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8. 如图，有一破残的轮片，要制成一个与轮片同样大小的圆形零件.请你根据所学的有关知识设计一种方案，确定这个圆形零件的半径，并说明理由.
答案
解：
方案如下：
1. 在残片的圆弧上任取不共线的三点A、B、C；
2. 分别作线段AB的垂直平分线$l_1$、线段BC的垂直平分线$l_2$，记$l_1$与$l_2$的交点为O；
3. 线段OA的长度就是所求圆形零件的半径，以O为圆心、OA为半径作圆，即可得到与原轮片大小完全相同的圆形零件。
理由：
∵ 点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ $OA=OB$。
∵ 点O在线段BC的垂直平分线上，
∴ $OB=OC$。
∴ $OA=OB=OC$。
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知过A、B、C三点的圆的圆心为O，半径为OA，该圆与原轮片对应的圆完全重合，因此OA就是所求圆形零件的半径。
方案如下：
1. 在残片的圆弧上任取不共线的三点A、B、C；
2. 分别作线段AB的垂直平分线$l_1$、线段BC的垂直平分线$l_2$，记$l_1$与$l_2$的交点为O；
3. 线段OA的长度就是所求圆形零件的半径，以O为圆心、OA为半径作圆，即可得到与原轮片大小完全相同的圆形零件。
理由：
∵ 点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ $OA=OB$。
∵ 点O在线段BC的垂直平分线上，
∴ $OB=OC$。
∴ $OA=OB=OC$。
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知过A、B、C三点的圆的圆心为O，半径为OA，该圆与原轮片对应的圆完全重合，因此OA就是所求圆形零件的半径。
解析
【分析】
要制作和残片同样大小的圆形零件，本质是确定残片对应原圆的圆心与半径。根据圆的性质，圆上所有点到圆心的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此我们可以通过圆弧上的点构造弦，作弦的垂直平分线找圆心，进而得到半径：首先在圆弧上取三个不共线的点，作任意两条弦的垂直平分线，交点就是原圆的圆心，圆心到圆弧上点的距离就是所求半径。
【解析】
方案如下：
1. 在残片的圆弧上任取不共线的三点A、B、C；
2. 分别作线段AB的垂直平分线$l_1$、线段BC的垂直平分线$l_2$，记$l_1$与$l_2$的交点为O；
3. 线段OA的长度就是所求圆形零件的半径，以O为圆心、OA为半径作圆，即可得到与原轮片大小完全相同的圆形零件。
理由：
∵ 点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ $OA=OB$。
∵ 点O在线段BC的垂直平分线上，
∴ $OB=OC$。
∴ $OA=OB=OC$。
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知过A、B、C三点的圆的圆心为O，半径为OA，该圆与原轮片对应的圆完全重合，因此OA就是所求圆形零件的半径。
【答案】
方案：①在残片的圆弧上任取不共线的三点A、B、C；②分别作AB、BC的垂直平分线，两线交点为圆心O；③OA的长即为所求半径，以O为圆心、OA为半径作圆即可得到符合要求的圆形零件。理由：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，故OA=OB=OC，结合不在同一直线上的三个点确定一个圆的原理，可知所作圆与原轮片对应的圆完全重合，因此OA为所求半径。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合实际生活中的残轮复原场景考查圆的基本性质的应用，解题核心是理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理，能熟练运用线段垂直平分线的性质定位圆心，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要制作和残片同样大小的圆形零件，本质是确定残片对应原圆的圆心与半径。根据圆的性质，圆上所有点到圆心的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此我们可以通过圆弧上的点构造弦，作弦的垂直平分线找圆心，进而得到半径：首先在圆弧上取三个不共线的点，作任意两条弦的垂直平分线，交点就是原圆的圆心，圆心到圆弧上点的距离就是所求半径。
【解析】
方案如下：
1. 在残片的圆弧上任取不共线的三点A、B、C；
2. 分别作线段AB的垂直平分线$l_1$、线段BC的垂直平分线$l_2$，记$l_1$与$l_2$的交点为O；
3. 线段OA的长度就是所求圆形零件的半径，以O为圆心、OA为半径作圆，即可得到与原轮片大小完全相同的圆形零件。
理由：
∵ 点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ $OA=OB$。
∵ 点O在线段BC的垂直平分线上，
∴ $OB=OC$。
∴ $OA=OB=OC$。
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知过A、B、C三点的圆的圆心为O，半径为OA，该圆与原轮片对应的圆完全重合，因此OA就是所求圆形零件的半径。
【答案】
方案：①在残片的圆弧上任取不共线的三点A、B、C；②分别作AB、BC的垂直平分线，两线交点为圆心O；③OA的长即为所求半径，以O为圆心、OA为半径作圆即可得到符合要求的圆形零件。理由：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，故OA=OB=OC，结合不在同一直线上的三个点确定一个圆的原理，可知所作圆与原轮片对应的圆完全重合，因此OA为所求半径。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合实际生活中的残轮复原场景考查圆的基本性质的应用，解题核心是理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理，能熟练运用线段垂直平分线的性质定位圆心，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD于点O,AC=24,BD=10,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点.试求出E,F,G三点所确定的圆的周长.
