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8. 如图，BD，CE为$△ ABC$的中线，延长BD到点F，使$DF=BD$，延长CE到点G，使$EG=CE$，连接AG，AF.求证：过A，G，F三点不能作圆.
答案
证明：
∵ BD是△ABC的中线，
∴ AD = CD。
又∵ ∠ADF = ∠CDB，DF = BD，
∴ △ADF ≌ △CDB（SAS），
∴ ∠F = ∠DBC，
∴ AF // BC。
同理，∵ CE是△ABC的中线，
∴ AE = BE。
又∵ ∠AEG = ∠BEC，EG = CE，
∴ △AEG ≌ △BEC（SAS），
∴ ∠G = ∠ECB，
∴ AG // BC。
∵ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，AF、AG均过点A且都平行于BC，
∴ G、A、F三点在同一条直线上。
∵ 不在同一直线上的三点确定一个圆，共线的三点无法确定圆，
∴ 过A，G，F三点不能作圆。
∵ BD是△ABC的中线，
∴ AD = CD。
又∵ ∠ADF = ∠CDB，DF = BD，
∴ △ADF ≌ △CDB（SAS），
∴ ∠F = ∠DBC，
∴ AF // BC。
同理，∵ CE是△ABC的中线，
∴ AE = BE。
又∵ ∠AEG = ∠BEC，EG = CE，
∴ △AEG ≌ △BEC（SAS），
∴ ∠G = ∠ECB，
∴ AG // BC。
∵ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，AF、AG均过点A且都平行于BC，
∴ G、A、F三点在同一条直线上。
∵ 不在同一直线上的三点确定一个圆，共线的三点无法确定圆，
∴ 过A，G，F三点不能作圆。
解析
【分析】
要证明过A、G、F三点不能作圆，首先回忆圆的确定条件：不在同一直线上的三点确定一个圆，因此只需证明这三点共线即可。结合已知的中线条件和DF=BD、EG=CE的线段相等关系，可先通过SAS证明△ADF≌△CDB、△AEG≌△BEC，利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，进而推出AF//BC、AG//BC；再根据平行公理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，可判定AG与AF为同一条直线，即G、A、F三点共线，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ BD是△ABC的中线，
∴ AD = CD。
又
∵ ∠ADF = ∠CDB，DF = BD，
∴ △ADF ≌ △CDB（SAS），
∴ ∠F = ∠DBC，
∴ AF // BC。
同理，
∵ CE是△ABC的中线，
∴ AE = BE。
又
∵ ∠AEG = ∠BEC，EG = CE，
∴ △AEG ≌ △BEC（SAS），
∴ ∠G = ∠ECB，
∴ AG // BC。
∵ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，AF、AG均过点A且都平行于BC，
∴ G、A、F三点在同一条直线上。
∵ 不在同一直线上的三点确定一个圆，共线的三点无法确定圆，
∴ 过A，G，F三点不能作圆。
【答案】
过A，G，F三点不能作圆
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；圆的确定条件
【点评】
本题是几何综合类基础题，将三角形、平行线与圆的相关知识结合考查，解题的核心是将“三点不能作圆”的待证结论转化为证明三点共线，利用平行公理推导共线的思路在同类证明题中较为常见，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明过A、G、F三点不能作圆，首先回忆圆的确定条件：不在同一直线上的三点确定一个圆，因此只需证明这三点共线即可。结合已知的中线条件和DF=BD、EG=CE的线段相等关系，可先通过SAS证明△ADF≌△CDB、△AEG≌△BEC，利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，进而推出AF//BC、AG//BC；再根据平行公理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，可判定AG与AF为同一条直线，即G、A、F三点共线，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ BD是△ABC的中线，
∴ AD = CD。
又
∵ ∠ADF = ∠CDB，DF = BD，
∴ △ADF ≌ △CDB（SAS），
∴ ∠F = ∠DBC，
∴ AF // BC。
同理，
∵ CE是△ABC的中线，
∴ AE = BE。
又
∵ ∠AEG = ∠BEC，EG = CE，
∴ △AEG ≌ △BEC（SAS），
∴ ∠G = ∠ECB，
∴ AG // BC。
∵ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，AF、AG均过点A且都平行于BC，
∴ G、A、F三点在同一条直线上。
∵ 不在同一直线上的三点确定一个圆，共线的三点无法确定圆，
∴ 过A，G，F三点不能作圆。
【答案】
过A，G，F三点不能作圆
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；圆的确定条件
【点评】
本题是几何综合类基础题，将三角形、平行线与圆的相关知识结合考查，解题的核心是将“三点不能作圆”的待证结论转化为证明三点共线，利用平行公理推导共线的思路在同类证明题中较为常见，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
