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8.（1）证明：$a$，$b$，$c$，$d$，$e$五数之和等于5，则这五个数中必有一个数不小于1；
（2）在$△ ABC$中，若$AB ≠ AC$，求证：$∠ B ≠ ∠ C$。
（2）在$△ ABC$中，若$AB ≠ AC$，求证：$∠ B ≠ ∠ C$。
答案
证明：(1) 假设$a$，$b$，$c$，$d$，$e$这五个数全都小于1，
即$a＜1$，$b＜1$，$c＜1$，$d＜1$，$e＜1$，
则$a+b+c+d+e ＜ 1+1+1+1+1=5$，
这与题设“五数之和等于5”矛盾，
故假设不成立，即这五个数中必有一个数不小于1。
(2) 假设在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，
由等腰三角形“等角对等边”的性质，可得$AB=AC$，
这与题设“$AB≠ AC$”矛盾，
故假设不成立，即$∠ B ≠ ∠ C$。
即$a＜1$，$b＜1$，$c＜1$，$d＜1$，$e＜1$，
则$a+b+c+d+e ＜ 1+1+1+1+1=5$，
这与题设“五数之和等于5”矛盾，
故假设不成立，即这五个数中必有一个数不小于1。
(2) 假设在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，
由等腰三角形“等角对等边”的性质，可得$AB=AC$，
这与题设“$AB≠ AC$”矛盾，
故假设不成立，即$∠ B ≠ ∠ C$。
解析
【分析】
这两道题均采用反证法证明，反证法的解题逻辑为：先假设原命题的结论不成立（即结论的反面成立），再从假设出发进行推理，推导出与已知条件、定理或公理矛盾的结果，即可说明假设不成立，原命题得证。
（1）题原结论为“五个数中必有一个不小于1”，其反面为“五个数全部小于1”，从该假设出发计算五个数的和，可推出与“五数之和为5”矛盾的结果，完成证明。
（2）题原结论为“∠B≠∠C”，其反面为“∠B=∠C”，结合等腰三角形“等角对等边”的性质推理，可推出与“AB≠AC”矛盾的结果，完成证明。
【解析】
(1) 假设$a$，$b$，$c$，$d$，$e$这五个数全都小于1，
即$a＜1$，$b＜1$，$c＜1$，$d＜1$，$e＜1$，
则$a+b+c+d+e ＜ 1+1+1+1+1=5$，
这与题设“五数之和等于5”矛盾，
故假设不成立，即这五个数中必有一个数不小于1。
(2) 假设在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，
由等腰三角形“等角对等边”的性质，可得$AB=AC$，
这与题设“$AB≠ AC$”矛盾，
故假设不成立，即$∠ B ≠ ∠ C$。
【答案】
（1）五个数中必有一个数不小于1；
（2）$∠ B ≠ ∠ C$。
【知识点】
反证法，不等式基本性质，等腰三角形性质
【点评】
这两道题是反证法的典型基础习题，重点考查反证法的解题步骤，解题时要注意准确提出与原结论相反的假设，结合学过的性质、定理推导矛盾，适合巩固反证法的应用思路。
【难度系数】
0.75
这两道题均采用反证法证明，反证法的解题逻辑为：先假设原命题的结论不成立（即结论的反面成立），再从假设出发进行推理，推导出与已知条件、定理或公理矛盾的结果，即可说明假设不成立，原命题得证。
（1）题原结论为“五个数中必有一个不小于1”，其反面为“五个数全部小于1”，从该假设出发计算五个数的和，可推出与“五数之和为5”矛盾的结果，完成证明。
（2）题原结论为“∠B≠∠C”，其反面为“∠B=∠C”，结合等腰三角形“等角对等边”的性质推理，可推出与“AB≠AC”矛盾的结果，完成证明。
【解析】
(1) 假设$a$，$b$，$c$，$d$，$e$这五个数全都小于1，
即$a＜1$，$b＜1$，$c＜1$，$d＜1$，$e＜1$，
则$a+b+c+d+e ＜ 1+1+1+1+1=5$，
这与题设“五数之和等于5”矛盾，
故假设不成立，即这五个数中必有一个数不小于1。
(2) 假设在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，
由等腰三角形“等角对等边”的性质，可得$AB=AC$，
这与题设“$AB≠ AC$”矛盾，
故假设不成立，即$∠ B ≠ ∠ C$。
【答案】
（1）五个数中必有一个数不小于1；
（2）$∠ B ≠ ∠ C$。
【知识点】
反证法，不等式基本性质，等腰三角形性质
【点评】
这两道题是反证法的典型基础习题，重点考查反证法的解题步骤，解题时要注意准确提出与原结论相反的假设，结合学过的性质、定理推导矛盾，适合巩固反证法的应用思路。
【难度系数】
0.75
9. 在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$BD ⊥ AC$于点$D$，试判定点$A$与$△ BDC$的外接圆的位置关系，说明理由.
