1. 用反证法证明“在同一平面内，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则$a // b$”时，应假设（）。

A.$a // c$
B.$b // c$
C.$a // c$，$b // c$
D.$a$与$b$相交

D

【分析】
解答本题首先要明确反证法的解题步骤，反证法的第一步是反设，即假设待证命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。首先找到本题待证的结论是“$a// b$”，接下来思考在同一平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种，因此“$a// b$”的反面就是$a$和$b$不平行，即$a$与$b$相交，由此就能确定正确的假设内容，对应选项选出答案即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题需要证明的结论是“$a// b$”，在同一平面内，两条直线的位置关系仅有平行和相交两种，因此“$a// b$”的反面是“$a$与$b$不平行”，也就是“$a$与$b$相交”，故应假设$a$与$b$相交。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；同一平面内两直线的位置关系
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题的核心是准确找到原命题的结论，再结合同一平面内两直线的位置关系得到结论的反面，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

2. 用反证法证明命题“若$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心$O$的距离为$d$，且$d ＞ r$，则点$P$在$\odot O$外”，首先应假设()。

A.$d ＜ r$
B.$d = r$
C.点$P$在$\odot O$外
D.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$内

D

【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。首先找到原命题的结论是“点P在$\odot O$外”，接下来要确定该结论的反面：点和圆的位置关系共有三种，分别是点在圆外、点在圆上、点在圆内，因此“点在圆外”的反面要覆盖其余所有可能的情况，不能出现遗漏。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题中原命题的结论是“点P在$\odot O$外”，点与圆的位置关系共有三种：①点在$\odot O$外；②点在$\odot O$上；③点在$\odot O$内。
因此“点P在$\odot O$外”的反面是“点P不在$\odot O$外”，也就是“点P在$\odot O$上或点P在$\odot O$内”，即首先应假设该内容成立。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查反证法的初始步骤，解题的核心是对原命题结论的否定要全面，需覆盖所有不符合结论的情况，熟练掌握点与圆的三类位置关系是解题的基础。
【难度系数】
0.8

3. 已知：在$△ ABC$中，$AB=AC$，求证：$∠ B＜90°$.下面写出的用反证法证明这个命题的四个步骤：
① $\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$，这与三角形内角和为$180°$矛盾；
② 因此假设不成立.$\therefore ∠ B＜90°$；
③ 在$△ ABC$中，假设$∠ B≥90°$；
④ 由$AB=AC$，得$∠ B=∠ C≥90°$，即$∠ B+∠ C≥180°$.
这四个步骤正确的顺序应是().

A.$\boldsymbol{③\rightarrow④\rightarrow①\rightarrow②}$
B.$\boldsymbol{③\rightarrow④\rightarrow②\rightarrow①}$
C.$\boldsymbol{①\rightarrow②\rightarrow③\rightarrow④}$
D.$\boldsymbol{④\rightarrow③\rightarrow①\rightarrow②}$

A

【分析】
解决本题首先要明确反证法的三个核心步骤：第一步反设，假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步归谬，从反设出发，结合已知条件、定理等进行推理，得出矛盾；第三步存真，由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立。接下来对应四个步骤逐一匹配环节即可：首先反设对应步骤③，其次从假设结合等腰三角形性质推理对应步骤④，再推出和内角和定理矛盾对应步骤①，最后否定假设得到原结论对应步骤②，即可得到正确顺序。
【解析】
反证法的证明流程如下：
1. 反设：首先在△ABC中，假设结论∠B＜90°不成立，即假设∠B≥90°，对应步骤③；
2. 归谬：结合已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠B=∠C≥90°，因此∠B+∠C≥180°，对应步骤④；进而可得∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，对应步骤①；
3. 存真：由矛盾判定假设不成立，因此原结论∠B＜90°成立，对应步骤②。
因此四个步骤的正确顺序为③→④→①→②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的证明步骤，解题的关键是熟记反证法“反设、归谬、存真”的三个基本环节，结合已知条件和相关定理推导即可，属于对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8