9. 已知 A，C，E 为$\odot O$上的点，且$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CE}$。
（1）如图(1)，求证：$CO ⊥ AE$；
（2）如图(2)，AB 为$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$于点 D。
① 求证：$AE=2CD$；
② 若$BD=1$，$AE=4$，求 AC 的长。
（1）如图(1)，求证：$CO ⊥ AE$；
（2）如图(2)，AB 为$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$于点 D。
① 求证：$AE=2CD$；
② 若$BD=1$，$AE=4$，求 AC 的长。
答案
（1）证明：
延长$CO$交$AE$于点$F$。
$\because \overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CE}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ EOC$，
又$\because OA=OE$，
$\therefore OC$是等腰$△ AOE$的顶角平分线，
$\therefore CO ⊥ AE$。
---
（2）① 证明：
设$CO$交$AE$于点$F$，
由（1）知$CO ⊥ AE$，
$\therefore AF=EF=\frac{1}{2}AE$，$∠ AFO=90°$。
$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDO=90°$，
又$\because OA=OC$，$∠ AOF=∠ COD$，
$\therefore △ AOF ≌ △ COD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=CD$，
$\therefore AE=2AF=2CD$。
---
（2）② 解：
$\because AE=4$，由①得$CD=AF=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OB-BD=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$OC^2=OD^2+CD^2$
代入得：
$r^2=(r-1)^2+2^2$
展开化简：$r^2=r^2-2r+1+4$，解得$r=\frac{5}{2}$。
$\therefore AD=OA+OD=r+(r-1)=2r-1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
答：$AC$的长为$2\sqrt{5}$。
延长$CO$交$AE$于点$F$。
$\because \overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CE}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ EOC$，
又$\because OA=OE$，
$\therefore OC$是等腰$△ AOE$的顶角平分线，
$\therefore CO ⊥ AE$。
---
（2）① 证明：
设$CO$交$AE$于点$F$，
由（1）知$CO ⊥ AE$，
$\therefore AF=EF=\frac{1}{2}AE$，$∠ AFO=90°$。
$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDO=90°$，
又$\because OA=OC$，$∠ AOF=∠ COD$，
$\therefore △ AOF ≌ △ COD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=CD$，
$\therefore AE=2AF=2CD$。
---
（2）② 解：
$\because AE=4$，由①得$CD=AF=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OB-BD=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$OC^2=OD^2+CD^2$
代入得：
$r^2=(r-1)^2+2^2$
展开化简：$r^2=r^2-2r+1+4$，解得$r=\frac{5}{2}$。
$\therefore AD=OA+OD=r+(r-1)=2r-1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
答：$AC$的长为$2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
（1）要证明$CO ⊥ AE$，可先延长$CO$交$AE$于点$F$，已知$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CE}$，根据同圆中等弧对应相等的圆心角，可得$∠AOC=∠EOC$；又$OA=OE$，$△ AOE$为等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，即可推出$CO ⊥ AE$。
（2）① 由（1）的结论可知$CO$垂直平分$AE$，因此$AF=\frac{1}{2}AE$；结合$CD⊥AB$的条件，可得到$△ AOF$和$△ COD$两组角对应相等，再加半径$OA=OC$，可证两三角形全等，得$AF=CD$，即可推出$AE=2CD$。
② 先由$AE=4$结合①的结论得$CD=2$，设$\odot O$半径为$r$，用含$r$的式子表示$OD$，在$\mathrm{Rt}△ OCD$中利用勾股定理列方程求出半径$r$，再计算$AD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中用勾股定理求出$AC$的长即可。
【解析】
