空白处，阴影部分总面积等于半径为2的圆面积的一半，
则$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2} × π × 2^2=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
二次函数的对称性；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题核心是利用图形的对称性将不规则的阴影面积转化为规则的半圆面积，避免了复杂的计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象开口方向相反、形状完全相同，关于x轴对称；同时$\odot O$也关于x轴对称。我们可以利用对称性用割补法求解：把x轴下方的阴影部分沿x轴翻折，刚好能填补x轴上方抛物线$C_1$下方的空白区域，最终所有阴影部分可拼成一个半圆，只需计算半圆的面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，且$\odot O$也关于x轴对称，
$\therefore$ 利用割补法，将x轴下方的阴影部分对称到x轴上方的空白处，阴影部分总面积等于半径为2的圆面积的一半，
则$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2} × π × 2^2=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
二次函数的对称性；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题核心是利用图形的对称性将不规则的阴影面积转化为规则的半圆面积，避免了复杂的计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