4. 在$△ ABC$中，$BC=24$，$△ ABC$的外心$O$到$BC$的距离为$6$，则$△ ABC$的外接圆半径长为________。

$\boldsymbol{6\sqrt{5}}$

【分析】
解题时首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离等于外接圆半径；再结合垂径定理，过外心作BC的垂线，垂足为BC的中点，此时可得到一个以“外接圆半径、外心到BC的距离、BC边长的一半”为三边的直角三角形，最后利用勾股定理即可求出外接圆半径。
【解析】
过点O作OD⊥BC于点D，连接OB。
由题意可知OD=6，OB为△ABC的外接圆半径，设为R。
根据垂径定理，D是BC的中点，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×24=12$。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$
代入数值计算：$OB^2=6^2+12^2=36+144=180$
所以$OB=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$（半径为正数，舍去负根）
【答案】
$6\sqrt{5}$
【知识点】
外心的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的基本性质与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，熟练掌握外心性质和垂径定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个内角是钝角”，应先假设.

解：一个三角形中有两个内角是钝角。

【分析】
解答本题首先要明确反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。首先定位原命题的结论：“一个三角形中不能有两个内角是钝角”，只需对该结论进行否定即可得到假设内容，“不能有两个”的反面为“有两个”，据此即可推出应假设的内容。
【解析】
根据反证法的步骤，第一步需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论是“一个三角形中不能有两个内角是钝角”，对其否定可得“一个三角形中有两个内角是钝角”，因此证明时应先假设这个结论成立。
【答案】
一个三角形中有两个内角是钝角
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础题型，重点考查反证法的初始步骤，解题关键是准确找到原命题的结论并正确否定，掌握反证法的基本逻辑就能快速求解。
【难度系数】
0.9

6. 用反证法证明命题“若整数系数的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$存在有理根，则$a$，$b$，$c$中至少有一个是偶数”，应先假设。

解：
$a$，$b$，$c$都不是偶数（即$a$，$b$，$c$均为奇数）

【分析】
反证法证明命题的第一步是对命题的结论进行否定，即假设结论不成立。首先明确原命题的结论为“a，b，c中至少有一个是偶数”，“至少有一个”表示存在至少1个满足条件，它的反面是1个都不满足条件，也就是所有对象都不满足“是偶数”的要求，据此就能推出正确的假设内容。
【解析】
使用反证法证明命题时，首先要假设原命题的结论不成立，即否定原命题的结论。
原命题的结论为“a，b，c中至少有一个是偶数”，对该结论进行否定：“至少有一个是偶数”的否定是“a，b，c都不是偶数”，也就是a、b、c均为奇数。
因此应先假设a，b，c都不是偶数（即a，b，c均为奇数）。
【答案】
a，b，c都不是偶数（即a，b，c均为奇数）
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题核心是正确否定原命题的结论，需要熟练掌握常见表述的否定形式，例如“至少有一个”的否定为“全都不”，属于基础概念考查题，掌握反证法的基本规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8

三、解答题
7. 用反证法证明：在$△ ABC$中，如果$M$，$N$分别是边$AB$，$AC$上的点，那么$BN$，$CM$不能互相平分。

证明：
假设BN，CM互相平分。
则四边形BMCN是平行四边形，
由此可得BM//CN，即AB//AC。
这与△ABC中，AB、AC是相交于点A的两边矛盾。
因此假设不成立，
故BN，CM不能互相平分。

【分析】
本题需用反证法完成证明，解题遵循反证法的三步逻辑：首先假设原命题的结论不成立，即假设BN、CM能互相平分；接着从假设出发推导，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形BMCN是平行四边形，再结合平行四边形对边平行的性质可得BM//CN，也就是AB//AC，这与△ABC中AB、AC交于点A的事实矛盾；最后由矛盾判定假设错误，即可肯定原命题的结论正确。
【解析】
证明：
假设BN，CM互相平分。
则四边形BMCN是平行四边形，
由此可得BM//CN，即AB//AC。
这与△ABC中，AB、AC是相交于点A的两边矛盾。
因此假设不成立，
故BN，CM不能互相平分。
【答案】
BN，CM不能互相平分，证明过程如上。
【知识点】
反证法；平行四边形的判定与性质；三角形的概念
【点评】
本题是反证法的典型应用题目，解题核心是熟练掌握反证法的论证步骤，通过合理假设推导出与已知事实或定理矛盾的结论，从而证得原命题成立，属于基础类证明题。
【难度系数】
0.7