答案
解：点A在△BDC的外接圆的外部，理由如下：
∵ $BD ⊥ AC$，
∴ $∠ BDC = 90°$，
∴ $△ BDC$是直角三角形，它的外接圆以斜边$BC$为直径。
设$△ BDC$的外接圆的圆心为$O$，则$O$是$BC$的中点，外接圆半径$r = OB = OC$。
连接$OA$，
∵ $∠ ABC = 90°$，即$∠ ABO = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$OA$为斜边，根据直角三角形斜边大于任意一条直角边，可得：
$OA ＞ OB = r$，
即点$A$到圆心$O$的距离大于外接圆的半径，
∴ 点$A$在$△ BDC$的外接圆的外部。
∵ $BD ⊥ AC$，
∴ $∠ BDC = 90°$，
∴ $△ BDC$是直角三角形，它的外接圆以斜边$BC$为直径。
设$△ BDC$的外接圆的圆心为$O$，则$O$是$BC$的中点，外接圆半径$r = OB = OC$。
连接$OA$，
∵ $∠ ABC = 90°$，即$∠ ABO = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$OA$为斜边，根据直角三角形斜边大于任意一条直角边，可得：
$OA ＞ OB = r$，
即点$A$到圆心$O$的距离大于外接圆的半径，
∴ 点$A$在$△ BDC$的外接圆的外部。
解析
【分析】
要判定点A与△BDC外接圆的位置关系，首先回忆点与圆位置关系的判定方法：比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小，d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内。解题可按三步推进：第一步确定△BDC外接圆的圆心和半径：已知BD⊥AC，可得△BDC是直角三角形，直角三角形的外接圆以斜边为直径，因此△BDC外接圆的直径为BC，圆心是BC的中点O，半径r=OB=OC；第二步计算点A到圆心O的距离OA，结合∠ABC=90°，可知△ABO是直角三角形，OA为斜边；第三步比较OA和r的大小，根据直角三角形斜边大于直角边可得OA＞OB=r，即可得出结论。
【解析】
点A在△BDC的外接圆的外部，理由如下：
∵ $BD ⊥ AC$，
∴ $∠ BDC = 90°$，
∴ $△ BDC$是直角三角形，它的外接圆以斜边$BC$为直径。
设$△ BDC$的外接圆的圆心为$O$，则$O$是$BC$的中点，外接圆半径$r = OB = OC$。
连接$OA$，
∵ $∠ ABC = 90°$，即$∠ ABO = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$OA$为斜边，根据直角三角形斜边大于任意一条直角边，可得：
$OA ＞ OB = r$，
即点$A$到圆心$O$的距离大于外接圆的半径，
∴ 点$A$在$△ BDC$的外接圆的外部。
【答案】
点A在△BDC的外接圆的外部
【知识点】
点与圆的位置关系、直角三角形外接圆性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是先利用直角三角形的特征确定外接圆的圆心和半径，再通过线段长度的比较判断点和圆的位置关系，考查了对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判定点A与△BDC外接圆的位置关系，首先回忆点与圆位置关系的判定方法：比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小，d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内。解题可按三步推进：第一步确定△BDC外接圆的圆心和半径：已知BD⊥AC，可得△BDC是直角三角形，直角三角形的外接圆以斜边为直径，因此△BDC外接圆的直径为BC，圆心是BC的中点O，半径r=OB=OC；第二步计算点A到圆心O的距离OA，结合∠ABC=90°，可知△ABO是直角三角形，OA为斜边；第三步比较OA和r的大小，根据直角三角形斜边大于直角边可得OA＞OB=r，即可得出结论。
【解析】
点A在△BDC的外接圆的外部，理由如下：
∵ $BD ⊥ AC$，
∴ $∠ BDC = 90°$，
∴ $△ BDC$是直角三角形，它的外接圆以斜边$BC$为直径。
设$△ BDC$的外接圆的圆心为$O$，则$O$是$BC$的中点，外接圆半径$r = OB = OC$。
连接$OA$，
∵ $∠ ABC = 90°$，即$∠ ABO = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$OA$为斜边，根据直角三角形斜边大于任意一条直角边，可得：
$OA ＞ OB = r$，
即点$A$到圆心$O$的距离大于外接圆的半径，
∴ 点$A$在$△ BDC$的外接圆的外部。
【答案】
点A在△BDC的外接圆的外部
【知识点】
点与圆的位置关系、直角三角形外接圆性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是先利用直角三角形的特征确定外接圆的圆心和半径，再通过线段长度的比较判断点和圆的位置关系，考查了对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