答案
解：连接EF，FG。
∵ E，F分别为AB，BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AC，$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$。
∵ F，G分别为BC，CD的中点，
∴ FG是△BCD的中位线，
∴ FG//BD，$FG=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$。
又∵ AC⊥BD，
∴ EF⊥FG，即∠EFG=90°。
∴ △EFG是直角三角形，E，F，G三点所确定的圆的直径为斜边EG。
由勾股定理得：$EG=\sqrt{EF^2+FG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
∴ 该圆的周长为$π· EG=13π$。
答：E，F，G三点所确定的圆的周长为$13π$。
∵ E，F分别为AB，BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AC，$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$。
∵ F，G分别为BC，CD的中点，
∴ FG是△BCD的中位线，
∴ FG//BD，$FG=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$。
又∵ AC⊥BD，
∴ EF⊥FG，即∠EFG=90°。
∴ △EFG是直角三角形，E，F，G三点所确定的圆的直径为斜边EG。
由勾股定理得：$EG=\sqrt{EF^2+FG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
∴ 该圆的周长为$π· EG=13π$。
答：E，F，G三点所确定的圆的周长为$13π$。
解析
【分析】
要求E、F、G三点确定的圆的周长，核心是先求出该圆的直径。解题思路如下：①看到E、F、G都是各边中点，优先考虑三角形中位线定理，连接EF、FG，分别求出两条中位线的长度，同时得到它们与AC、BD的平行关系；②结合已知AC⊥BD，可推出EF与FG垂直，即△EFG是直角三角形；③根据直角三角形外接圆的性质，直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此△EFG的斜边EG就是所求圆的直径；④用勾股定理求出EG的长度，代入圆的周长公式即可得到结果。
【解析】
连接EF，FG。
∵ E，F分别为AB，BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $\mathit{EF}// \mathit{AC}$，$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$。
∵ F，G分别为BC，CD的中点，
∴ FG是△BCD的中位线，
∴ $\mathit{FG}// \mathit{BD}$，$FG=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$。
又
∵ $\mathit{AC}⊥ \mathit{BD}$，
∴ $\mathit{EF}⊥ \mathit{FG}$，即$∠ EFG=90{}^{\circ }$。
∴ △EFG是直角三角形，E，F，G三点所确定的圆的直径为斜边EG。
由勾股定理得：$EG=\sqrt{EF^2+FG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
∴ 该圆的周长为$π· EG=13π$。
【答案】
$\boldsymbol{13π}$
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形外接圆性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是通过中位线定理将已知对角线的数量、位置关系转化为△EFG的边角特征，再结合直角三角形外接圆的特点求出圆的直径，能够很好地考查学生对基础几何知识点的整合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求E、F、G三点确定的圆的周长，核心是先求出该圆的直径。解题思路如下：①看到E、F、G都是各边中点，优先考虑三角形中位线定理，连接EF、FG，分别求出两条中位线的长度，同时得到它们与AC、BD的平行关系；②结合已知AC⊥BD，可推出EF与FG垂直，即△EFG是直角三角形；③根据直角三角形外接圆的性质，直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此△EFG的斜边EG就是所求圆的直径；④用勾股定理求出EG的长度，代入圆的周长公式即可得到结果。
【解析】
连接EF，FG。
∵ E，F分别为AB，BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $\mathit{EF}// \mathit{AC}$，$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$。
∵ F，G分别为BC，CD的中点，
∴ FG是△BCD的中位线，
∴ $\mathit{FG}// \mathit{BD}$，$FG=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$。
又
∵ $\mathit{AC}⊥ \mathit{BD}$，
∴ $\mathit{EF}⊥ \mathit{FG}$，即$∠ EFG=90{}^{\circ }$。
∴ △EFG是直角三角形，E，F，G三点所确定的圆的直径为斜边EG。
由勾股定理得：$EG=\sqrt{EF^2+FG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
∴ 该圆的周长为$π· EG=13π$。
【答案】
$\boldsymbol{13π}$
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形外接圆性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是通过中位线定理将已知对角线的数量、位置关系转化为△EFG的边角特征，再结合直角三角形外接圆的特点求出圆的直径，能够很好地考查学生对基础几何知识点的整合运用能力。
【难度系数】
0.6
