8. 已知二次函数$y=ax^2$的图象过点$(2, \dfrac{4}{3})$，求该二次函数的表达式.用描点法画出该函数的图象，并求出在图象上纵坐标为3的点的坐标.

解：
将点$(2,\dfrac{4}{3})$代入二次函数$y=ax^2$，得：
$\frac{4}{3}=a· 2^2$
解得$a=\dfrac{1}{3}$，因此该二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{3}x^2}$。
描点法画图象步骤：
1. 列表，取自变量$x$的若干对应值，计算对应的$y$值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $3$ | $\dfrac{4}{3}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{4}{3}$ | $3$ | $\dots$ |
2. 在给定平面直角坐标系中描出上述对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$y=\dfrac{1}{3}x^2$的图象。
求纵坐标为3的点的坐标：
令$y=3$，代入$y=\dfrac{1}{3}x^2$，得：
$3=\frac{1}{3}x^2$
整理得$x^2=9$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
因此图象上纵坐标为3的点的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$和$\boldsymbol{(-3,3)}$。

【分析】
解题可分三步进行：①求二次函数表达式：已知二次函数形式为$y=ax^2$，仅含1个未知参数$a$，将已知点$(2,\dfrac{4}{3})$代入表达式即可解出$a$，得到函数解析式；②画函数图象：使用描点法，按“列表-描点-连线”的步骤操作，该函数关于$y$轴对称，取$x$的正负对称值计算$y$值更简便；③求纵坐标为3的点：令$y=3$，代入已求出的解析式解关于$x$的方程，注意$x$有正负两个解，不要漏解。
【解析】
1. 求二次函数表达式：
将点$(2,\dfrac{4}{3})$代入$y=ax^2$，得：
$\dfrac{4}{3}=a· 2^2$
解得$a=\dfrac{1}{3}$，因此二次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2$。
2. 描点法画图象：
①列表：取对称的$x$值，计算对应$y$值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $3$ | $\dfrac{4}{3}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{4}{3}$ | $3$ | $\dots$ |
②描点：在平面直角坐标系中描出上述表格对应的点；
③连线：用平滑曲线顺次连接各点，即得到$y=\dfrac{1}{3}x^2$的图象。
3. 求纵坐标为3的点的坐标：
令$y=3$，代入$y=\dfrac{1}{3}x^2$，得：
$3=\dfrac{1}{3}x^2$
整理得$x^2=9$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
因此纵坐标为3的点的坐标为$(3,3)$和$(-3,3)$。
【答案】
二次函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{3}x^2}$；图象按上述描点法步骤绘制即可；纵坐标为3的点的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$和$\boldsymbol{(-3,3)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；描点法画函数图象；二次函数点坐标求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察待定系数法的应用和二次函数的基本性质，解题步骤固定，只要掌握描点法操作流程和代入法求点坐标的方法即可顺利解答，求解$x$值时要注意二次方程有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.85

9.（1）用描点法在同一平面直角坐标系中画出$y=\frac{1}{2}x^2$，$y=x^2$，$y=2x^2$的图象；
（2）比较上述图象，抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系？
（3）根据（2）的回答，在平面直角坐标系中近似画出函数$y=\frac{3}{2}x^2$的图象。

解：
(1) ① 列表计算对应函数值：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ |
| $y=x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
| $y=2x^2$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述表格中的各组点；
③ 分别用平滑的曲线顺次连接每组点，得到三个函数的图象，三条抛物线均以原点为顶点、关于y轴对称、开口向上。
(2) 观察图象可得：当二次函数的二次项系数为正数时，二次项系数越大，抛物线的开口越小；二次项系数越小，抛物线的开口越大。
(3) 由于$1＜\frac{3}{2}＜2$，因此抛物线$y=\frac{3}{2}x^2$的开口大小介于$y=x^2$和$y=2x^2$之间，顶点为坐标原点，对称轴为y轴，取点$(-2,6)$、$(-1,\frac{3}{2})$、$(0,0)$、$(1,\frac{3}{2})$、$(2,6)$，用平滑曲线顺次连接，即可近似画出该函数的图象。

【分析】
本题分3个小问，解题思路清晰：
1. 第(1)问使用描点法画二次函数图象，遵循描点法的通用步骤：列表、描点、连线。由于$y=ax^2$的图象关于y轴对称，选取$x=-2、-1、0、1、2$这类对称且便于计算的取值即可，算出对应函数值后描点，用平滑曲线顺次连接即可得到图象。
2. 第(2)问对比三个函数的二次项系数和对应图象的开口宽窄，直接观察就能总结出二者的关联规律。
3. 第(3)问应用第(2)问的结论，先判断$\frac{3}{2}$介于1和2之间，可知它的图象开口大小在$y=x^2$和$y=2x^2$之间，再按描点法的步骤即可画出近似图象。
【解析】
(1) 按描点法步骤画图：
① 列表计算各函数对应值：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ |
| $y=x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
| $y=2x^2$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
② 在平面直角坐标系中描出表格里的各组对应点；
③ 分别用平滑曲线顺次连接每组点，得到三个函数的图象，三条抛物线都以原点为顶点、关于y轴对称、开口向上。
(2) 观察图象可得规律：当二次函数的二次项系数为正数时，二次项系数越大，抛物线的开口越小；二次项系数越小，抛物线的开口越大。
(3) 因为$1＜\frac{3}{2}＜2$，所以$y=\frac{3}{2}x^2$的开口大小介于$y=x^2$和$y=2x^2$之间，它的顶点为坐标原点，对称轴为y轴。取点$(-2,6)$、$(-1,\frac{3}{2})$、$(0,0)$、$(1,\frac{3}{2})$、$(2,6)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可近似画出该函数的图象。
【答案】
(1) 按列表、描点、连线的步骤画出三个函数图象，过程见解析；
(2) 二次项系数为正数时，系数越大，抛物线开口越小，系数越小，开口越大；
(3) $y=\frac{3}{2}x^2$开口介于$y=x^2$和$y=2x^2$之间，顶点在原点，对称轴为y轴，按描点法即可画出近似图象，过程见解析。
【知识点】
1. 描点法作图
2. 二次函数图象性质
3. 抛物线开口与系数关系
【点评】
本题通过作图、对比、应用三个环节，考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，引导学生通过实践探究总结二次项系数对抛物线开口的影响，侧重考察基础作图能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8