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1. 下列四边形中，一定有外接圆的是()。
A.梯形
B.矩形
C.平行四边形
D.菱形
A.梯形
B.矩形
C.平行四边形
D.菱形
答案
B
解析
【分析】
解题的核心切入点是明确四边形有外接圆的判定条件：对角互补的四边形存在外接圆（即四个顶点共圆）。接下来只需逐一分析各选项中四边形的对角性质，判断是否满足对角互补即可得出答案。
【解析】
首先回忆四边形有外接圆的充要条件：四边形的对角互补。
对各选项逐一分析：
A. 梯形：仅一组对边平行，普通梯形（如直角梯形、非等腰梯形）的对角不互补，因此不一定有外接圆；
B. 矩形：四个内角均为90°，任意一组对角和为90°+90°=180°，满足对角互补，因此一定有外接圆；
C. 平行四边形：普通平行四边形仅对角相等、邻角互补，对角和不一定为180°（如内角为60°、120°的平行四边形，对角和为120°≠180°），因此不一定有外接圆；
D. 菱形：属于特殊平行四边形，仅对角相等，除正方形外普通菱形的对角和不为180°，因此不一定有外接圆。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题考查基础概念的结合应用，只要熟练掌握圆内接四边形的判定条件和常见特殊四边形的角的特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题的核心切入点是明确四边形有外接圆的判定条件：对角互补的四边形存在外接圆（即四个顶点共圆）。接下来只需逐一分析各选项中四边形的对角性质，判断是否满足对角互补即可得出答案。
【解析】
首先回忆四边形有外接圆的充要条件：四边形的对角互补。
对各选项逐一分析：
A. 梯形：仅一组对边平行，普通梯形（如直角梯形、非等腰梯形）的对角不互补，因此不一定有外接圆；
B. 矩形：四个内角均为90°，任意一组对角和为90°+90°=180°，满足对角互补，因此一定有外接圆；
C. 平行四边形：普通平行四边形仅对角相等、邻角互补，对角和不一定为180°（如内角为60°、120°的平行四边形，对角和为120°≠180°），因此不一定有外接圆；
D. 菱形：属于特殊平行四边形，仅对角相等，除正方形外普通菱形的对角和不为180°，因此不一定有外接圆。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题考查基础概念的结合应用，只要熟练掌握圆内接四边形的判定条件和常见特殊四边形的角的特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$\odot O$中，如果$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，$AD⊥ OC$于点D，那么AB与AD的数量关系为().
A.$AB=2AD$
B.$AB＜2AD$
C.$AB＞2AD$
D.无法确定
A.$AB=2AD$
B.$AB＜2AD$
C.$AB＞2AD$
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要探究AB和AD的数量关系，已知AD垂直于半径OC，可先利用垂径定理构造出长度为2AD的线段：延长AD交⊙O于点F，可得AF=2AD，接下来只需证明AB与AF相等即可。根据弧的倍分关系：由垂径定理得弧AC=弧CF，因此弧AF=2弧AC，结合题目给出的弧AB=2弧AC，可得弧AB=弧AF，再根据同圆中等弧对等弦，即可推出AB和AF的等量关系，进而得到AB与AD的关系。
【解析】
解：延长AD交⊙O于点F。
∵ AD⊥OC，OC为⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得：AD=DF，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$，
∴ AF=AD+DF=2AD，$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CF}=2\overset{\frown}{AC}$。
又
∵ 已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AF}$。
∵ 在同圆中，等弧所对的弦相等，
∴ AB=AF，
∴ AB=2AD。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 垂径定理
2. 同圆中弧与弦的关系
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用，解题的核心是通过作辅助线延长AD，将分散的条件结合起来，利用垂径定理转化线段和弧的倍分关系，再结合等弧对等弦的性质即可得出结论，解题时要注意弧的倍分关系与弦的倍分关系的转化前提。
【难度系数】
0.7
要探究AB和AD的数量关系，已知AD垂直于半径OC，可先利用垂径定理构造出长度为2AD的线段：延长AD交⊙O于点F，可得AF=2AD，接下来只需证明AB与AF相等即可。根据弧的倍分关系：由垂径定理得弧AC=弧CF，因此弧AF=2弧AC，结合题目给出的弧AB=2弧AC，可得弧AB=弧AF，再根据同圆中等弧对等弦，即可推出AB和AF的等量关系，进而得到AB与AD的关系。
【解析】
解：延长AD交⊙O于点F。
∵ AD⊥OC，OC为⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得：AD=DF，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$，
∴ AF=AD+DF=2AD，$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CF}=2\overset{\frown}{AC}$。
又
∵ 已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AF}$。
∵ 在同圆中，等弧所对的弦相等，
∴ AB=AF，
∴ AB=2AD。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 垂径定理
2. 同圆中弧与弦的关系
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用，解题的核心是通过作辅助线延长AD，将分散的条件结合起来，利用垂径定理转化线段和弧的倍分关系，再结合等弧对等弦的性质即可得出结论，解题时要注意弧的倍分关系与弦的倍分关系的转化前提。
【难度系数】
0.7
3. 下列选项中，可以用来说明“已知三点A，B，C，过三点可以作并且只可以作一个圆”是假命题的反例是().