（1）证明：
延长$CO$交$AE$于点$F$。
$\because \overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CE}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ EOC$，
又$\because OA=OE$，
$\therefore OC$是等腰$△ AOE$的顶角平分线，
$\therefore CO ⊥ AE$。
（2）① 证明：
设$CO$交$AE$于点$F$，
由（1）知$CO ⊥ AE$，
$\therefore AF=EF=\frac{1}{2}AE$，$∠ AFO=90°$。
$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDO=90°$，
又$\because OA=OC$，$∠ AOF=∠ COD$，
$\therefore △ AOF ≌ △ COD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=CD$，
$\therefore AE=2AF=2CD$。
② 解：
$\because AE=4$，由①得$CD=AF=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OB-BD=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$OC^2=OD^2+CD^2$
代入得：
$r^2=(r-1)^2+2^2$
展开化简：$r^2=r^2-2r+1+4$，解得$r=\frac{5}{2}$。
$\therefore AD=OA+OD=r+(r-1)=2r-1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
【答案】
（1）$CO ⊥ AE$，得证；
（2）① $AE=2CD$，得证；
② $AC$的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、三角形全等和勾股定理的应用，解题的关键是利用等弧的条件转化角的关系，第二问结合方程思想求解半径是常用的解题思路，能够巩固基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$CO ⊥ AE$，可先延长$CO$交$AE$于点$F$，已知$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CE}$，根据同圆中等弧对应相等的圆心角，可得$∠AOC=∠EOC$；又$OA=OE$，$△ AOE$为等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，即可推出$CO ⊥ AE$。
（2）① 由（1）的结论可知$CO$垂直平分$AE$，因此$AF=\frac{1}{2}AE$；结合$CD⊥AB$的条件，可得到$△ AOF$和$△ COD$两组角对应相等，再加半径$OA=OC$，可证两三角形全等，得$AF=CD$，即可推出$AE=2CD$。
② 先由$AE=4$结合①的结论得$CD=2$，设$\odot O$半径为$r$，用含$r$的式子表示$OD$，在$\mathrm{Rt}△ OCD$中利用勾股定理列方程求出半径$r$，再计算$AD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中用勾股定理求出$AC$的长即可。
【解析】
（1）证明：
延长$CO$交$AE$于点$F$。
$\because \overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CE}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ EOC$，
又$\because OA=OE$，
$\therefore OC$是等腰$△ AOE$的顶角平分线，
$\therefore CO ⊥ AE$。
（2）① 证明：
设$CO$交$AE$于点$F$，
由（1）知$CO ⊥ AE$，
$\therefore AF=EF=\frac{1}{2}AE$，$∠ AFO=90°$。
$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDO=90°$，
又$\because OA=OC$，$∠ AOF=∠ COD$，
$\therefore △ AOF ≌ △ COD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=CD$，
$\therefore AE=2AF=2CD$。
② 解：
$\because AE=4$，由①得$CD=AF=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OB-BD=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$OC^2=OD^2+CD^2$
代入得：
$r^2=(r-1)^2+2^2$
展开化简：$r^2=r^2-2r+1+4$，解得$r=\frac{5}{2}$。
$\therefore AD=OA+OD=r+(r-1)=2r-1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
【答案】
（1）$CO ⊥ AE$，得证；
（2）① $AE=2CD$，得证；
② $AC$的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、三角形全等和勾股定理的应用，解题的关键是利用等弧的条件转化角的关系，第二问结合方程思想求解半径是常用的解题思路，能够巩固基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