A.A，B，C三点共线
B.$AB⊥ AC$
C.$AB=AC$
D.A，B，C三点不共线
A.A，B，C三点共线
B.$AB⊥ AC$
C.$AB=AC$
D.A，B，C三点不共线
答案
A
解析
【分析】
首先明确反例的作用：反例需要满足命题的条件，但不满足命题的结论，以此证明命题为假。其次回忆过三点作圆的核心要求：只有不在同一直线上的三个点才能确定唯一的一个圆，若三点共线则无法作出过这三个点的圆，据此对应选项排查即可。
【解析】
根据定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，逐一分析选项：
1. 选项A：若A、B、C三点共线，不存在能同时经过这三个共线点的圆，不满足原命题“过三点可以作并且只可以作一个圆”的结论，可作为反例；
2. 选项B：$AB⊥AC$时，A、B、C三点构成直角三角形，三点不共线，可确定唯一的圆，符合原命题结论，不是反例；
3. 选项C：$AB=AC$时，只要三点不共线就能确定唯一的圆，符合原命题结论，不是反例；
4. 选项D：A、B、C三点不共线，刚好满足三点确定圆的条件，能作且只能作一个圆，符合原命题结论，不是反例。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；反例的识别
【点评】
本题核心考查三点确定圆的前提条件，解题关键是牢记“不在同一直线上”是三点能确定一个圆的必要前提，明确反例的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先明确反例的作用：反例需要满足命题的条件，但不满足命题的结论，以此证明命题为假。其次回忆过三点作圆的核心要求：只有不在同一直线上的三个点才能确定唯一的一个圆，若三点共线则无法作出过这三个点的圆，据此对应选项排查即可。
【解析】
根据定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，逐一分析选项：
1. 选项A：若A、B、C三点共线，不存在能同时经过这三个共线点的圆，不满足原命题“过三点可以作并且只可以作一个圆”的结论，可作为反例；
2. 选项B：$AB⊥AC$时，A、B、C三点构成直角三角形，三点不共线，可确定唯一的圆，符合原命题结论，不是反例；
3. 选项C：$AB=AC$时，只要三点不共线就能确定唯一的圆，符合原命题结论，不是反例；
4. 选项D：A、B、C三点不共线，刚好满足三点确定圆的条件，能作且只能作一个圆，符合原命题结论，不是反例。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；反例的识别
【点评】
本题核心考查三点确定圆的前提条件，解题关键是牢记“不在同一直线上”是三点能确定一个圆的必要前提，明确反例的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
二、填空题
4. 如图，在$\odot O$中，直径$MN=10$，正方形$ABCD$的四个顶点分别在半径$OM$，$OP$以及$\odot O$上，并且$∠ POM=45°$，则$AB$的长为。
A
P
D
4. 如图，在$\odot O$中，直径$MN=10$，正方形$ABCD$的四个顶点分别在半径$OM$，$OP$以及$\odot O$上，并且$∠ POM=45°$，则$AB$的长为。
A
P
D
答案
解：连接OA，
∵ 直径MN=10，
∴ ⊙O的半径OA=5。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=90°，即AB⊥OM，DC⊥OM。
∵ ∠POM=45°，
∴ △DCO为等腰直角三角形，可得OC=CD。
设AB=x，则CD=BC=x，OC=x，
∴ OB=OC+BC=2x。
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
OA² = AB² + OB²
即 $5^2 = x^2 + (2x)^2$，
整理得 $5x^2=25$，
解得 $x=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）。
故答案为：$\sqrt{5}$。
∵ 直径MN=10，
∴ ⊙O的半径OA=5。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=90°，即AB⊥OM，DC⊥OM。
∵ ∠POM=45°，
∴ △DCO为等腰直角三角形，可得OC=CD。
设AB=x，则CD=BC=x，OC=x，
∴ OB=OC+BC=2x。
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
OA² = AB² + OB²
即 $5^2 = x^2 + (2x)^2$，
整理得 $5x^2=25$，
解得 $x=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）。
故答案为：$\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题要求正方形边长AB，可通过连接辅助线将未知边长与已知的圆半径建立联系求解：1. 圆上点到圆心的距离等于半径，因此先连接OA得到长度为5的线段；2. 结合正方形四边相等、内角为直角的性质，以及∠POM=45°，可推出△DCO是等腰直角三角形，得到OC与CD（即正方形边长）相等；3. 设AB为x，可将Rt△OAB的两条直角边用含x的式子表示，最后利用勾股定理列方程即可求出x的值。
【解析】
连接OA，
∵ 直径MN=10，
∴ ⊙O的半径OA=5。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=90°，即AB⊥OM，DC⊥OM。
∵ ∠POM=45°，
∴ △DCO为等腰直角三角形，可得OC=CD。
设AB=x，则CD=BC=x，OC=x，
∴ OB=OC+BC=2x。
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
OA² = AB² + OB²
即 $5^2 = x^2 + (2x)^2$，
整理得 $5x^2=25$，
解得 $x=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
圆的基本性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的典型基础题，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，结合特殊角和正方形的性质找到线段间的数量关系，再利用勾股定理建立方程求解，很好地考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题要求正方形边长AB，可通过连接辅助线将未知边长与已知的圆半径建立联系求解：1. 圆上点到圆心的距离等于半径，因此先连接OA得到长度为5的线段；2. 结合正方形四边相等、内角为直角的性质，以及∠POM=45°，可推出△DCO是等腰直角三角形，得到OC与CD（即正方形边长）相等；3. 设AB为x，可将Rt△OAB的两条直角边用含x的式子表示，最后利用勾股定理列方程即可求出x的值。
【解析】
连接OA，
∵ 直径MN=10，
∴ ⊙O的半径OA=5。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=90°，即AB⊥OM，DC⊥OM。
∵ ∠POM=45°，
∴ △DCO为等腰直角三角形，可得OC=CD。
设AB=x，则CD=BC=x，OC=x，
∴ OB=OC+BC=2x。
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
OA² = AB² + OB²
即 $5^2 = x^2 + (2x)^2$，
整理得 $5x^2=25$，
解得 $x=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
圆的基本性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的典型基础题，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，结合特殊角和正方形的性质找到线段间的数量关系，再利用勾股定理建立方程求解，很好地考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
5. 在平面直角坐标系中，半径为5的$\odot P$与y轴交于点$M(0,-2)$，$N(0,-8)$，点P在第三象限，则点P的坐标为。
答案
解：过点P作PA⊥y轴于点A，连接PM。
∵ M(0,-2)，N(0,-8)，
∴ MN = |-2 - (-8)| = 6。
由垂径定理得：$MA=\frac{1}{2}MN=3$，
∴ 点P的纵坐标为 $-2 - 3 = -5$。
∵ ⊙P的半径为5，∴ PM = 5。
在Rt△PAM中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{PM^2 - MA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
又∵ 点P在第三象限，
∴ 点P的横坐标为-4，
∴ 点P的坐标为$\boldsymbol{(-4,-5)}$。
∵ M(0,-2)，N(0,-8)，
∴ MN = |-2 - (-8)| = 6。
由垂径定理得：$MA=\frac{1}{2}MN=3$，
∴ 点P的纵坐标为 $-2 - 3 = -5$。
∵ ⊙P的半径为5，∴ PM = 5。
在Rt△PAM中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{PM^2 - MA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
又∵ 点P在第三象限，
∴ 点P的横坐标为-4，
∴ 点P的坐标为$\boldsymbol{(-4,-5)}$。
解析
【分析】
本题求解圆心P的坐标，解题思路如下：1. 圆与y轴交于M、N两点，MN是圆的弦，遇到弦长相关问题优先考虑垂径定理，过圆心P作y轴的垂线可平分弦MN；2. 先计算MN的长度，利用垂径定理得到弦长的一半，结合M、N的纵坐标即可求出点P的纵坐标；3. 已知圆的半径，在构造出的直角三角形中利用勾股定理求出点P到y轴的距离，即横坐标的绝对值；4. 最后结合点P在第三象限的坐标符号特征，确定横、纵坐标的正负，即可得到P的坐标。
【解析】
过点P作PA⊥y轴于点A，连接PM。
∵ M(0,-2)，N(0,-8)，
∴ MN = |-2 - (-8)| = 6。
由垂径定理得：$MA=\frac{1}{2}MN=3$，
∴ 点P的纵坐标为 $-2 - 3 = -5$。
∵ ⊙P的半径为5，
∴ PM = 5。
在Rt△PAM中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{PM^2 - MA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
又
∵ 点P在第三象限，
∴ 点P的横坐标为-4，
∴ 点P的坐标为$(-4,-5)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-4,-5)}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；坐标特征
【点评】
本题是圆的基本性质的常规应用题，解题核心是作垂线构造垂径定理模型，结合勾股定理计算线段长度，解题时要注意象限对坐标符号的约束，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题求解圆心P的坐标，解题思路如下：1. 圆与y轴交于M、N两点，MN是圆的弦，遇到弦长相关问题优先考虑垂径定理，过圆心P作y轴的垂线可平分弦MN；2. 先计算MN的长度，利用垂径定理得到弦长的一半，结合M、N的纵坐标即可求出点P的纵坐标；3. 已知圆的半径，在构造出的直角三角形中利用勾股定理求出点P到y轴的距离，即横坐标的绝对值；4. 最后结合点P在第三象限的坐标符号特征，确定横、纵坐标的正负，即可得到P的坐标。
【解析】
过点P作PA⊥y轴于点A，连接PM。
∵ M(0,-2)，N(0,-8)，
∴ MN = |-2 - (-8)| = 6。
由垂径定理得：$MA=\frac{1}{2}MN=3$，
∴ 点P的纵坐标为 $-2 - 3 = -5$。
∵ ⊙P的半径为5，
∴ PM = 5。
在Rt△PAM中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{PM^2 - MA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
又
∵ 点P在第三象限，
∴ 点P的横坐标为-4，
∴ 点P的坐标为$(-4,-5)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-4,-5)}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；坐标特征
【点评】
本题是圆的基本性质的常规应用题，解题核心是作垂线构造垂径定理模型，结合勾股定理计算线段长度，解题时要注意象限对坐标符号的约束，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
6. 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形外接圆的半径长是.
答案
解：
直角三角形的外接圆直径等于该三角形的斜边长，分两种情况讨论：
① 当16和12均为直角边长时，
斜边长为$\sqrt{16^2 + 12^2} = 20$，
此时外接圆半径为$\frac{1}{2} × 20 = 10$；
② 当长为16的边为斜边长时，
此时外接圆半径为$\frac{1}{2} × 16 = 8$。
综上，此三角形外接圆的半径长是$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{8}$。
直角三角形的外接圆直径等于该三角形的斜边长，分两种情况讨论：
① 当16和12均为直角边长时，
斜边长为$\sqrt{16^2 + 12^2} = 20$，
此时外接圆半径为$\frac{1}{2} × 20 = 10$；
② 当长为16的边为斜边长时，
此时外接圆半径为$\frac{1}{2} × 16 = 8$。
综上，此三角形外接圆的半径长是$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{8}$。
解析
【分析】
首先明确直角三角形外接圆的核心性质：外接圆的直径等于直角三角形的斜边长，因此求外接圆半径需先确定斜边长。题目仅给出两边长为16和12，未明确两条边的身份，因此需要分类讨论：由于斜边是直角三角形中最长的边，因此仅需讨论两种情况：一是16和12均为直角边，二是较长的16为斜边，分别算出斜边长后除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
直角三角形的外接圆直径等于该三角形的斜边长，分两种情况讨论：
① 当16和12均为直角边长时，由勾股定理得：
斜边长为$\sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$，
此时外接圆半径为$\frac{1}{2} × 20 = 10$；
② 当长为16的边为斜边长时，
此时外接圆半径为$\frac{1}{2} × 16 = 8$。
综上，此三角形外接圆的半径长是8或10。
【答案】
8或10
【知识点】
直角三角形外接圆性质；勾股定理；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略题干未明确两边身份的条件，直接默认两条边均为直角边导致漏解，解题时需结合“直角三角形中斜边最长”的特点合理分类，考查对基础性质的掌握和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
首先明确直角三角形外接圆的核心性质：外接圆的直径等于直角三角形的斜边长，因此求外接圆半径需先确定斜边长。题目仅给出两边长为16和12，未明确两条边的身份，因此需要分类讨论：由于斜边是直角三角形中最长的边，因此仅需讨论两种情况：一是16和12均为直角边，二是较长的16为斜边，分别算出斜边长后除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
直角三角形的外接圆直径等于该三角形的斜边长，分两种情况讨论：
① 当16和12均为直角边长时，由勾股定理得：
斜边长为$\sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$，
此时外接圆半径为$\frac{1}{2} × 20 = 10$；
② 当长为16的边为斜边长时，
此时外接圆半径为$\frac{1}{2} × 16 = 8$。
综上，此三角形外接圆的半径长是8或10。
【答案】
8或10
【知识点】
直角三角形外接圆性质；勾股定理；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略题干未明确两边身份的条件，直接默认两条边均为直角边导致漏解，解题时需结合“直角三角形中斜边最长”的特点合理分类，考查对基础性质的掌握和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$O$是边$BC$上一点，且$OC=3$，$E$是$AO$的中点。以$O$为圆心、$OC$长为半径作圆，判断点$E$和$\odot O$的位置关系，并说明理由。
7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$O$是边$BC$上一点，且$OC=3$，$E$是$AO$的中点。以$O$为圆心、$OC$长为半径作圆，判断点$E$和$\odot O$的位置关系，并说明理由。
答案
解：点E在⊙O内，理由如下：
∵ ∠C=90°，AC=4，OC=3，
∴ 在Rt△ACO中，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵ E是AO的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}AO = 2.5$。
∵ ⊙O的半径$r = OC = 3$，
∴ $OE = 2.5 ＜ 3 = r$，
∴ 点E在⊙O的内部。
∵ ∠C=90°，AC=4，OC=3，
∴ 在Rt△ACO中，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵ E是AO的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}AO = 2.5$。
∵ ⊙O的半径$r = OC = 3$，
∴ $OE = 2.5 ＜ 3 = r$，
∴ 点E在⊙O的内部。
解析
【分析】
要判断点E和$\odot O$的位置关系，只需比较点E到圆心O的距离OE与$\odot O$半径r的大小：若$OE＞r$，点在圆外；若$OE=r$，点在圆上；若$OE＜r$，点在圆内。已知$\odot O$的半径$r=OC=3$，因此核心是求出OE的长度。观察图形可知$△ ACO$是直角三角形，已知两条直角边AC、OC的长度，可先通过勾股定理求出斜边AO的长，再结合E是AO中点的条件求出OE的长度，最后和半径比较就能得出结论。
【解析】
点E在$\odot O$内，理由如下：
∵ $∠ C=90°$，$AC=4$，$OC=3$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ACO$中，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵ E是AO的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}AO = 2.5$。
∵ $\odot O$的半径$r = OC = 3$，
∴ $OE = 2.5 ＜ 3 = r$，
∴ 点E在$\odot O$的内部。
【答案】
点E在$\odot O$内
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理；线段中点的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定方法，结合勾股定理和中点性质即可求解，考查了基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.85
要判断点E和$\odot O$的位置关系，只需比较点E到圆心O的距离OE与$\odot O$半径r的大小：若$OE＞r$，点在圆外；若$OE=r$，点在圆上；若$OE＜r$，点在圆内。已知$\odot O$的半径$r=OC=3$，因此核心是求出OE的长度。观察图形可知$△ ACO$是直角三角形，已知两条直角边AC、OC的长度，可先通过勾股定理求出斜边AO的长，再结合E是AO中点的条件求出OE的长度，最后和半径比较就能得出结论。
【解析】
点E在$\odot O$内，理由如下：
∵ $∠ C=90°$，$AC=4$，$OC=3$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ACO$中，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵ E是AO的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}AO = 2.5$。
∵ $\odot O$的半径$r = OC = 3$，
∴ $OE = 2.5 ＜ 3 = r$，
∴ 点E在$\odot O$的内部。
【答案】
点E在$\odot O$内
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理；线段中点的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定方法，结合勾股定理和中点性质即可求解，考查了基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.85
